I) Probabilità assolutamente continue e probabilità equivalenti

Matematica Finanziaria: Strumenti Derivati AA 2012-13 / Sara Biagini
I) Probabilità assolutamente continue e probabilità equivalenti
Denizione. Una probabilità Q si dice assolutamente continua rispetto ad un'altra pro-
babilità P (notazione Q ≪ P ) se: qualora un evento A abbia P (A) = 0, anche Q(A) = 0.
Ovvero, gli eventi trascurabili per P (= quelli con probabilità nulla) sono un sottoinsieme
di quelli trascurabili per Q.
Come ricercare le probabilità assolutamente continue? Prima di tutto osserviamo che
occorre assegnare una P - o almeno gli eventi da essa trascurati. In un modello con spazio degli stati nito Ω = {ω1 , . . . ωn } e con P (ωi ) > 0 per ogni i, ogni probabilità Q è
assolutamente continua.
Esempio numerico nel modello trinomiale. Supponiamo che tra un periodo il sottostante possa diventare 13, 12 o 9. Stiamo dunque implicitamente assumendo che i casi
possibili sono tre, uno a seconda dei valori di S1 : Ω = {ω1 , ω2 , ω3 } e che ci sia una P per
cui ciascun caso abbia probabilità positiva. Le probabilità assolutamente continue sono
quelle che vericano Q(S1 = 13, 12 o 9) = 1 e che si possono annullare su qualche stato.
Per esempio, una Q1 che abbia Q1 (S1 = 13) = 0.5, Q1 (S1 = 9) = 0.5 è assolutamente
continua, come anche la Q2 che dà probabilità 1/3 a ciascuno stato.
Denizione. Una probabilità Q si dice equivalente ad un'altra probabilità P (notazione
Q ∼ P ) se: per ogni evento A, P (A) = 0 se e solo se Q(A) = 0.
Notare che le probabilità equivalenti a P sono anche assolutamente continue (essere
equivalente è più forte). Nell'esempio numerico sopra, Q2 è equivalente a P , mentre Q1 è
solo assolutamente continua.
Se una Q ≪ P , esiste una variabile aleatoria speciale, che si chiama densità di RadonNikodym di Q rispetto a P , e che si indica con dQ
. La densità si caratterizza con la
dP
proprietà seguente: ogni valore atteso sotto Q si esprime come valore atteso sotto P a
patto di moltiplicare per la densità. In formule, per ogni X ≥ 0
dQ
X]
dP
Non è dicile vericare che Q è equivalente a P se e solo se la densità è strettamente
positiva. Nel modello trinomiale, come in tutti i modelli con Ω nito, dQ
è semplicemente
dP
E Q [X] = E[
la variabile 'rapporto delle probabilità', costruita stato per stato:
Q(ωi )
dQ
(ωi ) =
,i = 1...3
dP
P (ωi )
II) Teoremi Fondamentali dell'Asset Pricing
Le probabilità risk neutral equivalenti a P hanno un ruolo fondamentale nel pricing dei
derivati. Vale infatti il seguente risultato, dovuto ad Harrison-Pliska (1981) per Ω nito,
Dalang-Morton-Willinger e a Delbaen-Schachermayer (1998) in successiva generalità:
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Primo Teorema Fondamentale dell'Asset Pricing
Il mercato è privo di arbitraggi se e solo se esiste
equivalente a
almeno una probabilità Q risk neutral
P
Da questo Teorema segue subito che, in assenza di arbitraggi, usare Q per il pricing
di nuovi prodotti nanziari garantisce che il mercato esteso è ancora privo di arbitraggi.
Ovvero, ad esempio, se aggiungiamo il derivato X al prezzo E Q [X/m] al mercato bondstock, il mercato esteso bond-stock-derivato è privo di arbitraggi. Infatti, la Q è una
probabilità risk neutral sia per S , sia per il derivato (per come abbiamo calcolato il
prezzo).
Per completare il quadro, enunciamo il seguente importante teorema (Jacod).
Secondo Teorema Fondamentale dell'Asset Pricing
Un mercato, privo di arbitraggi, è completo (cioè ogni derivato è replicabile) se e solo se
esiste
una sola Q
risk neutral equivalente a
P.
Pertanto, se abbiamo un modello privo di arbitraggi e completo, esiste una sola Q risk
neutral equivalente per la valutazione dei derivati. Altrimenti, se il modello di mercato
è incompleto (come nella realtà sono i mercati nanziari), abbiamo una molteplicità di
scelte per la Q risk neutral equivalente. Tali probabilità sono innite, visto che formano
un insieme convesso, che denotiamo con Me 1 . Non entriamo qui nei criteri per sceglierne
una (ad esempio le preferenze dell'investitore sono alla base del criterio minimal entropy,
del criterio minimal variance...) ma ricordiamo che l'intervallo di non arbitraggio dei
prezzi per il derivato non replicabile X è dato da:
( inf E Q [X/m], sup E Q [X/m])
Q∈Me
Q∈Me
Se invece X è replicabile, ogni probabilità risk neutral gli assegnerà lo stesso prezzo, che
è proprio il valore del portafoglio replicante.
Come esempio di mercato completo, abbiamo visto il modello binomiale (a uno o più
periodi). Vedremo che anche il modello di Black-Scholes è completo e, quindi, esiste
una unica Q con cui fare pricing. Esempi di mercato incompleto sono invece il modello
trinomiale, oppure il modello di jump-diusion di Merton (che rozzamente detto è BlackScholes con salti).
Nota.
E Q [X/m] si può scrivere come valore atteso sotto P del payo X moltiplicato per
:
il cosiddetto Stochastic Discount Factor L = m1 dQ
dP
E[LX]
Osservare che lo SDF L dipende solo da Q (o meglio, dalla densità di Q rispetto a P ) e
dal fattore di sconto, non dal derivato. Se Ω è nito, Ω = {ω1 , . . . ωn }, L è:
L(ωi ) =
1M
1 Q(ωi )
,i = 1...n
m P (ωi )
perché sono anche dette probabilità di 'martingala' per lo stock scontato, 'e' per ricordare che
sono 'equivalenti'
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L(ωi ) altri non è che il prezzo dell'i-esimo Arrow-Debreu asset, ovvero del derivato che
ha payo 1 in caso di uscita ωi per il sottostante, e 0 altrimenti. Dunque, il prezzo di un
generico derivato X si scrive come somma dei suoi payos in corrispondenza delle varie
uscite per S pesate con i prezzi dei corrispondenti Arrow-Debreu assets:
E Q [X/m] = L(ω1 )X(ω1 ) + . . . L(ωn )X(ωn )
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