- I.I.S. Prever – Pinerolo

Capitolo 5
Derivata
5.1 Rapporto incrementale
Definizione 5.1.1
Data una funzione di equazione y  f (x) , definita in un intervallo a; b  C.E., e dato un punto
x 0 e x0  h entrambi appartenenti a all’intervallo a; b , si dice rapporto incrementale della
funzione relativo al punto x 0 e all’incremento h R, il seguente rapporto:
f  x0  h   f  x0 
.
h
Osservazione 5.1.1
Si precisa che h è l’incremento o variazione relativa alla variabile indipendente x, mentre
f x0  h   f x0  è il corrispondente incremento o variazione relativa alla variabile dipendente y.
Esempio 5.1.1
Si consideri il caso della funzione di equazione
y  f x   x 2 . Sia x0  2 e h  4 . In tal caso
x0  h  2  4  6 e sia 2 che 6 appartengono al C. E. Inoltre
f  x0   x0  2 2  4 e
f x0  h  x0  h  2  4  6 2  36 . Segue che
2
2
f x0  h  f x0  36  4 32


 8.
h
4
4
5.2 Interpretazione geometrica del rapporto incrementale
Si consideri la seguente rappresentazione grafica
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
2
f(x0 +h)
f(x0)
x0
x0 + h
In essa è presente il segmento di retta che congiunge i punti Px0 ; f x0  e Qx0  h; f x0  h  . Si
tratta della retta secante il grafico della funzione nei punti suddetti. Che legame esiste fra tale retta è
il rapporto incrementale ? Il legame si trova facilmente richiamando il concetto di coefficiente
angolare di una retta. Il coefficiente angolare di una retta detto anche inclinazione è una grandezza
che dipende dall’angolo che la retta forma con l’asse x. In altri termini: al variare dell’angolo che la
retta forma con l’asse x, varia anche il coefficiente angolare e viceversa. Il coefficiente angolare di
y  y1
una retta passante per due punti noti P1 x1 ; y1  e P2 x2 ; y2  si ottiene come segue: m  2
.
x 2  x1
Va da sé che nella fattispecie
m
f  x0  h   f  x0  f  x0  h   f  x0 

x0  h  x0
h
espressione che coincide con il rapporto incrementale. In definitiva: il coefficiente angolare della
retta secante il grafico nei punti Px0 ; f x0  e Qx0  h; f x0  h  coincide con il rapporto
incrementale della funzione relativo al punto x 0 e
all’incremento h R, per l’appunto :
f  x0  h   f  x0 
.
h
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
5.3 Derivata di una funzione in un punto
Definizione 5.3.1
Data una funzione di equazione y  f (x) , definita in un intervallo a; b  C.E., e dato un punto
x0  a; b e tale che esiste un suo intorno I x0   a; b, si dice derivata della funzione nel punto
f  x0  h   f  x0 
. Inoltre, si dice che la funzione è
h0
h
derivabile nel punto x0  a; b e la sua derivata si indica con la scrittura f ' x0  .
x 0 il seguente limite se esiste ed è finito: lim
Osservazione 5.3.1
Si precisa inoltre che il punto x0  h di cui si parla nella definizione è tale che x0  h  I x0  per
ogni h.
Esempio 5.3.1
Si consideri il caso della funzione di equazione y  f x   x 2 . Sia x0  2 . In tal caso 2 ed infiniti
suoi intorni appartengono al C. E.
Inoltre
f  x0   x0  2 2  4
2
f x0  h  x0  h  2  h  2 2  4h  h 2 .
2
2
Segue che
lim
h 0
f x 0  h   f x 0 
2 2  4h  h 2  2 2
4h  h 2 0
 lim
 lim
 .
h 0
h 0
h
h
h
0
Per dirimere la suddetta forma di indecisione si procede come segue:
4h  h 2
h4  h 
 lim
 lim 4  h  4 .
h 0
h 0
h 0
h
h
lim
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
5.4 Interpretazione geometrica della derivata di una funzione in un punto
Si consideri nuovamente la rappresentazione grafica relativa al rapporto incrementale rappresentata
in figura
f(x0 +h)
f(x0)
x0
x0 + h
Ora immaginiamo di vedere l’intervallo x0 ; x0  h  rimpicciolirsi fino a che x0  h non vada a
coincidere con x 0 . È ciò che in effetti si verifica quando h tende a 0. In tal caso si verifica che il
punto Qx0  h; f x0  h  finisce per coincidere con Px0 ; f x0  e che la retta secante il grafico
nei punti P e Q finisce per coincidere con la retta tangente al grafico della funzione nel punto P
come mostra la figura sottostante
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
f(x0 +h)
f(x0)
x0
x0 + h
La domanda sorge spontanea: qual è il coefficiente angolare della retta tangente ? Per ottenere il
coefficiente angolare della retta in questione occorre far nuovamente uso dell’operazione di
passaggio al limite. In altri termini: si calcola il limite
lim
h0
f  x0  h   f  x0 
h
che è proprio il limite per h che tende a 0 del coefficiente angolare della retta secante il grafico
della funzione nei punti Px0 ; f x0  e Qx0  h; f x0  h  .
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
5.5 La funzione derivata
Definizione 5.5.1
Sia data una funzione di equazione y  f (x) , definita in un intervallo a; b  C.E., e derivabile
nell’intervallo aperto a; b . È possibile introdurre la funzione derivata prima (o semplicemente
funzione derivata) della suddetta funzione. Tale funzione è definita come segue :
f ’ : a; b
x
R
f '  x0 
Come mostra lo schema in alto, tale funzione associa ad ogni punto x  a; b la derivata della
funzione di equazione y  f (x) nel punto x. Si tratta di una funzione a tutti gli effetti. Cioè di una
relazione che associa ad ogni elemento dell’intervallo a; b uno ed un solo elemento di R. In
particolare, se una funzione è derivabile in ogni punto del suo C.E. , allora la funzione derivata ha lo
stesso C.E. della funzione di partenza. In generale si può dire che il C.E. della funzione derivata di
una funzione è un sottoinsieme del C.E. della funzione di partenza. Tale sottoinsieme, naturalmente,
può essere improprio. Quest’ultima affermazione ha ragion d’essere perché in base alla definizione
5.3.1 non ha senso parlare di derivata in un punto che non appartiene al C. E. della funzione.
Osservazione 5.5.1
Data la funzione di equazione y  f (x) , la sua derivata, qualora esista, si indica con una delle
seguenti scritture: f ' ( x) , y ' ,
df dy
,
, Df e Dy .
dx dx
Osservazione 5.5.2
f x 0  h   f x 0 
f  x0  h   f  x0 
potrebbe non esistere perché lim
e
h0
h 0
h
h
f x 0  h   f x 0 
f x 0  h   f x 0 
f x 0  h   f x 0 
sono finiti, ma lim
. In tal caso la
lim
 lim
h 0
h 0
h 0
h
h
h
funzione f (x ) non è derivabile in x 0 e la funzione derivata prima presenta una discontinuità di
Facciamo notare che il lim
prima specie nel punto x 0 che prende il nome di punto angoloso.
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Osservazione 5.5.3
f x 0  h   f x 0 
f  x0  h   f  x0 
potrebbe non esistere anche perché lim
e
h0
h 0
h
h
f x 0  h   f x 0 
sono entrambi infiniti. In tal caso la funzione f (x ) non è derivabile in x 0 e
lim
h 0
h
la funzione derivata prima presenta una discontinuità di seconda specie nel punto x 0 che prende il
Il
lim
nome di cuspide se i segni dell’infinito sono discordi e di flesso a tangente orizzontale se i segni
dell’infinito sono concordi.
A proposito di tali punti presentiamo alcuni esempi.
Esempio 5.5.1
Si consideri la funzione di equazione y  x , il punto x 0  0 è un punto angoloso per la funzione.
Infatti lim
h 0
0h  0
h
f x 0  h   f x 0 
 lim
 lim  1 e
h 0
h 0 h
h
h
0h  0
h
f x 0  h   f x 0 
 lim
 lim  1 . Si noti il grafico della suddetta funzione nel
h 0
h 0
h 0 h
h
h
punto x 0  0 : esso presenta un angolo.
lim
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Esempio 5.5.2
x , il punto x 0  0 è un punto di cuspide per la funzione.
Si consideri la funzione di equazione y 
Infatti
lim
f x 0  h   f x 0 
 lim
h 0
h
0h  0
lim
f x 0  h   f x 0 
 lim
h 0
h
0h 
h 0
h 0
h 0
h
h
 lim
0
 lim
h 0
h
 lim
h 0
h
h
h
 lim
h 0
h
h
 lim
2
h 0
h
h
2
 lim
h 0
h 1
   e
h h
h 1
   . Si noti il
h h
grafico della suddetta funzione nel punto x 0  0 .
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Esempio 5.5.3
Si consideri la funzione di equazione y  3
, il punto x 0  0 è un punto di cuspide per la funzione.
Infatti
lim
f x 0  h   f x 0 
 lim
h 0
h
lim
f x 0  h   f x 0 
 lim
h 0
h
h 0
h 0
3
3
3
h 3 0
h
h
1
 lim
 lim 3 3  lim 3 2   e
h 0
h 0
h
h h 0 h
h
3
h 3 0
h
h
1
 lim
 lim 3 3  lim 3 2   . Si noti il grafico
h 0
h 0
h
h h 0 h
h
della suddetta funzione nel punto x 0  0 .
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
5.6 Procedimento finalizzato alla determinazione della funzione derivata di una funzione
Quale procedimento si segue per determinare la funzione derivata di una funzione la cui equazione
è nota? Si applica semplicemente la definizione di derivata in un punto al generico punto x
appartenente al C.E. della funzione. Qui di seguito mostriamo a titolo di esempio il procedimento da
seguire nel caso della funzione di equazione y  x 3 . Dobbiamo calcolare il seguente limite
lim
h 0
f x  h   f x 
h
nel generico punto x appartenente al C.E. della funzione.
Nella fattispecie
f x   x
3
f x  h   x  h   x 3  3x 2 h  3xh 2  h 3 .
2
Segue che
lim
h 0
f x  h   f x 
x 3  3x 2 h  3xh2  h 3  x 3
3x 2 h  3xh2  h 3 0
 lim
 lim
 .
h 0
h 0
h
h
h
0
Per dirimere la suddetta forma di indecisione si procede come segue:


h 3x 2  3xh  h 2
3x 2 h  3xh2  h 3
 lim
 lim 3x 2  3xh  h 2  3x 2 . In definitiva la funzione
h 0
h

0
h 0
h
h
derivata della funzione di equazione y  x 3 è la funzione di equazione di equazione y  3x 2 . In tal
lim
caso il C.E. della funzione di partenza coincide con il C.E. della sua funzione derivata. Si tratta di
tutto l’insieme dei numeri reali.
5.7 Funzione derivata delle funzioni elementari
Qui di seguito applicheremo la definizione di derivata ad alcune funzioni dette funzioni elementari
al fine di determinare per ciascuna di esse la funzione derivata corrispondente. Tali funzioni
vengono dette elementari perché le funzioni che non rientrano in tale categoria sono ottenute da
queste compiendo su di esse le operazioni di addizione algebrica, moltiplicazione, divisione e
composizione. Tratteremo i seguenti tre casi fondamentali:
Calcolo della derivata della funzione di equazione
y  x n , con n  Q. Dove con il simbolo Q
intendiamo l’insieme dei numeri razionali (tutti i numeri che possono essere scritti come frazioni).
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
In tal caso f x   x
n
e f x  h   x  h   x n  nx n 1 h  a 0 x n  2 h 2  ...  a n 3 xhn 1  h n . Segue
n
che
x n  nx n 1 h  a 0 x n  2 h 2  ...  a n 3 xhn 1  h n  x n
f x  h   f x 
lim
 lim

h 0
h 0
h
h
nx n 1h  a0 x n  2 h 2  ...  an  3 xhn 1  h n 0
 lim
 .
h 0
h
0
Per dirimere la suddetta forma di indecisione si procede come segue:


nx n 1 h  a 0 x n  2 h 2  ...  a n 3 xhn 1  h n
h nx n 1  a 0 x n  2 h  ...  a n 3 xhn  2  h n 1
 lim
 nx n 1
h 0
h

0
h
h
.
lim
Calcolo della derivata della funzione di equazione
y  a x , con
a R, a  0 a  1 . Prima di
effettuare il suddetto calcolo vogliamo fornire un limite notevole che non dimostreremo. Si tratta
x
 1
del seguente lim 1    e . Dove con e intendiamo il cosiddetto numero di Nepero. Si tratta di
x 
 x
un numero irrazionale che nella sua forma decimale si presenta come segue e = 2,7182818284…(i
puntini indicano la presenza di infinite cifre).
Proseguendo si ha f x   a
x
e f x  h   a x  h .
Segue che


f x  h   f x 
a x a h 1
a xh  a x
axah  ax
a h 1
x
lim
 lim
 lim
 lim
 a lim
h 0
h 0
h 0
h 0
h 0
h
h
h
h
h
h
h
Ora si ponga a 1  t per h che tende a 0 t tende a 0. Inoltre a  t  1 e h  log a t  1 . Per cui
effettuando un cambio di variabile nel calcolo del limite si ottiene
a h 1
t
1
. Ora ci concentreremo sul seguente limite:
 lim
 lim
h 0
t 0 log t  1
t 0 log t  1
h
a
a
t
1
1
log a t  1
1


lim
 lim log a t  1  lim log a t  1 t  log a  lim t  1 t  . Andiamo ora ad effettuare
t 0
t

0
t

0
t

0
t
t


lim
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
nuovamente un cambio di variabile. Poniamo
1
1
 z . Per t che tende a 0 si ha che  z tende a  .
t
t
1
log a t  1
1
1 
. Segue che lim t  1 t  lim   1  e . In definitiva: lim
 log a e e
t 0
z  z
t 0
z
t


z
Inoltre t 
lim
t 0
1
1
a xh  a x

 ln a . Quindi lim
 a x ln a .
h 0
log a t  1 log a e
h
t
Calcolo della derivata della funzione di equazione
y  log a x , con a R, a  0 a  1 . Segue che
 xh
 h
log a 
log a 1  

log a x  h   log a x
f x  h   f x 
 x 
 x
lim
 lim
 lim
 lim
h 0
h 0
h 0
h 0
h
h
h
h
h
h


h
log a 1  
log a 1  
1
h
h 1
hx 1
x
x 1




Ora
lim
 lim
 lim log a 1    lim log a 1    log a e .
h 0
h 0 x
h
h
x h 0 x
x  x h 0
x
x


x
x
Possiamo riassumere i risultati ottenuti nella seguente tabella.
Funzione
y  x n , con n  Q
y  a x , con a R, a  0 a  1
y  log a x , con a R, a  0 a  1
Derivata
y  nx n 1
y  a x ln a
1
y  log a e
x
Vediamo alcuni esempi come applicazione delle suddette formule.
Esempio 5.7.1
Si consideri la funzione di equazione y  x 5 , applicando la regola di derivazione riportata nella
prima riga della tabella si ottiene Dx 5  5 x 51  5 x 4 .
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Esempio 5.7.2
m
Si consideri la funzione di equazione y  3 x 2 . Nella circostanza ricordo che
n
x m  x n . Ne
2
consegue che y  3 x 2  x 3 . Quindi applicando la formula riportata nella prima riga della tabella si
2
3
2
1
2 1 2 
2 1
2 1
a
ottiene Dx  x 3  x 3 
 3 . Ricordo che  
1
3
3
3 3 3 x
b
x
n
n
b
  .
a
Esempio 5.7.3
Si consideri la funzione di equazione y  5 x . Applicando la formula riportata nella seconda riga
della tabella si ottiene D5 x  5 x ln 5 .
Esempio 5.7.4 (caso di particolare importanza)
Si consideri la funzione di equazione y  e x . Applicando la formula opportuna si ottiene
De x  e x ln e  e x .
Esempio 5.7.5
Si consideri la funzione di equazione y  log 5 x . Applicando la formula contenuta nella terza riga
della tabella D log 5 x 
1
log 5 e .
x
Esempio 5.7.6 (caso di particolare importanza)
Si consideri la funzione di equazione y  ln x  log e x . Applicando la formula opportuna si ottiene
D ln x 
1
1
log e e  .
x
x
5.8 Meta-regole di derivazione
Come vedremo in seguito alcune funzioni possono essere pensate come somma algebrica, prodotto
o quoziente di funzioni elementari. Per poterle derivare abbiamo bisogno di conoscere le regole di
derivazione delle funzioni elementari, ma non basta. Occorre conoscere le regole di cui ci
occuperemo in questo paragrafo.
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Teorema 5.8.1 (derivata di una somma )
Sia data una funzione di equazione
DF x  D f x  g x  Df x  Dg x .
y  F x  , dove
F x  f x  g x . In tal caso
Dimostrazione
Effettuiamo il calcolo del limite del rapporto incrementale
 f x  h  g x  h   f x   g x   lim  f x  h  f x    g x  h  g x   
F x  h   F x 
 lim

 

h

0
h 0 
h
h
h
h
 


f x  h   f x 
g x  h   g x 
lim
 lim
 Df x   Dg x  .
h 0
h 0
h
h
lim
h 0
Esempio 5.8.1
Si consideri la funzione di equazione y  x 3  ln x . Applicando la regola fornita dal teorema
precedente e utilizzando il contenuto della tabella relativa alle derivate delle funzioni elementari si
1
ottiene D x 3  ln x  3 x 2  .
x


Teorema 5.8.2 (derivata di un prodotto)
Sia data una funzione di equazione
DF x  Df xg x  f xDg x
y  F x  , dove
F x  f xg x . In tal caso
Dimostrazione
Effettuiamo il calcolo del limite del rapporto incrementale
lim
h 0
 f x  h g x  h    f x g x  
F x  h   F x 
 lim
h 0
h
h
f x  h g x  h   f x g x  h   f x g x  h   f x g x 

h
f x  h   f x 
g x  h   g x 
 lim g x  h 
 lim f x 
 g  x Df  x   f x Dg x  .
h 0
h 0
h
h
 lim
h 0
Esempio 5.8.2
Si consideri la funzione di equazione y  x 4  e x . Applicando la regola fornita dal teorema
precedente e utilizzando il contenuto della tabella relativa alle derivate delle funzioni elementari si
1
ottiene D x 4  ln x  4 x 3  ln x  x 4   4 x 3  ln x  x 3 .
x


Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Teorema 5.8.3 (derivata del prodotto di una costante per una funzione)
Sia data una funzione di equazione y  F x  , dove F x  cf x . In tal caso DF x  cDf x
Dimostrazione
Si tratta di un caso particolare del teorema precedente: una delle due funzioni è la funzione costante.
cDf x  f xDc  cDf x  f x  0  cDf x
Esempio 5.8.3
Si consideri la funzione di equazione y  5  2 x . Applicando la regola fornita dal teorema
precedente e utilizzando il contenuto della tabella relativa alle derivate delle funzioni elementari si


ottiene D 5  2 x  5  2 x  ln 2 .
Osservazione 5.8.1
Ricordo che y  1  x 0 , per cui applicando la regola riportata nella prima riga della tabella
contenuta nel paragrafo precedente si ottiene Dx 0  0 Dx 0 1  0 . Ne consegue per il teorema
precedente che Dc  cD1  c  0  0
Teorema 5.8.4 (derivata di un quoziente)
Sia
data
DF x  
una
funzione
di
Df x g x   f x Dg x 
g x2
equazione
y  F x  ,
dove
F x  
f x 
.
g x 
In
.
Dimostrazione
Effettuiamo il calcolo del limite del rapporto incrementale
lim
f x  h  f x 
f x  h g x   f x g x  h 
F x  h   F x 
 lim

 lim

h 0 g  x  h 
h
g  x  h 0
g x  h g x 
lim
f x  h g  x   f  x g  x   f  x g x   f x g x  h 

g x  h g  x 
h 0
h 0
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
tal
caso
f x  h   f x 
g x   g x  h 
f x  h   f x 
g x  h   g x 
 lim f x 
 lim g x 
 lim f x 

h 0
h 0
h 0
h 0
g x  h g x 
g x  h g x 
g x  h g x 
g x  h g x 
Df x g x   f x Dg x 
=
g x 2
 lim g x 
Esempio 5.8.4
x3
Si consideri la funzione di equazione y 
. Applicando la regola fornita dal teorema precedente
ln x
e utilizzando il contenuto della tabella relativa alle derivate delle funzioni elementari si ottiene
1
3x 2  ln x  x 3 
2
2
 x3 
x  3x  ln x  x
D


ln 2 x
ln 2 x
 ln x 
Prima di enunciare e dimostrare il teorema relativo alla composizione di due funzioni indichiamo
prima attraverso un esempio e successivamente, più in generale, cosa s’intende per composizione di
due funzioni. Si consideri la funzione di equazione y  ln x 3  . Tale funzione può essere vista
come composizione delle due applicazioni seguenti:
z  g x   x 3 e y  f z   ln z . La prima
delle due funzioni associa
x ad x 3 e la seconda associa ad x 3 ln x 3 . In generale, sia data la
funzione di equazione y  F x  , dove F x  f g x . Tale funzione è da intendersi come la
composizione di z  g x  e y  f z  , dove la prima delle due funzioni associa
seconda associa a g x f g x .
x a g x e la
Teorema 5.8.5 (derivata di una composizione di funzioni )
Sia
data
una
funzione
DF x   Dz f z Dx g x  ,
di
equazione
dove si è posto
y  F x  ,
dove
F x  f g x .
z  g x  e dove con D z
In
Dimostrazione
Effettuiamo il calcolo del limite del rapporto incrementale
h 0
f g x  h   f g x 
f z  k   f z  k
F x  h   F x 
 lim
 lim
 
h

0
h

0
h
h
k
h
k 0
 lim
h 0
k 0
caso
e D x intendiamo,
rispettivamente, la derivata rispetto a z e la derivata rispetto a x.
lim
tal
f z  k   f z 
g ( x  h)  g ( x )
 lim
 D z f z D x g x  . Facciamo notare che
h 0
k
h
k 0
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
g x  h  g x  k e, di conseguenza, avendo posto g x  z si ha che g x  h  z  k . Infine se
h tende a 0, allora g x  h tende a g x e, di conseguenza
g x   g x   0 .
k  g x  h  g x tende a
Esempio 5.8.6
Si consideri la funzione di equazione y  ln x 3  . Nella fattispecie F x   ln( x 3 ) , z  g x   x 3 e
f z   ln z . Applicando la regola fornita dal teorema precedente e utilizzando il contenuto della
tabella
relativa
alle
derivate
delle
funzioni
elementari
si
ottiene
1
1
3
D ln x 3   D z ln z  D x x 3   3x 2  3  3x 2 
z
x
x


Relativamente alle funzioni composte forniamo una tabella che permette di calcolare la derivata di
alcune funzioni composte
Funzione
n
y   f  x  , con n  Q
Derivata
n 1
y  n f x   f ' x 
y  a f  x  ln a  f ' x 
y  a f  x  , con a R, a  0 a  1
y  log a f x  , con a R, a  0 a  1
y
1
log a e  f ' x 
f x 
Teorema 5.8.6
Sia data una funzione di equazione y   f  x 
caso Dy   f x 
g x
g x
, dove f x  e g x sono entrambe derivabili. In tal

f ' x 
 g ' x  ln f x   g x  f x   .


Dimostrazione
Data la funzione y   f  x 
ln y  ln  f x 
g x
g x
, sappiamo per le proprietà dei logaritmi che
 g x  ln f x  . Ora passando alla derivata si ottiene
D ln y  g ' x  ln f x   g x 
f ' x 
.
f x 
Sappiamo, però, che D ln y 
y'
. Segue che
y
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
y'
f ' x 
 g ' x  ln f x   g x 
 y' 
y
f x 

f ' x 
y  g ' x  ln f x   g x 

f x  

f ' x 
g x 
.
  f x   g ' x  ln f x   g x 
f x  

5.9 Legame tra derivazione e continuità
Qui di seguito proveremo che una funzione derivabile in un punto in quel punto è anche continua. A
tale scopo enunciamo e dimostriamo il seguente
Teorema 5.9.1
Data una funzione di equazione y  f (x) , definita in un intervallo a; b  C.E., e dato un punto
x0  a; b e tale che esiste un suo intorno I x0   a; b, se la funzione è derivabile nel punto
x0  a; b , allora in tale punto è anche continua.
Dimostrazione 1
fatto
lim
f x 0  h   f x 0 
 f ' x0  , dove f ' x 0  è un numero (un valore finito). Segue che
h
h 0
che
la
funzione
sia
derivabile
nel
punto
x0  a; b
Il
implica
che
f x 0  h   f x 0 
 f ' x0    h , dove h tende a 0 per h che tende a 0. Inoltre
h
f x 0  h  f x 0   hf ' x 0   h h e f x0  h   f x0   hf ' x0   h h  . Se ora facciamo tendere
h a 0 si ottiene:
lim f x 0  h   lim  f x 0   hf ' x 0   h h   f x 0  . In definitiva, se si pone
h 0
h 0
x  x0  h quando h tende a 0 x tende a x 0 per cui il risultato ottenuto equivale al seguente:
lim f x  f x0  che coincide con la definizione di continuità in un punto.
x  x0
Dimostrazione 2
f x 0  h   f x 0 
 h  f x0  e passando al limite per h che tende a 0 si ha
h
f x 0  h   f x 0 
 f x 0  h   f x 0 

lim f x 0  h   lim 
 h  f x 0   lim
 lim h  lim f x 0 
h 0
h 0
h 0
h 0
h
h

 h 0
Si ha che f x0  h 
 f ' x0   0  f x0  x 0 . In definitiva, se si pone x  x0  h quando h tende a 0 x tende a x 0 per cui
il risultato ottenuto equivale al seguente:
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
lim f x  f x0  che coincide con la definizione di continuità in un punto.
x  x0
5.10
Derivate di ordine superiore al primo
Definizione 5.10.1
Sia data una funzione di equazione y  f (x) , definita in un intervallo a; b  C.E., e derivabile
nell’intervallo aperto a; b . Si dice derivata di ordine 2 o derivata seconda la funzione derivata
prima della sua funzione derivata prima. Analogamente la derivata di ordine 3 o derivata terza
della funzione è la funzione derivata prima della derivata seconda. Dalla seguente definizione si
deduce facilmente quella di derivata di ordine n qualsiasi con n  N.
5.11
Differenziale di una funzione
Definizione 5.11.1
Sia data una funzione di equazione y  f (x) , definita in un intervallo a; b  C.E. e un punto
x0  a; b tale che esiste un suo intorno I x0   a; b. Se tale funzione è derivabile nel punto x 0 si
introduce la quantità df ( x0 )  f ' x0 dx . Tale quantità prende il nome di differenziale di y  f (x)
nel punto x0  a; b .
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)