PROGRAMMA DI MATEMATICA
FUNZIONI E LORO PRPRIETA’
CLASSE V D a.s.2015/16
LIMITI DELLE FUNZIONI:
La topologia della retta : intervalli, intorni, insiemi limitati e illimitati, estremi di un insieme, punti
isolati e di accomulazione,
Limite finito di una funzione per x che tende a un valore finito, e per x che tende ad infinito
Limite infinito di una funzione per x che tende a un valore finito e per x che tende ad infinito:
definizioni con relative interpretazioni geometriche.
Asintoti orizzontali , verticali
Teoremi generali sui limiti:
Teorema della permanenza del segno(con dimostrazione)
Primo Teorema del confronto(Teorema dei due carabinieri)(con dimostrazione)
Limiti di successioni
Funzioni continue e calcolo dei limiti
Continuità delle funzioni elementari
TEOREMI SUL CALCOLO DEI LIMITI (senza dimostrazione)
Limite della somma algebrica di funzioni
Limite della potenza, della radice ennesima, della funzione inversa, del quoziente di due funzioni,
del prodotto di due funzioni, continuità della funzione inversa.
FORME INDETERMINATE
Calcolo di limiti con forme indeterminate
LIMITI NOTEVOLI
Calcolo dei limiti con limiti notevoli ( dimostrazione solo del lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
= 1)
LE FUNZIONI CONTINUE ( Senza dimostrazione)
Funzioni continue in un intervallo ed in un punto, Teorema di Weierstrass, Teoremi dei valori
intermedi.
DISCONTINUITA’ DELLE FUNZIONI
Punti di discontinuità di 1^,2^, 3^ specie
Gli asintoti obliqui
LE SUCCESSIONI
Successioni numeriche , limite di una successione, teoremi sui limiti delle successioni , limiti delle
progressioni aritmetiche e geometriche.
TEOREMA DI ESISTENZA DEGLI ZERI DI UNA FUNZIONE
Metodo di bisezione per la determinazione degli zeri di una funzione
DERIVATA DI UNA FUNZIONE (senza dimostrazione)
Definizione e nozioni fondamentali sulle derivate
Significato geometrico della derivata, derivata destra e sinistra, la retta tangente al grafico di una
funzione, punti stazionari, punti di non derivabilità, continuità e derivabilità delle funzioni.
DERIVATE FONDAMENTALI (senza dimostrazione)
TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE (senza dimostrazione)
DERIVATA DI UNA FUNZIONI COMPOSTA
DERIVATA DI UNA FUNZIONE INVERSA
DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE (Significato geometrico)
TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE:
Teorema di Rolle (con dimostrazione e interpretazione geometrica)
Teorema di Lagrange ( con dimostrazione e interpretazione geometrica)
I due teoremi conseguenti del Teorema di Lagrange. ( con dimostrazione)
Funzioni crescenti e decrescenti,
Teorema di Cauchy (senza dimostrazione)
Teorema di De L’Ospital (senza dimostrazione)
DENIZIONI DI MASSIMO E MINIMO RELATIVO
Punti estremanti, estremi relativi, massimi e minimi
DEFINIZIONI DI PUNTI DI FLESSO
I MASSIMI I MINIMI E FLESSI (senza dimostrazione)
Le definizioni di massimi, minimi assoluti e relativi, concavità, flessi, ricerca dei massimi , minimi
e flessi a tangente orizzontale con la derivata prima.
CONCAVITA’ DI UNA CURVA E RICERCA DEI PUNTI DI FLESSO
Flessi e studio del segno della derivata seconda
PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO
STUDIO DI FUNZIONI
LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DI UN’EQUAZIONE
La separazione delle radici.
Teorema dell’esistenza degli zeri (senza dimostrazione)
Primo e secondo teorema di unicità dello zero di una funzione (senza dimostrazione)
Metodo di Bisezione ,metodo delle secanti e delle Tangenti
INTEGRALI INDEFINITI: (senza dimostrazione)
Le primitive, proprietà degli integrali indefiniti
Integrazioni immediate
Integrazione delle funzioni razionali fratte
Integrazione per sostituzione
Integrazione per parti
Integrali di particolari funzioni irrazionali
INTEGRALI DEFINITI
Il problema delle aree
Definizione generale di integrale definito
Proprietà degli integrali definiti
Teorema della media(solo interpretazione geometrica)
La funzione integrale
Teorema fondamentale del calcolo integrale (senza dimostrazione)
Formula fondamentale del calcolo integrale
Il calcolo delle aree di superfici piane
APPLICAZIONI DEGLI INTEGRALI DEFINITI
La lunghezza di un arco di curva, Volume di un solido di rotazione
INTEGRALI IMPROPRI
INTEGRAZIONE NUMERICA
Il metodo dei trapezi.
Il metodo dei rettangoli
LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Le equazioni differenziali del primo ordine, a variabili separabili, equazioni differenziali lineari del
primo ordine: omogenea e completa.
PROBABILITA’ (ripasso sul libro di IV)
Definizione classica di probabilità e definizione frequentista
Probabilità totale ,composta , contraria, condizionata
Formula di Bayes
LE DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA’
Definizione di variabili casuali discrete
Valor medio, moda, mediana
Varianza e scarto quadratico medio
Funzione di ripartizione
Teoria dei giochi
DISTRIBUZIONI DELLE VARIABILI CASUALI DISCRETE
Distribuzione uniforme, binomiale o di Bernoulli ,di Poisson
La legge dei grandi numeri
VARIABILI CASUALI CONTINUE
Variabili casuali continue e funzioni di ripartizione
Funzione di densità di probabilità
Valor medio , varianza, scarto quadratico medio, moda e mediana
DISTRIBUZIONI TIPICHE DELLE VARIABILI CASUALI CONTINUE
La distribuzione uniforme continua e Gaussiana.
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La Docente
Gli Studenti
ELENCO TEOREMI MATEMATICA
Definizioni ed interpretazione geometrica di:
Limite finito di nua funzione per x che tende a un valore finito, e per x che tende ad infinito
Limite infinito di una funzione per x che tende a un valore finito e per x che tende ad infinito
Teoremi generali sui limiti: (senza dimostrazione)
Teorema della permanenza del segno
Primo Teorema del confronto (Teorema dei due carabinieri)
Secondo Teorema del confronto
Terzo teorema del confronto
Teorema del limte del modulo di una funzione
Definizione di funzione Continua
Limite del reciproco di una funzione (Interpretazione geometrica).
Teorema dell’esistenza degli zeri (con dimostrazione)
TEOREMA DI WEIERSTRASS (interpretazione grafica)
TEOREMA DI DARBOUX (interpretazione grafica)
DERIVATA DI UNA FUNZIONE : interpretazione geometrica
Derivate fondamentali ottenute mediante la definizione di derivata (limite del rapporto
incrementale )
Derivata di una funzione inversa ,solo interpretazione geometrica
Differenziale di una funzione e significato geometrico
TEOREMA DI ROLLE (con dimostrazione e innterpretazione geometrica)
TEOREMA DI LAGRANGE ( con dimosrtazione e interprteazione geometrica)
I due teoremi conseguenti del Teorema di Lagrange. ( con dimosrazione)
TEOREMA DI CAUCHY
TEOREMA DI DE L’HOPITAL e sue applicazioni
TEOREMA DELLA MEDIA con dimostrazione e interpretazione geometrica
TEOREMA DEL CALCOLO INTEGRALE e FORMULA FONDAMENTALE DEL
CALCOLO INTEGRALE (senza dimostrazione)
VOLUMI DI SOLIDI DI ROTAZIONE:
ESEMPI COME IL CONO, DEL TORO , del tronco di cono
TEOREMA DI GULDINO (solo enunciato)
Baricentro di una figura
