Programma dettagliato

PROGRAMMA DI ANALISI MATEMATICA
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA GESTIONALE
DOCENTI: VALENTINA TADDEI E STEFANO RUGGERINI
Definizione assiomatica dell’insieme dei numeri reali. Insiemi limitati e illimitati,
maggiorante e minorante, massimo e minimo, esistenza di estremo superiore e
inferiore di insiemi limitati (con dimostrazione). Funzioni reali di variabile reale:
monotonia, limitatezza.
Topologia in R^n: definizione di intorno, insieme aperto e chiuso, punto interno, di
accumulazione, di frontiera, di chiusura.
Definizione dell’insieme dei numeri complessi in forma cartesiana, algebrica,
trigonometrica e relative formule di trasformazione, operazioni tra numeri
complessi, parte reale e immaginaria, modulo e argomento e loro proprietà,
coniugato e sue proprietà, rappresentazione di insiemi nel piano di Gauss, formula
di De Moivre, potenze, radici, teorema fondamentale dell’algebra, risoluzione di
equazioni a coefficienti complessi.
Definizione di limite di una funzione e di una successione numerica e suo significato
geometrico, teoremi di unicità (con dimostrazione), caratterizzazione sequenziale,
permanenza del segno, confronto, prodotto tra una funzione limitata e una
infinitesima, definizione di limite destro e sinistro, operazioni nell’insieme dei
numeri reali esteso, algebra dei limiti, forme indeterminate, limiti di funzioni
composte, limiti di funzioni monotone, infiniti e infinitesimi, graduatoria tra infiniti,
limiti notevoli (con dimostrazione per il seno), principio di sostituzione degli
infinitesimi, definizione di “o piccolo” e sue proprietà, definizione di funzioni
asintotiche, condizioni per l’esistenza dell’asintoto verticale, orizzontale e obliquo.
Serie numeriche: definizione, condizione necessaria per la convergenza (con
dimostrazione), criteri della radice, del rapporto, del confronto, serie geometrica
(con dimostrazione), serie armonica generalizzata, serie a segni alterni, assoluta
convergenza, criterio di Leibnitz.
Definizione di continuità di una funzione, classificazione dei punti di discontinuità,
teorema degli zeri (con dimostrazione), di Weierstrass, dei valori intermedi.
Definizione di derivata di una funzione e suo significato geometrico, retta tangente,
classificazione dei punti di non derivabilità, derivate delle funzioni elementari,
derivazione della funzione composta ed inversa, operazione con le derivate,
relazione tra continuità e derivabilità (con dimostrazione), derivate successive.
Massimi e minimi relativi e assoluti , teorema di Fermat (con dimostrazione), punto
stazionario, flesso orizzontale, teorema di Rolle (con dimostrazione) e di Lagrange e
sue conseguenze. Definizione di funzione convessa e concava e sua caratterizzazione
in funzione della derivata prima e della derivata seconda, punto di flesso obliquo,
classificazione dei punti stazionari di una funzione convessa e concava (con
dimostrazione). Studio del grafico di una funzione. Teorema di De L’Hopital.
Differenziale e suo significato geometrico.
Polinomio di Taylor con resto nella forma di Peano e nella forma di Lagrange,
polinomi delle funzioni elementari e calcolo di limiti, approssimazione di una
funzione mediante polinomio.
Definizione di integrale alla Riemann di una funzione limitata su un intervallo
limitato e suo significato geometrico, proprietà dell'integrale, condizioni sufficienti
per l’integrabilità, teorema della media (con dimostrazione), definizione di primitiva
e di funzione integrale (con dimostrazione), teorema fondamentale del calcolo
integrale, integrale indefinito, integrali immediati, formule di integrazione per
sostituzione e per parti, scomposizione in fratti semplici e integrazione di una
funzione razionale fratta e calcolo dell’area di una regione piana.
Definizione di equazione differenziale di ordine n in forma normale. Definizione di
problema di Cauchy e di soluzione. Teoremi di esistenza e unicità della soluzione.
Equazioni a variabili separabili (con dimostrazione). Equazioni lineari del primo
ordine (con dimostrazione). Equazioni lineari di ordine n: spazio vettoriale delle
soluzioni di un’equazione omogenea, equazione caratteristica e calcolo
dell’integrale generale di un’equazione omogenea a coefficienti costanti, metodo di
variazione delle costanti e di somiglianza per il calcolo di una soluzione particolare.
Funzioni reali di due variabili reali: dominio, insiemi di livello, grafico. Limiti.
Coordinate polari. Limiti direzionali. Continuità. Teorema di Weierstrass. Teorema
dei valori intermedi. Derivate parziali e direzionali. Gradiente. Differenziabilità.
Piano tangente. Teorema del differenziale. Relazione tra continuità, derivabilità e
differenziabilità. Formula del gradiente. Derivate seconde. Teorema di Schwarz.
Estremi liberi. Teorema di Fermat. Punti critici. Punti di sella. Studio della natura dei
punti critici. Test della matrice hessiana. Estremi vincolati. Problemi con vincolo
esplicitabile. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Domini normali rispetto ad un asse. Integrale di una funzione continua su un
dominio normale. Domini regolari. Integrabilità di una funzione continua su un
dominio regolare. Significato geometrico dell’integrale. Teorema di riduzione.
Trasformazione piana. Determinante jacobiano. Teorema di cambiamento di
variabili.