Relatività speciale (o ristretta) Radiazione di corpo nero Effetto

Fisica II - Chimica
 Relatività speciale (o ristretta)
 Radiazione di corpo nero
 Effetto fotoelettrico
 Effetto Compton
 Dualismo onda-particella
Teoria della Relatività
La teoria della relatività studia la misura di eventi
(cose che accadono): dove e quando accadono e quanto
tali eventi sono separati nello spazio e nel tempo.
Inoltre la relatività analizza come tali misure si
trasformano tra sistemi di riferimento che si
muovono relativamente uno rispetto all’altro (da qui la
denominazione relatività).
Einstein dimostrò che lo spazio ed il tempo sono
entangled, cioè correlati (ovvero non-separabili):
il tempo che intercorre tra due eventi dipende da quanto essi
sono distanti tra loro (e viceversa).
Questo effetto (entanglement) è diverso per
osservatori in moto relativo uno rispetto all’altro.
Fisica II - Chimica
Relatività galileiana
Principio di relatività: Le leggi della fisica (meccanica)
rimangono inalterate in sistemi di riferimento inerziali
(sistemi che si muovono a velocità costante uno rispetto all’altro)
Assunzioni: La lunghezza di
un oggetto e gli intervalli di
tempo sono grandezze
assolute (valore non muta
passando da un sistema di
riferimento all’altro)
Tutti i sistemi di riferimento inerziali sono equivalenti !
Anomalia:
Le equazioni di Maxwell prevedono che la velocità della
luce sia costante (c=3108m/s) !
Apparentemente esse non obbediscono al principio di relatività.
Fisica II - Chimica
Teoria della relatività speciale
Postulati di Einstein (1905)
I postulato (principio di relatività): tutte le leggi fisiche sono
le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali
II postulato (invarianza della luce): la velocità della luce nel
vuoto ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento
inerziali, indipendentemente dalla velocità dell'osservatore o
dalla velocità della sorgente di luce.
Il primo è un'estensione di quello di Galilei. Il secondo generalizza
l'osservazione che tutte le oscillazioni meccaniche si propagano con una
velocità che dipende solamente dalle caratteristiche del mezzo che le
supporta e non dalla velocità con cui la sorgente dell'eccitazione si muove
rispetto a tale mezzo. Questo non avviene per la luce in quanto lo spazio,
non essendovi l'etere, è omogeneo e isotropo.
Il II postulato contraddice il “senso comune”: un osservatore che
si allontana ed uno che sta fermo rispetto alla medesima sorgente
luminosa, misureranno la medesima velocità della luce ! (ricordare
l’esperimento di Michelson-Morley)
Fisica II - Chimica
La teoria è definita “speciale” per distinguerla dalla successiva,
cosiddetta “generale” che tratta di sistemi di riferimento non
inerziali, cioè soggetti ad accelerazioni.
Simultaneità
Due navi spaziali con osservatori (Sally e
Sam) posti al centro della navi si
allontanano con velocità v (Sally rispetto
a Sam).
Due meteoriti colpiscono le navi
provocando un bagliore rosso (R) e uno
blu (B) e una traccia permanente su esse.
Gli eventi sono simultanei per Sam.
Gli eventi non sono simultanei per Sally.
Gli intervalli di tempo tra due eventi
dipendono dalla distanza a cui avvengono
sia nello spazio che nel tempo:
le loro separazioni spaziali e temporali
sono entangled.
La simultaneità non è un concetto assoluto, ma relativo
Fisica II - Chimica
Dilatazione dei tempi
Sulla terra (v=velocità nave spaziale)
2 L  vt e il percorso luce  2 D 2  L2
2 D 2  L2
4D2
2
2
c
c 

v
2
t
 t 
t 
2D c
1 v c
Fisica II - Chimica
2
2


t0
1  v2 c2
1
1  v2 c2
fattore di
Lorentz
Dentro la nave spaziale
2D
t 0 
c
Dilatazione dei tempi
Orologi in moto rispetto ad un
osservatore sono visti
(dall’osservatore) muoversi più
lentamente.
Tempo proprio: tempo misurato
in un sistema di riferimento
solidale al fenomeno di cui si
misura la durata.
Contrazione delle lunghezze
Dalla terra t 
L0
v
Dentro la nave
spaziale, il tempo
proprio è
t0  t 
deve quindi essere
L  vt0  vt 1  v 2 c 2  L0 
Contrazione delle lunghezze

1
1  v2 c2
La lunghezza di un oggetto è minore quando esso si muove rispetto
all’osservatore, rispetto al caso in cui è a riposo (la contrazione si
osserva solo nella direzione del moto).
L0=lunghezza propria: lunghezza di un oggetto determinata da
osservatori a riposo rispetto ad essa.
Fisica II - Chimica
Spazio-Tempo quadrimensionale
In un certo senso la dilatazione dei tempi e la
contrazione delle lunghezze si “controbilanciano”: visto
dalla Terra, un oggetto ciò che perde in dimensioni lo
“guadagna” nella dilatazione della durata dell’evento.
Ciò conduce all’idea di uno spazio-tempo
quadridimensionale , ovvero lo spazio ed il
tempo sono intimamente connessi (entangled).
Questo non vuol dire che non vi è distinzione tra
spazio e tempo, piuttosto la relatività mostra che
la determinazione dello spazio e del tempo non sono
tra loro indipendenti.
Fisica II - Chimica
Trasformazioni di Lorentz
In un caso unidimensionale le
trasformazioni Galileiane prevedono:
x  x  vt
t  t
Il tempo scorre allo stesso ritmo
per tutti. Questa affermazione
è vera solo per v << c.
Le trasformazioni corrette valide per tutte le velocità fino a
quella della luce, sono deducibili dai postulati della relatività:
x    x  vt 
Trasformazioni di Lorentz
y  y
z  z

t    t  vx c 2
con  

1
1 v c
2
Si noti come la variabile x sia legata alla determinazione di t’.
Lo spazio ed il tempo sono intimamente connessi e la relatività
riconosce questo fatto.
Fisica II - Chimica
Momento ed energia relativistici
m0 v
x
x t
x
p  m0 v  m0
 m0
 m0

t0
t t0
t
1  v2 c2
p
m0 v
1 v c
2
2
  m0 v
momento relativistico
KE 
Fisica II - Chimica
m0 c 2
1  v2 c2
mrel 
m0
1 v c
2
2
  m0
massa relativistica
 m0c 2   m0c 2  m0c 2     1 m0c 2
energia relativistica
E   m0c 
2
m0 c 2
1  v2 c2
 m0c 2  KE
energia della
massa a riposo
Elettromagnetismo e sistemi di riferimento
Nel sistema di riferimento S, a riposo rispetto
ad una particella q. La corrente i è vista come
una distribuzione lineare di carica che genera in
q un campo E   2 0 r
Gli ioni positivi generano un analogo campo
elettrico tale che ++-= 0 e quindi Etot=0 in q.
Il campo magnetico non è nullo ma la particella
è ferma e, quindi, la forza magnetica è nulla.
Nel sistema di riferimento S’, in moto con velocità vd (velocità di deriva
elettroni) gli elettroni sono a riposo, gli ioni e la particella q si muovono
verso destra determinando una forza magnetica FB in q (accelerazione).
Tuttavia in sistemi di riferimento inerziali (S ed S’) l’accelerazione deve
essere nulla, quindi deve esserci una forza che controbilancia FB.
Pensiamo al filo come costituito da due barrette di cariche (+)ioni , (-)elettroni
La barretta di elettroni ha una lunghezza contratta in S, perché in moto,
in S :    in S’ i campi non si compensano esattamente (FE≠0) !
FE+FB =0 : i campi elettrici e magnetici non hanno esistenza
in S  :    separata (relatività ristretta) ma sono connessi !!!
Fisica II - CdL Chimica
Eq. elettromagnetismo invarianti per trasformazioni di
Transizione Fisica Classica  Quantistica











1873 Maxwell: teoria dell’elettromagnetismo
1880 Michelson-Morley: nessun etere
1885 Balmer: righe emissione H in serie (curiosa)
1897 Thomson: scoperta elettrone
1901 Planck: discretizzazione energia oscillatori
(corpo nero)
1905 Einstein: quantizzazione energia radiazione
(effetto fotoelettrico)
1911 Rutherford: atomo dotato di nucleo
1913 Bohr: quantizzazione energia elettroni nell’atomo
1923 Compton: aspetto corpuscolare della radiazione
1924 De Broglie: onde di materia
1926 Schroedinger: meccanica quantistica ondulatoria
Fisica II - Chimica
Fisica Quantistica
 Su scala microscopica gli oggetti (corpi) si comportano
in modo MOLTO diverso !
L’energia è discreta, non è più continua
Si può calcolare solo la probabilità che un evento
avvenga (non vale il determinismo Newtoniano)
Le particelle “sembrano” essere in due posti
contemporaneamente
Se cerchiamo di “misurare” un fenomeno ne
alteriamo totalmente lo stato
 Tutto ciò è contrario al “senso comune” (intuito),
tuttavia l’intuizione è basata sulla nostra diretta
percezione, ma noi non abbiamo una diretta percezione
del mondo microscopico .....
Fisica II - Chimica
Radiazione di Corpo Nero
 La potenza totale di radiazione emessa aumenta
con la temperatura P   AeT 4
 Il picco della distribuzione delle lunghezze
d’onda si sposta verso lunghezze d’onda più
corte al crescere della temperatura (legge di
Wien)
maxT  2.898 10 3 m  K
Fisica II - Chimica
Radiazione di Corpo Nero
 Teoria classica: energia equipartita tra i modi di oscillazione (che
crescono in numero con la frequenza) ed associata all’intensità dell’onda
elettromagnetica)  “catastrofe ultravioletta” in disaccordo con
l’esperienza
 Ipotesi di Planck (1900): energia associata ad oscillatori sulla superficie
del corpo nero (cariche elettriche) che però è quantizzata (discreta) e
dipendente dalla frequenza:
En = n h n




 n numero quantico (n=1,2, ...)
 h = costante di Planck
 f = frequenza di oscillazione dell’oscillatore
Gli oscillatori emettono e assorbono energia in quantità discrete, ovvero,
un oscillatore irradia o assorbe solo quando cambia stato quantico
Il modello funziona ! (Ottimo accordo con l’andamento sperimentale della
emissione di corpo nero)
Tuttavia Planck stesso lo considerò quasi un espediente matematico per
risolvere una discrepanza.
Solo anni più tardi l’idea fu ripresa e sviluppata da Einstein
Fisica II - Chimica
Radiazione di Corpo Nero
Planck definì la funzione emissione spettrale R(), tale che il
potere emissivo I(T) del corpo nero sia:

I T    R   , T  d  essendo R   , T  
0
2 c 2 h
1
5
e hc  kT  1
La costante h (6.6310-34J·s)fu introdotta da Planck supponendo
che l’energia dei moti oscillatori degli atomi della parete interna
della cavità fosse quantizzata con valore pari a multipli di hn,
essendo n la frequenza della radiazione emessa e assorbita dagli
Fisica II - Chimica
oscillatori.
Effetto fotoelettrico
Esperimento (Lenard):
luce incidente su superfici metalliche  emissione fotoelettroni
sia 1 l’istante di fuoriuscita dell’elettrone
sia 2 l’istante di arrivo sulla placca
l’energia si deve conservare: E1 = E2 cioè K1 + U1 = K2 + U2
Kmax + 0 = 0 + (-e)(-Va)  Kmax = eVa
Fisica II - Chimica
Potenziale di arresto
Va
Effetto fotoelettrico
 Dipendenza energia cinetica fotoelettroni dall’intensità di luce
Esperimento: Energia cinetica max indipendente dall’intensità
(potenziale d’arresto indipendente dall’intensità)
Previsione Classica: Energia elettroni  Intensità luminosa
• Ritardo temporale emissione fotoelettroni
Esperimento: praticamente istantaneo
Previsione Classica: con luce debole ci deve essere un ritardo
 Dipendenza dell’emissione di elettroni dalla frequenza della luce
Esperimento: se n < nmin  nessuna emissione
Previsione Classica:nessuna dipendenza specifica
 Dipendenza energia cinetica elettroni dalla frequenza della luce
Esperimento: energia cinetica cresce con la frequenza della luce
Previsione Classica: nessuna relazione (dipende solo dall’intensità
della luce)
Fisica II - Chimica
Effetto fotoelettrico: modello di Einstein
 Ipotesi dei fotoni: la luce di frequenza n può essere considerata come
una corrente di quanti altrimenti detti fotoni che si muovono a velocità
della luce c = 3.0 x 108 m/s
 Ciascun fotone ha una energia E = hn, h è la costante di Planck
 Nel modello di Einstein un fotone cede tutta la sua energia ad un singolo
elettrone del metallo: l’assorbimento non è un processo continuo !
 Gli elettroni saranno emessi con energia K
max  hn  
 è l’energia di estrazione del metallo
Millikan
lunghezza d’onda di taglio
Fisica II - Chimica
t 
c
nt

c
 h

hc

Effetto Compton (1923)
 Secondo Einstein il
fotone trasporta una
quantità di moto
E/c = hf/c
Diffusione di raggi X
da elettroni di un
 Compton verificò
bersaglio di grafite
impossibilità teoria
classica di spiegare la
diffusione di raggi X
da parte di elettroni
Fisica II - Chimica
Effetto Compton
Ipotesi di Compton: il fotone si
comporta come una particella di
energia hn e quantità di moto
hn/c, l’esperimento è descritto
come un urto tra tra due particelle
(elettrone/fotone)
Einiz  E fin  hn  mc  hn   Krel
2


hc
1

 mc 2 
 1
2
 1 v c

 


hc
Fisica II - Chimica
pelettr 
asse x :
mv
1 v c
h


asse y : 0 
2
p fot 
h

h
mv
cos  
cos 
2

1 v c
h
mv
sin  
sin 
2

1 v c
eliminando v e  , e risolvendo
h
      
1  cos  
mc
Effetto Compton
Verifica sperimentale:
 '  0 
h
1  cos  
me c
h
C 
 0.00243 nm
me c
L’effetto Compton comporta l’analisi sia
dell’energia che del momento del fotone,
costituendo un supporto ancora più solido alla
teoria del fotone.
Nel 1927 fu dimostrato che lo “spostamento”
Compton poteva essere previsto senza
introdurre il concetto di fotone.
Fisica II - Chimica
Esistenza del Fotone
Benchè il concetto di fotone fu introdotto nel 1905 la prova
sperimentale (totalmente convincente) fu ottenuta solo nel 1986 !
Anticoincidenza
50%
sorgente debole
(fotoni singoli)
Problemi di fluttuazioni d’intensità della luce
emessa dalla sorgente
Fisica II - Chimica
Fisica II - Chimica
Fotoni “designati” (1986)
50%
sorgente debole
(fotoni singoli)
Fotoni e onde
Togliendo/inserendo il beamsplitter
(divisore di fascio) si commuta tra
comportamento corpuscolare e
ondulatorio !!!
Scelta differita: finchè la luce è un ente in transito non ha senso adottare
un modello descrittivo (corpuscolare/ondulatorio), ma dipenderà solo dalla
successiva interazione con uno o più oggetti.
Fisica II - Chimica
La luce è un’onda o una particella ?
•
Onda
– I campi elettrico e magnetico si comportano come onde
– Sovrapposizione, Interferenza e Diffrazione
•
Particella
– Fotoni
– Collisioni con elettroni nell’effetto fotoelettrico e Compton
Quindi: tavolta Particella, talvolta Onda
La teoria del fotone e la teoria ondulatoria della
luce sono complementari !
Fisica II - Chimica
Proprietà ondulatorie delle particelle
 Ipotesi di De Broglie: poichè i fotoni hanno caratteristiche ondulatorie e
corpuscolari, forse tutte le forme di materia hanno sia proprietà
ondulatorie che corpuscolari
 La relazione tra energia e quantità di moto per un fotone vale p = E/c
quindi usando la relazione di Einstein si ha
p
E hf hc h



c
c c 
 Poichè il modulo della quantità di moto di una particella non relativistica è
p = mv, la lunghezza d’onda di De Broglie della particella è
h
h
 
p mv
e, in analogia con il fotone ( Einstein)
E
f 
h
 Nel 1927, tre anni dopo la formulazione dell’ipotesi di De Broglie,
Davisson e Germer riuscirono a misurare sperimentalmente la lunghezza
d’onda degli elettroni, confermando tale ipotesi, anche se lo scopo
originario del loro esperimento non era questo.
 La natura ondulatoria di altre particelle, quali neutroni e atomi di elio e
idrogeno fu anche osservata successivamente.
Fisica II - Chimica
Doppia fenditura di Young
d
Sorgente di
elettroni
monoenergetici
Fisica II - Chimica
2 fenditure
separate da d
L
Schermo a
distanza L
Fisica II - Chimica
Doppia fenditura di Young
Natura Ondulatoria della Materia
 Anche se passa un solo elettrone alla volta si osservarà una figura di
diffrazione
 Se osserviamo (“misuriamo”) da quale fenditura passa l’elettrone (cioè
le fenditure sono abbastanza separate) si “distrugge” la figura di
interferenza (cioè l’aspetto ondulatorio)
Fisica II - Chimica
Diffrazione di raggi X e elettroni da cristalli
Apparato sperimentale
Raggi X di lunghezza d’onda 
Fisica II - Chimica
Elettroni di eguale lunghezza d’onda
=h/p
(ottenuti accelerandoli a velocità appropriata)
Pressochè
identici !
Esempio
Valutare gli effetti di diffrazione cui può essere soggetto uno studente del peso di
80 kg nell’attraversare una apertura larga 75 cm (si assuma significativo l’effetto
quando la larghezza dell’apertura è 10 volte inferiore a ). Determinare:
a) Velocità min con cui attraversare l’apertura
b) Tempo per l’attraversamento (apertura di spessore 15 cm)
c) Lo studente si deve preoccupare ?
h
h
e w = apertura porta, deve essere

p mv
h
h
6.626 1034 J  s
w  10  10
 v  10
 10
 1.11034 m s
mv
mw
80 kg  0.75m
a) lunghezza d’onda studente
b)
t 

d
0.15m

 t  1.36  1033 s
34
v 1.110 m s
c) NO ! Il tempo minimo per osservare effetti di diffrazione dello studente
(«sparpagliamento» della sua funzione d’onda) è 1015 volte più lungo dell’età
dell’universo (stimata 4 x 1017 s)
Fisica II - Chimica
Conseguenze della teoria quantistica:
Energia-Momento del Fotone + Dualismo Onda-Particella

Principio di Indeterminazione di Heisenberg
Fisica II - Chimica
Principio di indeterminazione di
Heisenberg
 Se si esegue una misura di posizione di una particella con
indeterminazione x e una simultanea di quantità di moto con
indeterminazione px, allora il prodotto delle due
indeterminazioni non può mai essere minore di ħ/2
x px 
2
 È fisicamente impossibile misurare
contemporaneamente la posizione esatta e la
quantità di moto esatta di una particella
Addio descrizione deterministica !!!
Fisica II - Chimica
Principio di indeterminazione di Heisenberg
Fisica II - Chimica
Concetto di traiettoria:
Infinito è il numero di traiettorie che
congiungono A con B, però solo le onde
che seguono cammini molto prossimi
alla congiungente presentano
interferenza costruttiva nel punto B.
Estensione del principio di
indeterminazione di Heisenberg
 Sostituendo x con t e p con w (localizzazione nel tempo):
w  2n e E  hn
h
E t 
2
Non è possibile determinare contemporaneamente, con
precisione illimitata, sia l’energia sia la coordinata
temporale di una particella.
Mentre, in un atomo, lo stato fondamentale ha una energia ben
precisa (il tempo di permanenza in tale stato è lunghissimo)
l’energia degli stati superiori (“eccitati”) è definita con minor
precisione (tempo di esistenza più limitato).
Tempo di misura finito  indeterminazione E  (h/2)/t
Fisica II - Chimica
Il gatto di Schroedinger
• un paradosso della meccanica quantistica
ovvero
• quando il “senso comune” non ci aiuta a risolvere i
problemi !
Fisica II - Chimica
veleno
Il gatto di Schroedinger
• Alcuni elementi sono “instabili” e decadono (si trasformano) in altri dopo
un certo tempo
• Queste sostanze sono dette radioattive.
• esempio: 13N (azoto) decade in 13C (carbonio) + 1 elettrone + 1 antineutrino
 Il tempo caratteristico di queste reazioni è
detto tempo di dimezzamento (half-life):
tempo necessario perchè avvengano la metà
degli eventi di decadimento
 Il tempo di dimezzamento di
13N
è 10 minuti !
 Se abbiamo un gran numero di atomi di 13N ,
allora, dopo 10 min, vi è per un generico
atomo una probabilità del 50% di essersi
trasformato in 13C (equivalente a giocare con
una moneta a testa o croce).
Fisica II - Chimica
Il gatto di Schroedinger
•
•
•
•
•
Domanda: dati due atomi 13N, che differenza c’è tra loro dopo 10 min ?
Risposta: uno è diventato 13C, l’altro no. (banale !!!)
Domanda: quale è la differenza tra i due atomi, prima dei 10 min ?
Risposta (meccanica quantistica, scuola di Copenaghen): Nessuna
Risposta (Einstein): Dio non gioca a dadi ! (la meccanica quantistica o
meglio le sue conseguenze sono errate !)
Fisica II - Chimica
Il gatto di Schrödinger
• Immaginiamo che esista un apparato contenente atomi di 13N ed un
rivelatore che rivela quando uno degli atomi è decaduto radiativamente
• Connesso al rivelatore vi è un relè connesso ad un martello che, all’atto
del decadimento di un atomo, si attiva facendo cadere il martello che
colpisce un’ampolla contenente del gas velenoso.
• Tutto l’apparato è posto in un contenitore insieme ad un gatto, ed
aspettiamo 10 minuti
• Allo scadere esatto dei 10 min ci chiediamo: Il gatto è vivo o morto ?
• Risposta (meccanica quantistica): è 50% vivo e 50% morto
Fisica II - Chimica
Il gatto di Schrödinger
• Conclusioni:
• Fintantochè non apriamo la scatola non possiamo conoscere quale delle
due possibilità si è verificate
• In gergo quantistico si dice che il sistema è collassato in uno stato
• È l’interazione con l’osservatore (misura) che fa collassare il sistema in
uno dei due stati
• In un certo senso è una conclusione molto spiacevole perchè si perde il
senso della certezza che un evento avvenga.
• Bisogna imparare a descrivere i fenomeni in termini di probabilità degli
stessi !
Fisica II - Chimica
Una interpretazione della meccanica quantistica
• Consideriamo le onde elettromagnetiche come particelle (fotoni):
• La probabilità di trovare un fotone in una certa regione dello spazio è
probabilità N fotoni

inoltre
volume
V
N fotoni
 I  E2
quindi
V
probabilità
 E2
volume
• La probabilità per unità di volume di trovare una particella associata con
la radiazione (fotone) è  al quadrato dell’ampiezza dell’onda
• Sulla base del dualismo onda-corpuscolo riteniamo che la stessa cosa
debba valere anche per una particella
• Esisterà un’onda associata ad ciascuna particella, la cui ampiezza è
associata alla probabilità di trovarla in una certa regione dello spazio
• Chiamiamo questa onda: funzione d’onda Y
• In generale potrà avere valori anche complessi ma |Y|2= Y*Y sarà
sempre un numero reale positivo, proporzionale alla probabilità
Fisica II - Chimica
Equazione di Schrödinger
2



2
i
Y  r, t    
 V (r )  Y  r, t 
2
t
 2m r

• Tale eq. differenziale ha, in meccanica quantistica, la stessa funzione
svolta dalla II legge della dinamica (F=ma) nella meccanica classica
• Noto U e Y si ricava E l’energia, cioè lo stato dinamico del sistema.
Fisica II- Chimica
Effetti quantistici
• La descrizione fisica dei fenomeni a livello microscopico
NON È totalmente deterministica (probabilistica)
• L’osservazione stessa influisce sull’esperimento
• Le particelle si comportano come onde e le onde come
particelle
– Effetto Foto-elettrico
» Elettroni espulsi dal metallo dai fotoni
» Fotoni di comportano come particelle
– Generalizzazione di De Broglie:
» la materia si comporta come un’onda
» diffrazione elettronica
» qualunque cosa possiede una lunghezza d’onda =h/p
– Equazione di Schrödinger, per la descrizione della
dinamica quantistica
Fisica II - Chimica