§ Relatività speciale (o ristretta)
§ Radiazione di corpo nero
§ Effetto fotoelettrico
§ Effetto Compton
§ Dualismo onda-particella
Fisica II - Chimica
Relatività galileiana
Principio di relatività: Le leggi della fisica rimangono
inalterate in sistemi di riferimento inerziali (sistemi che
si muovono a velocità costante uno rispetto all’altro)
Assunzioni: La lunghezza di
un oggetto e gli intervalli di
tempo sono grandezze
assolute (valore non muta
passando da un sistema di
riferimento all’altro)
Tutti i sistemi di riferimento inerziali sono equivalenti !
Anomalia:
Le equazioni di Maxwell prevedono che la velocità della
luce sia costante (c=3×108m/s) !
Apparentemente esse non obbediscono al principio di relatività.
Fisica II - Chimica
Teoria della relatività speciale
Postulati di Einstein (1905)
I postulato (principio di relatività): tutte le leggi fisiche sono
le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali
II postulato (invarianza della luce): la velocità della luce nel
vuoto ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento
inerziali, indipendentemente dalla velocità dell'osservatore o
dalla velocità della sorgente di luce.
Il primo è un'estensione di quello di Galilei. Il secondo generalizza
l'osservazione che tutte le oscillazioni meccaniche si propagano con una
velocità che dipende solamente dalle caratteristiche del mezzo che le
supporta e non dalla velocità con cui la sorgente dell'eccitazione si muove
rispetto a tale mezzo. Questo non avviene per la luce in quanto lo spazio,
non essendovi l'etere, è omogeneo e isotropo.
Il II postulato contraddice il “senso comune”: un osservatore che
si allontana ed uno che sta fermo rispetto alla medesima sorgente
luminosa, misureranno la medesima velocità della luce ! (ricordare
l’esperimento di Michelson-Morley)
Fisica II - Chimica
La teoria è definita “speciale” per distinguerla dalla successiva,
cosiddetta “generale” che tratta di sistemi di riferimento non
inerziali, cioè soggetti ad accelerazioni.
Simultaneità
Due lampi di luce colpiscono gli
estremi di due treni in moto relativo.
I punti A e B sono equidistanti per
l’osservatore O2, fermo rispetto ad
essi, e O2 considererà i due eventi
come simultanei poiché gli impulsi lo
raggiungeranno allo stesso istante.
Un osservatore O1 in un diverso
stato di moto, ovvero in un sistema di
riferimento inerziale in moto
rettilineo uniforme rispetto a quello
in cui O2, A2 e B2 sono fermi, in
generale percepirà gli impulsi di luce.
La simultaneità non è un concetto assoluto, ma relativo
Fisica II - Chimica
Dilatazione dei tempi
Sulla terra (v=velocità nave spaziale)
2 L = v∆t e il percorso luce = 2 D 2 + L2
2
2 D 2 + L2
4
D
c=
→ c2 =
+ v2
2
∆t
( ∆t )
∆t =
2D
c 1 − v2 c 2
γ =
Fisica II - Chimica
=
∆t0
c 1 − v2 c2
1
c 1 − v2 c2
fattore di
Lorentz
Dentro la nave spaziale
2D
∆ t0 =
c
Dilatazione dei tempi
Orologi in moto rispetto ad un
osservatore sono visti
(dall’osservatore) muoversi più
lentamente.
Tempo proprio: tempo misurato
in un sistema di riferimento
solidale al fenomeno di cui si
misura la durata.
Contrazione delle lunghezze
Dalla terra ∆t =
L0
v
Dentro la nave
spaziale, il tempo
proprio è
∆ t0 = ∆ t γ
deve quindi essere
L = v∆t0 = v∆t 1 − v 2 c 2 = L0 γ
Contrazione delle lunghezze
γ =
1
c 1 − v2 c2
La lunghezza di un oggetto è minore quando esso si muove rispetto
all’osservatore, rispetto al caso in cui è a riposo (la contrazione si
osserva solo nella direzione del moto).
L0=lunghezza propria: lunghezza di un oggetto determinata da
osservatori a riposo rispetto ad essa.
Fisica II - Chimica
Spazio-Tempo quadrimensionale
In un certo senso la dilatazione dei tempi e la
contrazione delle lunghezze si “controbilanciano”: visto
dalla Terra, un oggetto ciò che perde in dimensioni lo
“guadagna” nella dilatazione della durata dell’evento.
Ciò conduce all’idea di uno spazio-tempo
quadridimensionale , ovvero lo spazio ed il
tempo sono intimamente connessi.
Questo non vuol dire che non vi è distinzione tra
spazio e tempo, piuttosto la relatività mostra che
la determinazione dello spazio e del tempo non sono
tra loro indipendenti.
Fisica II - Chimica
Momento ed energia relativistici
p=
m0 v
1− v c
2
2
= γ m0 c
momento relativistico
KE =
m0 c 2
1 − v2 c2
mrel =
m0
1− v c
2
= γ m0
massa relativistica
− m0 c 2 = γ m0 c 2 − m0 c 2 = ( γ − 1) m0 c 2
energia relativistica
E = γ m0 c 2 =
m0 c 2
1 − v2 c2
= m0 c 2 + KE
energia della
massa a riposo
Fisica II - Chimica
2
Fisica Quantistica
§ Su scala microscopica gli oggetti (corpi) si comportano
in modo MOLTO diverso !
ØL’energia è discreta, non è più continua
ØSi può calcolare solo la probabilità che un evento
avvenga (non vale il determinismo Newtoniano)
ØLe particelle “sembrano” essere in due posti
contemporaneamente
ØSe cerchiamo di “misurare” un fenomeno ne
alteriamo totalmente lo stato
§ Tutto ciò è contrario al “senso comune” (intuito),
tuttavia l’intuizione è basata sulla nostra diretta
percezione, ma noi non abbiamo una diretta percezione
del mondo microscopico .....
Fisica II - Chimica
Radiazione di Corpo Nero
§ La potenza totale di radiazione emessa
aumenta con la temperatura
P = σ AeT 4
§ Il picco della distribuzione delle lunghezze
d’onda si sposta verso lunghezze d’onda più
corte al crescere della temperatura (legge di
Wien)
−3
λmaxT = 2.898×10 m ⋅ K
Fisica II - Chimica
Radiazione di Corpo Nero
§ Teoria classica (energia associata all’intensità dell’onda elettromagnetica)
⇒ “catastrofe ultravioletta” in disaccordo con l’esperienza
§ Ipotesi di Planck (1900): energia associata ad oscillatori sulla superficie
del corpo nero (cariche elettriche) che però è quantizzata (discreta)
En = n h ν
§ n numero quantico (n=1,2, ...)
§ h = costante di Planck
§ f = frequenza di oscillazione dell’oscillatore
§ Gli oscillatori emettono e assorbono energia in quantità discrete, ovvero,
un oscillatore irradia o assorbe solo quando cambia stato quantico
§ Il modello funziona ! (Ottimo accordo con l’andamento sperimentale della
emissione di corpo nero)
§ Tuttavia Planck stesso lo considerò quasi un espediente matematico per
risolvere una discrepanza.
§ Solo anni più tardi l’idea fu ripresa e sviluppata da Einstein
Fisica II - Chimica
Radiazione di Corpo Nero
Planck definì la funzione emissione spettrale R(λ), tale che il
potere emissivo I(T) del corpo nero sia:
∞
2π c 2 h
1
I (T ) = ∫ R ( λ , T ) d λ essendo R ( λ , T ) =
0
λ 5 e hc λkT − 1
La costante h (6.63×10-4J·s)fu introdotta da Planck supponendo che
l’energia dei moti oscillatori degli atomi della parete interna della
cavità fosse quantizzata con valore pari a multipli di hν., essendo n
la frequenza della radiazione emessa e assorbita dagli oscillatori.
Fisica II - Chimica
Effetto fotoelettrico
Esperimento:
luce incidente su superfici metalliche ⇒ emissione fotoelettroni
sia 1 l’istante fuoriuscita elettrone
sia 2 l’istante arrivo sulla placca
deve essere E1 = E2 cioè K1 + U1 = K2 + U2
Kmax + 0 = 0 + (-e)×(-∆Va) ⇒ Kmax = e∆Va
Potenziale di arresto
Va
Fisica II - Chimica
Effetto fotoelettrico
§ Dipendenza energia cinetica fotoelettroni dall’intensità di luce
Esperimento: Energia cinetica max indipendente dall’intensità
(potenziale d’arresto indipendente dall’intensità)
Previsione Classica: Energia elettroni ∝ Intensità luminosa
• Ritardo temporale emissione fotoelettroni
Esperimento: praticamente istantaneo
Previsione Classica: con luce debole ci deve essere un ritardo
§ Dipendenza dell’emissione di elettroni dalla frequenza della luce
Esperimento: se ν < νmin → nessuna emissione
Previsione Classica:nessuna dipendenza specifica
§ Dipendenza energia cinetica elettroni dalla frequenza della luce
Esperimento: energia cinetica cresce con la frequenza della luce
Previsione Classica: nessuna relazione (dipende solo dall’intensità
della luce)
Fisica II - Chimica
Effetto fotoelettrico: modello di Einstein
§ Ipotesi dei fotoni: la luce di frequenza ν può essere considerata come
una corrente di quanti altrimenti detti fotoni che si muovono a velocità
della luce c = 3.0 x 108 m/s
§ Ciascun fotone ha una energia E = hν, h è la costante di Planck
§ Nel modello di Einstein un fotone cede tutta la sua energia ad un singolo
elettrone del metallo: l’assorbimento non è un processo continuo !
§ Gli elettroni saranno emessi con energia K
max = hν − φ
φ è l’energia di estrazione del metallo
lunghezza d’onda di taglio
Fisica II - Chimica
c
c
hc
λt = =
=
νt φ h φ
Effetto Compton
§ Secondo Einstein il
fotone trasporta una
quantità di moto
E/c = hf/c
Diffusione di raggi
X da elettroni
§ Compton verificò
impossibilità teoria
classica di spiegare la
diffusione di raggi X
da parte di elettroni
Fisica II - Chimica
Effetto Compton
Ipotesi di Compton: il fotone si
comporta come una particella di
energia hν e quantità di moto
hν/c, l’esperimento è descritto
come un urto tra tra due particelle
(elettrone/fotone)
Einiz = E fin ⇒ hν + mc = hν ′ + K rel
2
hc hc
1
=
+ mc 2
− 1
1 − ( v c )2
λ λ′
pelettr =
asse x :
mv
1− (v c)
h
λ
h h
mv
= cos φ +
cos θ
2
λ λ′
1− (v c)
asse y : 0 =
Fisica II - Chimica
2
p fot =
h
mv
sin φ +
sin θ
2
λ′
1− (v c)
eliminando v e θ , e risolvendo
h
∆λ = λ ′ − λ =
(1 − cos φ )
mc
Effetto Compton
Verifica sperimentale:
λ ' − λ0 =
λC =
h
(1 − cos θ )
me c
h
= 0.00243 nm
me c
L’effetto Compton comporta l’analisi sia
dell’energia che del momento del fotone,
costituendo un supporto ancora più solido alla
teoria del fotone.
Nel 1927 fu dimostrato che lo “spostamento”
Compton poteva essere previsto senza
introdurre il concetto di fotone.
Fisica II - Chimica
Esistenza del Fotone
Benchè il concetto di fotone fu introdotto nel 1905 la prova
sperimentale (totalmente convincente) fu ottenuta solo nel 1986 !
Anticoincidenza
50%
sorgente debole
(fotoni singoli)
Problemi di fluttuazioni d’intensità della luce
emessa dalla sorgente
Fisica II - Chimica
Fotoni “designati” (1986)
50%
sorgente debole
(fotoni singoli)
Fisica II - Chimica
Fotoni e onde
Togliendo/inserendo il beamsplitter
(divisore di fascio) si commuta tra
comportamento corpuscolare e
ondulatorio !!!
Scelta differita: finchè la luce è un ente in transito non ha senso adottare
un modello descrittivo (corpuscolare/ondulatorio), ma dipenderà solo dalla
successiva interazione con uno o più oggetti.
Fisica II - Chimica
La luce è un’onda o una particella ?
•
Onda
– I campi elettrico e magnetico si comportano come onde
– Sovrapposizione, Interferenza e Diffrazione
•
Particella
– Fotoni
– Collisioni con elettroni nell’effetto fotoelettrico
Quindi: tavolta Particella, talvolta Onda
La teoria del fotone e la teoria ondulatoria della
luce sono complementari !
Fisica II - Chimica
Proprietà ondulatorie delle particelle
§ Ipotesi di De Broglie: poichè i fotoni hanno caratteristiche ondulatorie e
corpuscolari, forse tutte le forme di materia hanno sia proprietà
ondulatorie che corpuscolari
§ La relazione tra energia e quantità di moto per un fotone vale p = E/c
quindi usando la relazione di Einstein si ha
p=
E hf hc h
=
=
=
c
c cλ λ
§ Poichè il modulo della quantità di moto di una particella non relativistica è
p = mv, la lunghezza d’onda di De Broglie della particella è
λ=
h
h
=
p mv
e, in analogia con il fotone ( Einstein)
f =
E
h
§ Nel 1927, tre anni dopo la formulazione dell’ipotesi di De Broglie,
Davisson e Germer riuscirono a misurare sperimentalmente la lunghezza
d’onda degli elettroni, confermando tale ipotesi, anche se lo scopo
originario del loro esperimento non era questo.
§ La natura ondulatoria di altre particelle, quali neutroni e atomi di elio e
idrogeno fu anche osservata successivamente.
Fisica II - Chimica
Doppia fenditura di Young
d
Sorgente di
elettroni
monoenergetici
2 fenditure
separate da d
Fisica II - Chimica
L
Schermo a
distanza L
Doppia fenditura di Young
Fisica II - Chimica
Natura Ondulatoria della Materia
§ Anche se passa un solo elettrone alla volta si osservarà una figura di
diffrazione
§ Se osserviamo (“misuriamo”) da quale fenditura passa l’elettrone (cioè
le fenditure sono abbastanza separate) si “distrugge” la figura di
interferenza (cioè l’aspetto ondulatorio)
Fisica II - Chimica
Conseguenze della teoria quantistica:
Energia-Momento del Fotone + Dualismo Onda-Particella
⇓
Principio di Indeterminazione di Heisenberg
Fisica II - Chimica
Principio di indeterminazione di
Heisenberg
§ Se si esegue una misura di posizione di una particella con
indeterminazione ∆x e una simultanea di quantità di moto con
indeterminazione ∆px, allora il prodotto delle due
indeterminazioni non può mai essere minore di ħ/2
h
∆x ∆px ≥
2
§ È fisicamente impossibile misurare
contemporaneamente la posizione esatta e la
quantità di moto esatta di una particella
§Addio descrizione deterministica !!!
Fisica II - Chimica
Principio di indeterminazione di Heisenberg
Concetto di traiettoria:
Infinito è il numero di traiettorie che
congiungono A con B, però solo le onde
che seguono cammini molto prossimi
alla congiungente presentano
interferenza costruttiva nel punto B.
Fisica II - Chimica
Estensione del principio di
indeterminazione di Heisenberg
§ Sostituendo ∆x con ∆t e ∆p con ∆ω (localizzazione nel tempo):
∆ω = 2π∆ν e E = hν
h
∆E ∆t ≥
2π
Non è possibile determinare contemporaneamente, con
precisione illimitata, sia l’energia sia la coordinata
temporale di una particella.
Mentre, in un atomo, lo stato fondamentale ha una energia ben
precisa (il tempo di permanenza in tale stato è lunghissimo)
l’energia degli stati superiori (“eccitati”) è definita con minor
precisione (tempo di esistenza più limitato).
Tempo di misura finito → indeterminazione ∆E ≥ (h/2π)/∆t
Fisica II - Chimica
Il gatto di Schroedinger
• un paradosso della meccanica quantistica
ovvero
• quando il “senso comune” non ci aiuta a risolvere i
problemi !
veleno
Fisica II - Chimica
Il gatto di Schroedinger
• Alcuni elementi sono “instabili” e decadono (si trasformano) in altri dopo
un certo tempo
• Queste sostanze sono dette radioattive.
• esempio: 13N (azoto) decade in 13C (carbonio) + 1 elettrone + 1 antineutrino
§ Il tempo caratteristico di queste reazioni è
detto tempo di dimezzamento (half-life):
tempo necessario perchè avvengano la metà
degli eventi di decadimento
§ Il tempo di dimezzamento di 13N è 10 minuti !
§ Se abbiamo un gran numero di atomi di 13N ,
allora, dopo 10 min, vi è per un generico
atomo una probabilità del 50% di essersi
trasformato in 13C (equivalente a giocare con
una moneta a testa o croce).
Fisica II - Chimica
Il gatto di Schroedinger
•
•
•
•
•
Domanda: quale è la differenza tra i due atomi di azoto ?
Risposta: uno è diventato 13C, l’altro no. (banale !!!)
Domanda: quale è la differenza tra i due atomi, prima dei 10 min ?
Risposta (meccanica quantistica, scuola di Copenaghen): Nessuna
Risposta (Einstein): Dio non gioca a dadi ! (la meccanica quantistica o
meglio le sue conseguenze sono errate !)
Fisica II - Chimica
Il gatto di Schrödinger
• Immaginiamo che esista un apparato contenente atomi di 13N ed un
rivelatore che rivela quando uno degli atomi è decaduto radiativamente
• Connesso al rivelatore vi è un relè connesso ad un martello che, all’atto
del decadimento di un atomo, si attiva facendo cadere il martello che
colpisce un’ampolla contenente del gas velenoso.
• Tutto l’apparato è posto in un contenitore insieme ad un gatto, ed
aspettiamo 10 minuti
• Allo scadere esatto dei 10 min ci chiediamo: Il gatto è vivo o morto ?
• Risposta (meccanica quantistica): è 50% vivo e 50% morto
Fisica II - Chimica
Il gatto di Schrödinger
• Conclusioni:
• Fintantochè non apriamo la scatola non possiamo conoscere quale delle
due possibilità si è verificate
• In gergo quantistico si dice che il sistema è collassato in uno stato
• È l’interazione con l’osservatore (misura) che fa collassare il sistema in
uno dei due stati
• In un certo senso è una conclusione molto spiacevole perchè si perde il
senso della certezza che un evento avvenga.
• Bisogna imparare a descrivere i fenomeni in termini di probabilità degli
stessi !
Fisica II - Chimica
Una interpretazione della meccanica quantistica
• Consideriamo le onde elettromagnetiche come particelle (fotoni):
• La probabilità di trovare un fotone in una certa regione dello spazio è
probabilità N fotoni
∝
inoltre
volume
V
N fotoni
∝ I ∝ E2
quindi
V
probabilità
∝ E2
volume
• La probabilità per unità di volume di trovare una particella associata con
la radiazione (fotone) è ∝ al quadrato dell’ampiezza dell’onda
• Sulla base del dualismo onda-corpuscolo riteniamo che la stessa cosa
debba valere anche per una particella
• Esisterà un’onda associata ad ciascuna particella, la cui ampiezza è
associata alla probabilità di trovarla in una certa regione dello spazio
• Chiamiamo questa onda: funzione d’onda Ψ
• In generale potrà avere valori anche complessi ma |Ψ|2= Ψ ∗Ψ sarà
sempre un numero reale positivo, proporzionale alla probabilità
Fisica II - Chimica
Una interpretazione della meccanica quantistica
Ψ(x)
• Riassumendo possiamo dire, in termini
probabilistici, che
P ( x ) dx = Ψ dx
2
+∞
∫
Ψ dx = 1
2
sotto la condizione
la particella deve trovarsi da qualche parte
−∞
b
Pab = ∫ Ψ dx probabilità di trovare la particella in a ≤ x ≤ b
2
• Esiste una equazione (detta di Schrödinger) cui
deve soddisfare la funzione d’onda Ψ
a
h2 d 2 Ψ
−
+ U Ψ = EΨ
2
2m dx
U ( x ) energia potenziale e E energia totale del sistema
• Tale eq. differenziale ha, in meccanica quantistica, la stessa funzione
svolta dalla II legge della dinamica (F=ma) nella meccanica classica
• Noto U e Ψ si ricava E l’energia, cioè lo stato dinamico del sistema.
Fisica II - Chimica
Visualizzazione di effetti quantistici
Microscopia a scansione ad effetto tunnel
Microscopia a scansione ad
effetto tunnel
(Binnig e Rohrer, premio
Nobel in Fisica 1985)
Fisica II - Chimica
Visualizzazione di effetti quantistici
atomi di Fe su superficie di Cu cristallino
Fisica II - Chimica
1
2
3
4
Visualizzazione di effetti quantistici
Fisica II - Chimica
Effetti quantistici
• La descrizione fisica dei fenomeni a livello microscopico
NON È totalmente deterministica (probabilistica)
• L’osservazione stessa influisce sull’esperimento
• Le particelle si comportano come onde e le onde come
particelle
– Effetto Foto-elettrico
» Elettroni espulsi dal metallo dai fotoni
» Fotoni di comportano come particelle
– Generalizzazione di De Broglie:
» la materia si comporta come un’onda
» diffrazione elettronica
» qualunque cosa possiede una lunghezza d’onda λ=h/p
– Equazione di Schrödinger, per la descrizione della
dinamica quantistica
Fisica II - Chimica
