Corso di Laurea in Economia e Management
Appello del 16/2/2017 — Matematica per l’Economia
lettere E-Z, a.a. 2016–2017, compito A, prof. Gianluca Amato
Regole generali
Si svolga il primo esercizio e, a scelta dello studente, l’esercizio 2 o il 3. Nel caso
vengano svolti entrambi, verrà considerato ai fini del voto finale solo uno dei due (a
discrezione del docente). Si noti che:
• Tutte le risposte vanno opportunamente motivate.
• Copiare anche un singolo esercizio causa l’annullamento di tutto il compito.
• È possibile utilizzare una calcolatrice.
• Non si possono adoperare libri o appunti.
• È vietato l’utilizzo di telefoni cellulari o altri strumenti di telecomunicazione.
Testo della prova
1. (27 punti) Si consideri la funzione f : A ⊆ R → R data da f (x) = (log x)2 .
(a) Calcolare, se possibile, f (−1), f (0), f (1) ed f (2).
(b) Determinare l’insieme di definizione A della funzione f .
(c) Calcolare i seguenti limiti, se possibile:
lim f (x)
x→+∞
lim f (x)
x→1
lim f (x)
x→−∞
(d) Determinare i punti di intersezione del grafico di f con gli assi.
(e) Determinare il segno di f (x) al variare di x.
(f) Determinare gli eventuali asintoti orizzontali e verticali della funzione f .
(g) Determinare gli eventuali asintoti obliqui della funzione f .
(h) Calcolare la derivata della funzione f .
(i) Determinare crescenza, decrescenza e punti di minimo e massimo relativo.
(j) Determinare l’insieme f (A) delle immagini di f .
(k) Calcolare la derivata seconda della funzione f .
(l) Determinare concavità, convessità e punti di flesso.
(m) Disegnare il grafico della funzione, evidenziando le intersezioni con gli assi,
i punti di massimo e minimo relativo e i punti di flesso.
(n) Verificare che la funzione g(x) = x((log x)2 − 2 log x + 2) è una primitiva
di f .
(o) Determinare l’area compresa tra il grafico della funzione, l’asse delle ascisse
e le rette x = 1 ed x = e.
2. (6 punti) Si risolvano le seguenti disequazioni:
| log x| ≥ 1
3. (6 punti) Si consideri la seguente matrice:
2 −2
1
1
2
A=
3
2
0
e|x| > 1
1
2
−2
Calcolare la sua trasposta AT , e verificare se AT è l’inversa di A.
Soluzione compito A
1. Prima di tutto, notare che (log x)2 è ben diverso da log x2 . Nel primo caso,
data una x, prima ne calcolo il logaritmo e poi elevo il risultato al quadro. Nel
secondo caso, invece, prima calcolo il quadrato della x e poi faccio il logaritmo. I
risultati sono in generale completamente differenti. Volendo, è possibile scrivere
log2 x come abbreviazione di (log x)2 .
(a) Non si può calcolare né f (−1) né f (0) perché l’argomento del logaritmo
deve essere un numero strettamente positivo. Per quanto riguarda gli altri
due valori, abbiamo f (1) = (log 1)2 = 02 = 0 e f (2) = (2 log 2)2 = 4 log2 2.
Quest’ultimo possiamo tranquillamente lasciarlo in questa forma, non è
necessario scriverne una approssimazione decimale.
(b) Perché la f sia definita, è necessario che l’argomento del logaritmo sia
strettamente maggiore di 0. Dunque A = (0, +∞).
(c) Il limite per x → −∞ non esiste perché −∞ non è punto di accumulazione dell’insieme di definizione di f . Il limiter per x → 1 lo si ottiene
immediatamente per continuità: limx→1 f (x) = f (1) = 0. Il limite per
x → +∞ lo si ottiene semplicmente applicando le proprietà dei limiti:
limx→+∞ f (x) = limx→+∞ (log x)2 = (limx→+∞ log x)2 = (+∞)2 = +∞.
(d) Non ci sono intersezioni con l’asse delle ordinate perché f (0) non è definita.
Per trovare le intersezioni con l’asse delle ascisse, risolviamo l’equazione
f (x) = 0. Abbiamo
f (x) = 0 ⇐⇒ (log x)2 = 0 ⇐⇒ log x = 0 ⇐⇒ x = 1.
Dunque abbiamo una intersezione nel punto X ≡ (1, 0).
(e) Per determinare il segno di f (x) al variare di x bisogna risolvere la disequazione (log x)2 ≥ 0. Ovviamente, essendo (log x)2 un quadrato, questa
è sempre verificata nei punti dell’insieme A. Pertanto, si ha f (x) ≥ 0 per
x ∈ A.
(f) Gli asintoti verticali si trovano nei punti di frontiera di A (l’insieme di
definizione di f ). In questo caso A ha un solo punto di frontiera, che è lo 0.
Poiché limx→0 f (x) = limx→0 (log x)2 = (limx→0 log x)2 = (−∞)2 = +∞
abbiamo che x = 0 è un asintoto verticale. (Stiamo usando il fatto che
limx→0 log x = −∞.)
Poiché già sappiamo che limx→+∞ f (x) = +∞ e che non esiste il limx→−∞ f (x),
si ha che il grafico di f non ha asintoti orizzontali.
(g) Per determinare gli eventuali asintoti obliqui, bisogna calcolare
m = lim
x→+∞
f (x)
(log x)2
= lim
.
x→+∞
x
x
Poiché x è un infinito di ordine superiore di (log x)2 per x → +∞, si ha
m = 0. Siccome il risultato è nullo, allora non c’è un asintoto obliquo per
x → +∞. Visto che f (x) è definita solo per valori positivi, ovviamente
non esiste un asintoto obliquo per x → −∞.
(h) Per definizione f 0 (x) = D[(log x)2 ] = 2(log x)D[log x] = 2 logx x . Se i calcoli
di sopra vi risultato ostici, tenete contro che si tratta di una applicazione della formula per il calcolo della derivata di una funzione composta.
Infatti, se poniamo g(x) = log x e h(x) = x2 , abbiamo f (x) = h(g(x)).
Dalla formula per la derivata della funzione composta, abbiamo f 0 (x) =
h0 (g(x))g 0 (x). Poiché g 0 (x) = x1 e h0 (x) = 2x, otteniamo il risultato di cui
sopra.
(i) Per determinare crescenza, decrescenza e punti di minimo e massimo relativo, bisogna studiare il segno di f 0 (x), e quindi risolvere la disequazione
f 0 (x) ≥ 0, ovvero 2 logx x ≥ 0. Poiché log x è definita solo per x > 0, possiamo limitarci a considerare solo questo caso. Allora, il denominatore della
frazione è sempre positivo, e abbiamo
2
log x
≥ 0 ⇐⇒ log x ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ 1.
x
Concludendo f 0 (x) ≥ 0 per x ≥ 1 e f 0 (x) < 0 per 0 < x < 1 (e, ovviamente
f 0 (x) = 0 per x = 1). Dal punto di vista della funzione f , questo vuol dire
che f decresce per 0 < x < 1 e cresce per x > 1. Il punto x = 1 è pertanto
un punto di minimo relativo. Non ci sono punti di massimo relativo.
(j) Il punto di minimo relativo è anche il punto di minimo assoluto, visto che la
funzione cresce sempre allontanandosi da esso. Per x = 1, si ha f (x) = 0.
D’altronde, per x → +∞ si ha f (x) → +∞, quindi la funzione assume
valori grandi a piacere. Ne segue che tutti i valori da 0 in su vengono
assunti prima o poi da f (x), e quindi f (A) = [0, +∞).
(k) Per definizione abbiamo
D[2 log x]x − 2(log x)D[x]
2 log x
2 − 2 log x
=
f 00 (x) = D
=
.
x
x2
x2
(l) Per determinare concavità, convessità e punti di flesso, va studiato il segno
di f 00 (x). Poiché il denominatore è sempre strettamente positivo (tranne il caso x = 0 che comuque non rientra nell’insieme di definizione del
logaritmo) abbiamo
2 − 2 log x
≥ 0 ⇐⇒ 2 − 2 log x ≥ 0 ⇐⇒ 2 ≥ 2 log x ⇐⇒ log x ≤ 1.
x2
Poichè 1 = log e, abbiamo
(
x≤e
log x ≤ 1 ⇐⇒ log x ≤ log e ⇐⇒
x>0
⇐⇒ 0 < x ≤ e.
Dunque f 00 (x) ≥ 0 per 0 < x ≤ e, ed f 00 (x) < 0 per x > e. Dal punto di
vista della funzione f , vuol dire che f è convessa per 0 < x < e, concava
per x > e, mentre per x = e si ha un punto di flesso F ≡ (e, f (e)) ≡ (e, 1).
(m) Ecco il grafico della funzione:
4
3
2
1
F
0
X
0
1
2
3
4
5
6
(n) Per verificare che la funzione g(x) = x((log x)2 −2 log x+2) è una primitiva
di f basta calcolare g 0 (x) e verificare che coincide con f (x). Per semplicità
scrivo (log x)2 come log2 x. Abbiamo
g 0 (x) = D[x(log2 x − 2 log x + 2)] =
= D[x](log2 x − 2 log x + 2) + xD[log2 x − 2 log x + 2] =
2
2 log x
−
=
= log2 x − 2 log x + 2 + x
x
x
= log2 x − 2 log x + 2 + 2 log x − 2 = log2 x = f (x)
come volevamo dimostrare.
(o) Per 1 < x < e la funzione f è sempre positiva. Dunque, per determinare
Re
l’area richiesta, basta calcolare il seguente integrale definito: 1 f (x) dx.
2
Poiché sappiamo che g(x) = x(log x − 2 log x + 2) è una primitiva di f (x),
abbiamo:
Z e
f (x) = [g(x)]e1 = [x(log2 x−2 log x+2)]e1 = e(1−2+2)−1(0−0+2) = e−2.
1
2. Per risolvere la disequazione | log x| ≥ 1 bisogna risolvere separatamente i casi
in cui log x ≥ 0 e in cui log x < 0. Quando log x ≥ 0 la disequazione diventa
log x ≥ 1, mentre qundo log x < 0 la disequazione diventa − log x ≥ 1, ovvero
log x ≤ −1. Allora
| log x| ≥ 1
(
log x ≥ 1
⇐⇒
log x ≥ 0
(
oppure
log x ≤ −1
log x < 0
⇐⇒ log x ≥ 1 oppure log x ≤ −1
⇐⇒ x ≥ e oppure x ≤ 1/e.
Per la disequazione e|x| > 1 potremmo distinguere i casi x ≥ 0 e x < 0 e
procedere come prima, ma c’è un metodo più semplice. Facendo il logaritmo di
ambo i membri, si ha
e|x| > 1 ⇐⇒ log e|x| > log 1 ⇐⇒ |x| > 0.
Ovviamente il valore assoluto di x è sempre strettamente positivo, tranne per
x = 0, valore per il quale si annulla. Dunque
|x| > 0 ⇐⇒ x 6= 0
che è la soluzione della disequazione.
3. Procedere come nell’esercizio 2 del compito A del 27/1/2017, sennonché la matrice AT non è l’inversa di A, per cui quando si calcola AAT non verrà la matrice
identità.
Corso di Laurea in Economia e Management
Appello del 16/2/2017 — Matematica per l’Economia
lettere E-Z, a.a. 2016–2017, compito B, prof. Gianluca Amato
Regole generali
Si svolga il primo esercizio e, a scelta dello studente, l’esercizio 2 o il 3. Nel caso
vengano svolti entrambi, verrà considerato ai fini del voto finale solo uno dei due (a
discrezione del docente). Si noti che:
• Tutte le risposte vanno opportunamente motivate.
• Copiare anche un singolo esercizio causa l’annullamento di tutto il compito.
• È possibile utilizzare una calcolatrice.
• Non si possono adoperare libri o appunti.
• È vietato l’utilizzo di telefoni cellulari o altri strumenti di telecomunicazione.
Testo della prova
1. (27 punti) Si consideri la funzione f : A ⊆ R → R data da f (x) = (log x)3 .
(a) Calcolare, se possibile, f (−1), f (0), f (1) ed f (2).
(b) Determinare l’insieme di definizione A della funzione f .
(c) Determinare i punti di frontiera di A e dire se A è aperto e/o chiuso.
(d) Calcolare i seguenti limiti, se possibile:
lim f (x)
x→+∞
lim f (x)
x→1
lim f (x)
x→−∞
(e) Determinare i punti di intersezione del grafico di f con gli assi.
(f) Determinare il segno di f (x) al variare di x.
(g) Determinare gli eventuali asintoti orizzontali e verticali della funzione f .
(h) Determinare gli eventuali asintoti obliqui della funzione f .
(i) Calcolare la derivata della funzione f .
(j) Determinare crescenza, decrescenza e punti di minimo e massimo relativo.
(k) Determinare i punti di minimo e massimo assoluto.
(l) Determinare l’insieme f (A) delle immagini di f .
(m) Calcolare la derivata seconda della funzione f .
(n) Determinare concavità, convessità e punti di flesso della funzione.
(o) Disegnare il grafico della funzione, evidenziando le intersezioni con gli assi,
i punti di massimo e minimo relativo e i punti di flesso.
2. (6 punti) Si calcoli l’area della regione di piano delimitata dall’asse delle ascisse,
dalle rette di equazione x = 1/e ed x = e, e dalla funzione f (x) = logx x .
3. (6 punti) Si consideri la seguente matrice:
√
1
3 √1
A=
3
−1
2
Calcolare la sua trasposta AT , e verificare se AT è l’inversa di A.
Soluzione compito B
1. La soluzione di questo esercizio sarà molto stringata. Per ulteriori spiegazioni,
leggere la soluzione all’esercizio 1 del compito A, che è molto simile.
(a) f (−1) ed f (0) non si possono calcolare. f (1) = 0 ed f (2) = (log 2)3 .
(b) A = (0, +∞).
(c) I punti di frontiera di un intervallo sono i suoi estremi finiti. In questo caso,
quindi, abbiamo un unico punto di frontiera che è 0. Siccome l’intervallo
non include i punti di frontiera è un aperto.
(d) limx→+∞ f (x) = (+∞)3 = +∞, limx→1 f (x) = f (1) = 0, limx→−∞ f (x)
non esiste.
(e) Nessuna intersezione con l’asse delle ordinate. L’equazione (log x)3 = 0 ha
una sola soluzione che è x = 1. Pertanto si ha un’intersezione con l’asse
delle ascisse nel punto X ≡ (1, 0).
(f) Questo è abbastanza diverso dall’analogo punto del compito A, a causa dell’esponente del logaritmo che qui è dispari. Dobbiamo risolvere
(log x)3 ≥ 0. Possiamo prendere la radice cubica di ambo i membri e
abbiamo:
p
√
3
(log x)3 ≥ 0 ⇐⇒ 3 (log x)3 ≥ 0 ⇐⇒ log x ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ 1.
Dunque f (x) ≥ 0 per x ≥ 1 e f (x) < 0 per 0 < x < 1.
(g) Si ha limx→0 (log x)3 = (limx→0 log x)3 = (−∞)3 = −∞, dunque x = 0 è
un asintoto vertiale. Poiché limx→+∞ (log x)3 = +∞ e limx→−∞ (log x)3
non esiste, non ci sono asintoti orizzontali.
3
(h) Poiché limx→+∞ f (x)
= limx→+∞ (logxx) = 0, non ci sono asintoti obliqui
x
per x → +∞. Siccome f (x) non è definita per valori di x negativi, non ci
sono asintoti obliqui per x → −∞.
2
(i) f 0 (x) = D[(log x)3 ] = 3(log x)2 D[log x] = 3 (logxx) .
(j) Per i valori in cui la f (x) è definita, ovvero per x > 0, il numeratore
è sempre positivo (a causa del quadrato) ed il denominatore è sempre
strettamente positivo. Pertanto f 0 (x) = 0 per x = 1 e f 0 (x) > 0 per
0 < x < 1 e per x > 1. Ne segue che f cresce sempre e il punto x = 0 in
cui la derivata prima si annulla non è né di minimo né di massimo relativo,
ovvero è un punto di flesso a tangente orizzontale.
(k) Poiché limx→0 (log x)3 = −∞ e limx→+∞ (log x)3 = +∞, la funzione non
ha né minimi né massimi assoluti.
(l) Poiché f è continua e assume valori arbitariamente grandi e arbitariamente
piccoli (per quanto visto sopra), assume tutti i possibili valori reali. Quindi
f (A) = R.
(m) Scrivo per semplicità (log x)2 come log2 x. Si ha:
D[log2 x]x − (log2 x)D[x]
log2 x
f 00 (x) = D[f 0 (x)] = D 3
=3
=
x
x2
=3
(2 log(x)/x)x − log2 x
6 log x − 3 log2 x
=
2
x
x2
(n) Per determinare concavità, convessità e punti di flesso devo determinare
il segno della f 00 (x). Poiché per i valori per cui f (x) è definita (x > 0) è
anche x2 > 0, posso ignorare il denominatore. Ottengo:
6 log x − 3 log2 x
≥ 0 ⇐⇒ 6 log x−3 log2 x ≥ 0 ⇐⇒ (3 log x)(2−log x) ≥ 0.
x2
Siccome il primo membro è un prodotto di funzioni, studio separatamente
il segno di 3 log x e 2 − log x. Si ha che 3 log x ≥ 0 per x ≥ 1 mentre
3 log x < 0 per 0 < x < 1. Invece 2 − log x ≥ 0 ⇐⇒ log x ≤ 2 ⇐⇒ log x ≤
log e2 ⇐⇒ 0 < x < e2 . Abbiamo la seguente situazione:
−
+
−
0
−
−
+
+
+
+
1
(3 log x)(2 − log sx)
2 − log x
3 log x
e2
Mettendo assieme i risultati si ha che (3 log x)(2 − log x) è strettamente
positivo per 1 < x < e2 e strettamente negativo per 0 < x < 1 oppure
x > e2 , mentre si annulla in 1 ed e2 .
Pertanto, la funzione f (x) è convessa per 1 < x < e2 e concava per 0 <
x < 1 e x > e2 . I punti x = 1 e x = e2 sono punti di flesso (tra l’altro,
x = 1 l’avevamo già trovato). Essi corrispondono ai punti del grafico di
coordinate F1 = (1, f (1)) ed F2 = (e2 , f (e2 )) dove f (1) = 0 ed f (e2 ) =
(log e2 )3 = (2 log e)3 = 8.
(o) Ecco il grafico della funzione:
10
F2
5
0
X, F1
−5
0
2
4
6
8
10
2. Prima di tutto calcoliamo una primitiva della funzione f (x). Abbiamo
Z
Z
Z
(log x)2
log x
f (x) dx =
dx = (log x)D[log x] dx =
.
x
2
R
dove abbiamo usato la regola che g(h(x))D[h(x)] dx = G(h(x)), dove G(x) è
una primita di g(x). Nel nostro caso g(x) = x ed h(x) = log x.
A questo punto bisogna osservare che g(x) è positivo per x > 1 e negativo per
0 < x < 1. Pertanto, per determinare
l’area Rrichiesta dall’esercizio, bisogna
R1
e
calcolare separatamente i valori 1/e −f (x) dx e 1 f (x) dx e sommare i risultati
ottenuti. Allora:
Z
1
Z
1
−f (x) dx = −
1/e
1/e
e
e
Z
f (x) dx =
1
1
(log x)2
=
2
1/e
(log 1/e)2
(−1)2
= 1/2
=− 0−
=
2
2
f (x) dx = −
(log x)2
2
e
=
1
(log e)2
− 0 = 1/2.
2
Dunque l’area cercata è 1/2 + 1/2 = 1.
3. Del tutto uguale all’esercizio 3 del compito B del 27/1/2017.
