Soluzioni Esercizi Algebra 1
Soluzioni Esercizio 1.
1. Supponiamo che x sia contenuto in A ∩ C, questa condizione è equivalente al fatto che x appartiene sia ad A che a C; usando il fatto che A = B
(cioè gli insiemi A e B hanno esattamente gli stessi elementi) otteniamo che
quest’ultima condizione è equivalente al fatto che x è contenuto sia in B che
in C cioè x contenuto in B ∩ C. La catena di equivalenze (⇔) ci assicura che
x ∈ A ∩ C se e solo se x ∈ B ∩ C da cui la tesi.
Lo stesso ragionamento si può ripercorrere nel caso dell’unione.
2. Dimostriamo prima che A ⊂ B. Consideriamo a ∈ A un generico
elemento di A e vogliamo dimostrare che a appartiene anche a B. Se a ∈ A
allora a ∈ A ∪ C (per definizione di unione) e conseguentemente per ipotesi
a ∈ B ∪ C. Questo fatto implica che a è contenuto o in B o in C.
Se supponiamo che a sia contenuto in B allora abbiamo direttamente il
risultato voluto.
Supponiamo quindi che a sia contenuto in C, allora a è un elemento sia
di A che di C e quindi è contenuto in A ∩ C che per ipotesi è uguale a
B ∩ C; quindi otteniamo che x ∈ B ∩ C ed in particolare per la definizione
di intersezione otteniamo che x è contenuto in B
Per ottenere l’inclusione opposta B ⊂ A possiamo ripetere il ragionamento invertendo il ruolo di B e di A.
La doppia inclusione ci assicura che A = B.
Soluzioni Esercizio 2.
1. Per dimostare l’inclusione A ⊂ C prendiamo a un elemento di A e
dimostriamo che è contenuto anche in C. Se a ∈ A allora la condizione
A ⊂ B implica a ∈ B; se a ∈ B allora la condizione B ⊂ C implica a ∈ C
che è esattamente quello che volevamo dimostrare.
2. Dimostriamo prima l’inclusione P(A) ∩ P(B) ⊂ P(A ∩ B).
Se X ∈ P(A) ∩ P(B) allora X ∈ P(A) e X ∈ P(B) per definizione di
intersezione. Per definizione di insieme delle parti otteniamo che X ⊂ A e
X ⊂ B da cui si ricava X ⊂ A ∩ B e conseguentemente X ∈ P(A ∩ B).
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Per dimostrare P(A) ∩ P(B) ⊃ P(A ∩ B) si può ripercorrere a ritroso il
percorso logico compiuto perché in ogni passaggio vale anche l’implicazione
inversa.
3. Sia X elemento generico di P(A) ∪ P(B) vogliamo anche dimostare
che è un elemento di P(A ∪ B). Se X ∈ P(A) ∪ P(B) allora per definizione
di unione X ∈ P(A) o X ∈ P(B). Per definizione di insieme delle parti si
ottiene X ⊂ A o X ⊂ B, in ognuno dei due casi otteniamo che X ⊂ A ∪ B
e quindi X ∈ P(A ∪ B).
Nota. A questo punto verrebbe la tentazione di invertire le implicazioni
utilizzate nel ragionamento e dimostrare l’inclusione opposta fra i due insiemi
ma in questo caso l’inversione fallisce, infatti è vero che
[(X ⊂ A) ∨ (X ⊂ B)] ⇒ [X ⊂ A ∪ B]
ma non è vera l’implicazione opposta cioè
[(X ⊂ A) ∨ (X ⊂ B)] ⇐ [X ⊂ A ∪ B].
Questo dimostra che bisogna sempre controllare i passaggi critici.
Per ottenere un esempio che ci permetta di affermare che l’uguaglianza
P(A)∪P(B) = P(A∪B) non è verificata in generale possiamo porre A = {1}
e B = {2}.
4. Consideriamo la seguente serie di uguaglianze:
(A \ B) \ C = (A ∩ B c ) \ C
(A ∩ B c ) ∩ C c
A ∩ (B c ∩ C c )
A ∩ (B ∪ C)c
A \ (B ∪ C)
(Definizione equivalente di differenza)
(Definizione equivalente di differenza)
(Associatività dell’intersezione)
(Leggi di De Morgan)
(Definizione equivalente di differenza)
5. Consideriamo la seguente serie di uguaglianze:
A \ (B \ C) = A \ (B ∩ C c )
A ∩ (B ∩ C c )c
A ∩ (B c ∪ (C c )c )
A ∩ (B c ∪ C)
(A ∩ B c ) ∪ (A ∩ C)
(A \ B) ∪ (A ∩ C)
(Definizione equivalente di differenza)
(Definizione equivalente di differenza)
(Leggi di De Morgan)
(Proprietà del complementare)
(Distributività)
(Definizione equivalente di differenza)
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