PROGRAMMA DI ANALISI MATEMATICA II

PROGRAMMA DI ANALISI MATEMATICA II-A.A.2009-2010
PROF. LUISA TOSCANO
Successioni e serie di funzioni
Successioni di funzioni:convergenza puntuale ed uniforme. Esercizi. Continuità del
limite. I teoremi di passaggio al limite sotto il segno di derivata e di integrale. Serie di
funzioni. Serie di potenze. Esercizi. Funzioni analitiche.
Funzioni reali e vettoriali di più variabili reali
Lo spazio vettoriale Rm.Elementi di topologia in Rm. Limiti e continuità. Esercizi.
Derivate parziali. Derivate di ordine superiore. Il teorema di Schwarz. Gradiente.
Differenziabilità. Esercizi. Funzioni composte. Derivate direzionali. Il teorema di
Lagrange, funzioni con gradiente nullo in un connesso. La formula di Taylor. Massimi
e minimi locali. Esercizi.
Integrali curvilinei e forme differenziali nel piano
Curve regolari. Lunghezza di una curva. Curve orientate. Ascissa curvilinea Integrale
curvilineo di una funzione. Integrale curvilineo di una forma differenziale. Forme
differenziali esatte. Forme differenziali chiuse. Esercizi.
Integrali doppi
Integrali su domini normali. Formule di riduzione per gli integrali doppi. Formule di
Gauss-Green. Teorema della divergenza. Formula di Stokes. Cambiamento di
variabili negli integrali doppi. Integrali tripli (cenni). Esercizi.
Spazi metrici
Spazi metrici. Spazi di Banach. Contrazioni di uno spazio metrico: il teorema di
Banach-Caccioppoli.
Funzioni impilicite.
Generalità. Il teorema del Dini nel caso scalare. Il teorema del Dini nel caso
vettoriale. Invertibilità locale e globale. Esercizi.
Estremi vincolati
Generalità. Condizione necessaria. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Presenza
di vincoli espressi da disuguaglianze. Esercizi.
Equazioni Differenziali Lineari
Generalità. Il problema di Cauchy. Equazioni Omogenee: il wronskiano di n integrali;
sistemi fondamentali di integrali; espressione dell’integrale generale; metodi di
risoluzione per le equazioni omogenee a coefficienti costanti. Equazioni complete:
espressione dell’integrale generale; metodi di risoluzione per le equazioni lineari a
coefficienti costanti. Integrazione delle equazioni lineari del I ordine. Esercizi.
Equazioni differenziali ordinarie
Generalità. Il problema di Cauchy. Funzioni Lipschitziane. Il lemma di PeanoGronwall. I teoremi di esistenza e unicità di Cauchy-Lipschitz: caso della striscia
[a,b]x Rn, caso della striscia (a,b)xRn. Funzioni localmente lipschitziane. Il teorema di
esistenza ed unicità locale. Il teorema di esistenza di Peano. Soluzioni
massimali:generalità, risultati utili per la determinazione dell’intervallo massimale,
teorema dell’asintoto, teorema di monotonia e di confronto. Studio qualitativo della
soluzione di una equazione differenziale del primo ordine. Esercizi.
Superfici e integrali di superficie
Superfici regolari. Piano tangente e versore normale. Area di una superficie. Integrali
di superficie. Il teorema della divergenza e la formula di Stokes.
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Liguori editore. Esposito-Fiorenza, Analisi Matematica, parte C e parte D, Liguori
editore. Appunti del corso