Facolt`a di Ingegneria Industriale Recupero test d`ingresso Prova

Facoltà di Ingegneria Industriale
Recupero test d’ingresso
Prova del 13/01/2009 – codice prova:
A
Parte 1. Analisi Matematica – tempo assegnato: 45 min.
1.
2.
3.
4.
Un noto teorema (teorema di Carnot o dei coseni) afferma che:
(a)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella degli altri due.
(b)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella di un altro lato e di
uno degli angoli del triangolo.
(c)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella degli angoli del
triangolo.
(d)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella degli altri due e
dell’angolo compreso tra questi.
(e)
Nessuna delle precedenti affermazioni è vera.
Sia data l’equazione ax2 + bx + c = 0, con a, b, c ∈ R. Quale tra le seguenti affermazioni è vera?
(a)
L’equazione ha infinite soluzioni reali.
(b)
L’equazione ha un’unica soluzione reale.
(c)
L’equazione può avere infinite soluzioni reali.
(d)
L’equazione non ha soluzioni.
(e)
L’equazione ha due soluzioni reali, che possono anche coincidere.
Data la disequazione cos2 x − 2 cos x + 1 > 0, quale tra le seguenti affermazioni è vera?
(a)
La disequazione ammette esattamente una soluzione.
(b)
L’equazione ammette le soluzioni x = 0 e x = 2π.
(c)
La disequazione non ammette soluzioni.
(d)
La disequazione ammette infinite soluzioni.
(e)
Nessuna delle precedenti.
La somma 1/16 + 3/12 + 1/25 è uguale a
(a)
1236/324
(b)
1/1001
(c)
141/24 · 52
(d)
(e)
5.
183/25 · 16
La scomposizione in fattori primi del numero 289 è:
(a)
49 · 79
(b)
(c)
(d)
(e)
6.
148/24 · 3 · 52
218 · 79
224 · 718
4·7
418 · 79
A quanto è uguale la tangente dell’angolo 7/4 π?
(a)
1/2.
√
3/2.
(b)
(c)
1.
(d)
−1.
√
− 3/2.
(e)
1–A
7.
8.
I numeri irrazionali si possono ottenere come soluzioni di equazioni algebriche a coefficienti interi?
(a)
Si, sempre.
(b)
Si, escludendo e e π.
(c)
No, ad eccezione di e e π.
(d)
Solo in alcuni casi.
(e)
No, mai.
Sia (x2 + x + 1)/ log x ≤ 0 una disequazione nell’incognita x. Si dica quale tra le seguenti affermazioni è
vera:
(a)
Le soluzioni sono comprese nell’intervallo tra le radici.
(b)
Non ci sono soluzioni.
(c)
Le soluzioni sono esterne all’intervallo tra le radici.
(d)
Le soluzioni sono tutti i valori x ∈ (0, 1).
(e)
9.
Si dica quale tra le seguenti è l’affermazione corretta.
(a)
tg x assume solo valori positivi o, al più, nulli.
(b)
tg x assume solo valori nell’intervallo [0, 1].
(c)
tg x assume valori in R.
(d)
tg x è definita per ogni x ∈ R.
(e)
10.
nessuna delle precedenti affermazioni è vera.
La diseguaglianza tg x ≥ 2 ha un’unica soluzione.
Dati due numeri reali x, y ∈ (−1, 0), x < y, dire quale tra le seguenti relazioni è quella vera.
(a)
1/x2 > 1/y 2 .
(b)
1/x2 < 1/y 2 .
(c)
x2 < y 2 .
(d)
1/x2 < 1/x3 .
(e)
Nessuna delle precedenti.
Parte 2. Geometria e Algebra – tempo assegnato: 45 min.
11.
Dato il sistema lineare
ax + by + c = 0,
a′ x + b′ y + c′ = 0,
si dica quale tra le seguenti affermazioni è quella giusta.
(a)
Il sistema ammette due sole coppie di soluzioni distinte.
(b)
(c)
(d)
(e)
12.
Il sistema ammette soluzioni se e solo se ab′ − ba′ = 0.
Il sistema può non ammettere soluzioni se ab′ − ba′ 6= 0.
Il sistema può ammettere soluzioni se ab′ − ba′ = 0.
Sia dato il polinomio an − bn . Si dica quale tra le seguenti affermazioni è vera.
(a)
Il polinomio non ammette una scomposizione in fattori di grado inferiore ad n.
(b)
(c)
(d)
(e)
13.
Il sistema non ammette soluzioni se ab′ − ba′ = 0.
Il polinomio ammette la scomposizione an − bn = (a + b)(an−1 − an−2 b + · · · − bn−1 ).
Il polinomio ammette la scomposizione an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + · · · + bn−1 ).
Il polinomio ammette una scomposizione in fattori di grado inferiore ad n se e solo se n è pari.
Nessuna delle precedenti è vera.
Si consideri un triangolo qualunque. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
(a)
La somma degli angoli interni è 180o .
(b)
La somma delle misure di due lati è sempre maggiore o uguale alla misura del terzo lato.
(c)
Dati due lati e l’angolo compreso è possibile ricavare la misura del terzo lato.
(d)
Dati tre lati sono univocamente determinati i tre angoli.
(e)
Dati due angoli e un lato non è possibile determinare gli altri lati.
(f)
Dati due lati non è possibile ricavare la misura del terzo lato.
2–A
14.
15.
16.
L’equazione x3 − k = 0, con k ∈ R, soddisfa una tra le seguenti proprietà.
(a)
Ammette tre soluzioni reali e distinte.
(b)
Ammette un’unica soluzione reale.
(c)
Ammette tre soluzioni reali e coincidenti.
(d)
Non ammette soluzioni.
(e)
Ammette esclusivamente radici complesse (con parte immaginaria diversa da 0).
Dato il polinomio p(x) = x4 + x3 + x + 1, si dica quale tra le seguenti proprietà è vera:
(a)
p(x) non ha radici reali.
(b)
p(x) non ha radici complesse.
(c)
p(x) ammette solo radici reali.
(d)
p(x) ammette radici reali e complesse.
(e)
p(x) ammette solo radici complesse.
Si consideri la retta y = mx + n. Sotto quali condizioni su a e b la retta ax + by + c = 0 è perpendicolare
alla retta data?
(a)
m = a/b.
(b)
m = b/a.
(c)
m = −b/a.
(d)
(e)
17.
18.
(b)
y = 2x + 4
(c)
y = 1/2x + 3
(d)
y = 1/2x
(e)
Nessuna delle precedenti.
Data l’equazione lineare 3x−2y +1 = 0, dire quale tra le seguenti equazioni fornisce, unita alla precedente,
un sistema lineare che ha infinite soluzioni.
(a)
−6x + 4y − 2 = 0.
(c)
(d)
(e)
20.
m = ab.
Data la retta 4x + 2y − 3 = 0 si dica quale tra le seguenti rette è parallela alla precedente.
(a)
y = −2x
(b)
19.
m = −a/b.
x + y − 1 = 0.
−6x + 4y + 1/2 = 0.
3x − 3y = 0.
3x − 2y + 2 = 0.
Siano p, q ∈ R5 [x] due polinomi di grado 5, 3 rispettivamente. Si denoti con p/q il quoziente tra i due
polinomi ottenuto mediante la divisione euclidea . Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
(a)
Il grado di p/q è minore o uguale a 3.
(b)
Il grado di p/q è minore o uguale a 2.
(c)
Il grado di p/q può essere uguale ad 1.
(d)
Il grado di p/q può essere uguale a 2.
(e)
Il grado di p/q è maggiore di 0.
Si consideri la parabola f (x) = x2 + 3x − 1. Data un’ellisse del piano, quale tra le seguenti affermazioni è
falsa?
(a)
L’ellisse può intersecare la parabola in quattro punti.
(b)
L’ellisse può intersecare la parabola in tre punti.
(c)
L’ellisse può avere intersezione vuota con la parabola.
(d)
Non esiste un’ellisse tangente alla parabola in due punti.
(e)
Non esiste un’ellisse che interseca la parabola in 5 punti distinti.
3–A
Soluzioni del test A
Parte 1. Analisi Matematica – tempo assegnato: 45 min.
1.
Un noto teorema (teorema di Carnot o dei coseni) afferma che:
(a)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella degli altri due.
(b)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella di un altro lato e di
uno degli angoli del triangolo.
(c)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella degli angoli del
triangolo.
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella degli altri due e
(d)
dell’angolo compreso tra questi.
(e)
Nessuna delle precedenti affermazioni è vera.
Spiegazione. Il teorema di Carnot dice che, note le misure a, b dei lati di un triangolo, la misura
del terzo lato c si ricava dalla relazione c2 = a2 + b2 − 2ab cos α, ove α è l’angolo compreso tra i
due lati di misura nota.
2.
Sia data l’equazione ax2 + bx + c = 0, con a, b, c ∈ R. Quale tra le seguenti affermazioni è vera?
(a)
L’equazione ha infinite soluzioni reali.
(b)
L’equazione ha un’unica soluzione reale.
(c)
L’equazione può avere infinite soluzioni reali.
(d)
L’equazione non ha soluzioni.
(e)
L’equazione ha due soluzioni reali, che possono anche coincidere.
Spiegazione. Basta che i coefficienti siano nulli. Si noti come ciascuna delle altre risposte possa
essere invalidata scegliendo particolari valori dei coefficienti.
3.
Data la disequazione cos2 x − 2 cos x + 1 > 0, quale tra le seguenti affermazioni è vera?
(a)
La disequazione ammette esattamente una soluzione.
(b)
L’equazione ammette le soluzioni x = 0 e x = 2π.
(c)
La disequazione non ammette soluzioni.
(d)
La disequazione ammette infinite soluzioni.
(e)
Nessuna delle precedenti.
Spiegazione. Ponendo cos x = t si ha un’equazione di secondo grado che fornisce la disequazione
(cos x − 1)2 > 0, che ha per soluzioni i valori reali di x 6= 2kπ, con k ∈ Z.
4.
La somma 1/16 + 3/12 + 1/25 è uguale a
(a)
1236/324
(b)
1/1001
(c)
141/24 · 52
(d)
148/24 · 3 · 52
(e)
183/25 · 16
Spiegazione. Il minimo comune multiplo tra i denominatori è 24 · 52 , una volta semplificato il 3
dalla seconda frazione.
5.
La scomposizione in fattori primi del numero 289 è:
(a)
49 · 79
(b)
218 · 79
(c)
224 · 718
(d)
4·7
(e)
418 · 79
Spiegazione. Si ha 28 = 22 · 7, da cui il risultato applicando le proprietà delle potenze.
6.
A quanto è uguale la tangente dell’angolo 7/4 π?
(a)
1/2.
√
3/2.
(b)
(c)
1.
(d)
−1.
√
(e)
− 3/2.
Spiegazione. Infatti si ha 7/4 π = −π/2 + 2π, e tg(−α + kπ) = − tg α, dove k è intero.
1–A
7.
I numeri irrazionali si possono ottenere come soluzioni di equazioni algebriche a coefficienti interi?
(a)
Si, sempre.
(b)
Si, escludendo e e π.
(c)
No, ad eccezione di e e π.
(d)
Solo in alcuni casi.
(e)
No, mai.
Spiegazione. Solo i numeri irrazionali algebrici sono soluzioni di equazioni algebriche a coefficienti
interi.
8.
Sia (x2 + x + 1)/ log x ≤ 0 una disequazione nell’incognita x. Si dica quale tra le seguenti affermazioni è
vera:
(a)
Le soluzioni sono comprese nell’intervallo tra le radici.
(b)
Non ci sono soluzioni.
(c)
Le soluzioni sono esterne all’intervallo tra le radici.
(d)
Le soluzioni sono tutti i valori x ∈ (0, 1).
(e)
nessuna delle precedenti affermazioni è vera.
Spiegazione. Il discriminante dell’equazione è negativo e il polinomio di secondo grado assume
sempre valori positivi; tuttavia log x è negativa nell’intervallo indicato.
9.
Si dica
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
10.
quale tra le seguenti è l’affermazione corretta.
tg x assume solo valori positivi o, al più, nulli.
tg x assume solo valori nell’intervallo [0, 1].
tg x assume valori in R.
tg x è definita per ogni x ∈ R.
La diseguaglianza tg x ≥ 2 ha un’unica soluzione.
Spiegazione. La funzione tg x assume tutti i possibili valori reali.
Dati due numeri reali x, y ∈ (−1, 0), x < y, dire quale tra le seguenti relazioni è quella vera.
(a)
1/x2 > 1/y 2 .
(b)
1/x2 < 1/y 2 .
(c)
x2 < y 2 .
(d)
1/x2 < 1/x3 .
(e)
Nessuna delle precedenti.
Spiegazione. L’operazione di inversione cambia il verso delle disuguaglianze, l’operazione di
elevamento al quadrato di numeri negativi lo cambia un’altra volta.
Parte 2. Geometria e Algebra – tempo assegnato: 45 min.
11.
Dato il sistema lineare
si dica
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
12.
ax + by + c = 0,
a′ x + b′ y + c′ = 0,
quale tra le seguenti affermazioni è quella giusta.
Il sistema ammette due sole coppie di soluzioni distinte.
Il sistema non ammette soluzioni se ab′ − ba′ = 0.
Il sistema ammette soluzioni se e solo se ab′ − ba′ = 0.
Il sistema può non ammettere soluzioni se ab′ − ba′ 6= 0.
Il sistema può ammettere soluzioni se ab′ − ba′ = 0.
Spiegazione. Se ab′ − ba′ 6= 0 il sistema ammette sicuramente una coppia di soluzioni. Se ab′ −
ba′ = 0 il sistema può ammettere infinite soluzioni.
Sia dato il polinomio an − bn . Si dica quale tra le seguenti affermazioni è vera.
(a)
Il polinomio non ammette una scomposizione in fattori di grado inferiore ad n.
(b)
Il polinomio ammette la scomposizione an − bn = (a + b)(an−1 − an−2 b + · · · − bn−1 ).
(c)
Il polinomio ammette la scomposizione an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + · · · + bn−1 ).
(d)
Il polinomio ammette una scomposizione in fattori di grado inferiore ad n se e solo se n è pari.
(e)
Nessuna delle precedenti è vera.
Spiegazione. La scomposizione an − bn = (a + b) · · · vale solo per n pari.
2–A
13.
Si consideri un triangolo qualunque. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
(a)
La somma degli angoli interni è 180o .
(b)
La somma delle misure di due lati è sempre maggiore o uguale alla misura del terzo lato.
(c)
Dati due lati e l’angolo compreso è possibile ricavare la misura del terzo lato.
(d)
Dati tre lati sono univocamente determinati i tre angoli.
(e)
Dati due angoli e un lato non è possibile determinare gli altri lati.
(f)
Dati due lati non è possibile ricavare la misura del terzo lato.
Spiegazione. I due lati restanti si possono ricavare col teorema dei seni.
14.
L’equazione x3 − k = 0, con k ∈ R, soddisfa una tra le seguenti proprietà.
(a)
Ammette tre soluzioni reali e distinte.
(b)
Ammette un’unica soluzione reale.
(c)
Ammette tre soluzioni reali e coincidenti.
(d)
Non ammette soluzioni.
(e)
Ammette esclusivamente radici complesse (con
√ parte immaginaria diversa da 0).
Spiegazione. L’unica soluzione reale è x = 3 k.
15.
Dato il polinomio p(x) = x4 + x3 + x + 1, si dica quale tra le seguenti proprietà è vera:
(a)
p(x) non ha radici reali.
(b)
p(x) non ha radici complesse.
(c)
p(x) ammette solo radici reali.
(d)
p(x) ammette radici reali e complesse.
(e)
p(x) ammette solo radici complesse.
Spiegazione. Per il teorema di Ruffini il polinomio ammette la radice x = −1.
16.
Si consideri la retta y = mx + n. Sotto quali condizioni su a e b la retta ax + by + c = 0 è perpendicolare
alla retta data?
(a)
m = a/b.
(b)
m = b/a.
(c)
m = −b/a.
(d)
m = −a/b.
(e)
m = ab.
Spiegazione. Il coefficiente angolare della seconda retta deve essere reciproco ed opposto al
coefficiente angolare della prima retta.
17.
Data la retta 4x + 2y − 3 = 0 si dica quale tra le seguenti rette è parallela alla precedente.
(a)
y = −2x
(b)
y = 2x + 4
(c)
y = 1/2x + 3
(d)
y = 1/2x
(e)
Nessuna delle precedenti.
Spiegazione. Il coefficiente angolare deve essere lo stesso.
18.
Data l’equazione lineare 3x−2y +1 = 0, dire quale tra le seguenti equazioni fornisce, unita alla precedente,
un sistema lineare che ha infinite soluzioni.
(a)
−6x + 4y − 2 = 0.
(b)
x + y − 1 = 0.
(c)
−6x + 4y + 1/2 = 0.
(d)
3x − 3y = 0.
(e)
3x − 2y + 2 = 0.
Spiegazione. L’equazione ha i coefficienti proporzionali a quelli dell’equazione data.
19.
Siano p, q ∈ R5 [x] due polinomi di grado 5, 3 rispettivamente. Si denoti con p/q il quoziente tra i due
polinomi ottenuto mediante la divisione euclidea . Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
(a)
Il grado di p/q è minore o uguale a 3.
(b)
Il grado di p/q è minore o uguale a 2.
(c)
Il grado di p/q può essere uguale ad 1.
(d)
Il grado di p/q può essere uguale a 2.
(e)
Il grado di p/q è maggiore di 0.
Spiegazione. Il termine di grado più elevato del polinomio p/q è ottenuto dal quoziente tra i due
termini di grado più elevato di p, q, rispettivamente, e non può essere nullo.
3–A
20.
Si consideri la parabola f (x) = x2 + 3x − 1. Data un’ellisse del piano, quale tra le seguenti affermazioni è
falsa?
(a)
L’ellisse può intersecare la parabola in quattro punti.
(b)
L’ellisse può intersecare la parabola in tre punti.
(c)
L’ellisse può avere intersezione vuota con la parabola.
(d)
Non esiste un’ellisse tangente alla parabola in due punti.
(e)
Non esiste un’ellisse che interseca la parabola in 5 punti distinti.
Spiegazione. L’ellisse può essere inscritta nella parabola poiché questa ammette punti simmetrici
(rispetto all’asse della parabola stessa) di distanza arbitraria.
4–A
Facoltà di Ingegneria Industriale
Recupero test d’ingresso
Prova del 13/01/2009 – codice prova:
B
Parte 1. Analisi Matematica – tempo assegnato: 45 min.
1.
2.
3.
4.
Sia data l’equazione ax2 + bx + c = 0, con a, b, c ∈ R. Quale tra le seguenti affermazioni è vera?
(a)
L’equazione ha infinite soluzioni reali.
(b)
L’equazione ha un’unica soluzione reale.
(c)
L’equazione può avere infinite soluzioni reali.
(d)
L’equazione non ha soluzioni.
(e)
L’equazione ha due soluzioni reali, che possono anche coincidere.
Data la disequazione cos2 x − 2 cos x + 1 > 0, quale tra le seguenti affermazioni è vera?
(a)
La disequazione ammette esattamente una soluzione.
(b)
L’equazione ammette le soluzioni x = 0 e x = 2π.
(c)
La disequazione non ammette soluzioni.
(d)
La disequazione ammette infinite soluzioni.
(e)
Nessuna delle precedenti.
I numeri irrazionali si possono ottenere come soluzioni di equazioni algebriche a coefficienti interi?
(a)
Si, sempre.
(b)
Si, escludendo e e π.
(c)
No, ad eccezione di e e π.
(d)
Solo in alcuni casi.
(e)
No, mai.
Si dica quale tra le seguenti è l’affermazione corretta.
(a)
tg x assume solo valori positivi o, al più, nulli.
(b)
tg x assume solo valori nell’intervallo [0, 1].
(c)
tg x assume valori in R.
(d)
tg x è definita per ogni x ∈ R.
(e)
5.
Sia (x2 + x + 1)/ log x ≤ 0 una disequazione nell’incognita x. Si dica quale tra le seguenti affermazioni è
vera:
(a)
Le soluzioni sono comprese nell’intervallo tra le radici.
(b)
Non ci sono soluzioni.
(c)
Le soluzioni sono esterne all’intervallo tra le radici.
(d)
Le soluzioni sono tutti i valori x ∈ (0, 1).
(e)
6.
La diseguaglianza tg x ≥ 2 ha un’unica soluzione.
nessuna delle precedenti affermazioni è vera.
A quanto è uguale la tangente dell’angolo 7/4 π?
(a)
1/2.
√
3/2.
(b)
(c)
1.
(d)
−1.
√
− 3/2.
(e)
1–B
7.
La scomposizione in fattori primi del numero 289 è:
(a)
49 · 79
(b)
(c)
(d)
(e)
8.
4·7
418 · 79
(b)
1/1001
(c)
141/24 · 52
(e)
10.
224 · 718
La somma 1/16 + 3/12 + 1/25 è uguale a
(a)
1236/324
(d)
9.
218 · 79
148/24 · 3 · 52
183/25 · 16
Dati due numeri reali x, y ∈ (−1, 0), x < y, dire quale tra le seguenti relazioni è quella vera.
(a)
1/x2 > 1/y 2 .
(b)
1/x2 < 1/y 2 .
(c)
x2 < y 2 .
(d)
1/x2 < 1/x3 .
(e)
Nessuna delle precedenti.
Un noto teorema (teorema di Carnot o dei coseni) afferma che:
(a)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella degli altri due.
(b)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella di un altro lato e di
uno degli angoli del triangolo.
(c)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella degli angoli del
triangolo.
(d)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella degli altri due e
dell’angolo compreso tra questi.
(e)
Nessuna delle precedenti affermazioni è vera.
Parte 2. Geometria e Algebra – tempo assegnato: 45 min.
11.
12.
Siano p, q ∈ R5 [x] due polinomi di grado 5, 3 rispettivamente. Si denoti con p/q il quoziente tra i due
polinomi ottenuto mediante la divisione euclidea . Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
(a)
Il grado di p/q è minore o uguale a 3.
(b)
Il grado di p/q è minore o uguale a 2.
(c)
Il grado di p/q può essere uguale ad 1.
(d)
Il grado di p/q può essere uguale a 2.
(e)
Il grado di p/q è maggiore di 0.
Data l’equazione lineare 3x−2y +1 = 0, dire quale tra le seguenti equazioni fornisce, unita alla precedente,
un sistema lineare che ha infinite soluzioni.
(a)
−6x + 4y − 2 = 0.
(b)
(c)
(d)
(e)
13.
x + y − 1 = 0.
−6x + 4y + 1/2 = 0.
3x − 3y = 0.
3x − 2y + 2 = 0.
Si consideri la retta y = mx + n. Sotto quali condizioni su a e b la retta ax + by + c = 0 è perpendicolare
alla retta data?
(a)
m = a/b.
(b)
m = b/a.
(c)
m = −b/a.
(d)
(e)
m = −a/b.
m = ab.
2–B
14.
15.
16.
17.
L’equazione x3 − k = 0, con k ∈ R, soddisfa una tra le seguenti proprietà.
(a)
Ammette tre soluzioni reali e distinte.
(b)
Ammette un’unica soluzione reale.
(c)
Ammette tre soluzioni reali e coincidenti.
(d)
Non ammette soluzioni.
(e)
Ammette esclusivamente radici complesse (con parte immaginaria diversa da 0).
Dato il polinomio p(x) = x4 + x3 + x + 1, si dica quale tra le seguenti proprietà è vera:
(a)
p(x) non ha radici reali.
(b)
p(x) non ha radici complesse.
(c)
p(x) ammette solo radici reali.
(d)
p(x) ammette radici reali e complesse.
(e)
p(x) ammette solo radici complesse.
Si consideri un triangolo qualunque. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
(a)
La somma degli angoli interni è 180o .
(b)
La somma delle misure di due lati è sempre maggiore o uguale alla misura del terzo lato.
(c)
Dati due lati e l’angolo compreso è possibile ricavare la misura del terzo lato.
(d)
Dati tre lati sono univocamente determinati i tre angoli.
(e)
Dati due angoli e un lato non è possibile determinare gli altri lati.
(f)
Dati due lati non è possibile ricavare la misura del terzo lato.
Dato il sistema lineare
ax + by + c = 0,
a′ x + b′ y + c′ = 0,
si dica quale tra le seguenti affermazioni è quella giusta.
(a)
Il sistema ammette due sole coppie di soluzioni distinte.
(b)
(c)
(d)
(e)
18.
19.
Il sistema ammette soluzioni se e solo se ab′ − ba′ = 0.
Il sistema può non ammettere soluzioni se ab′ − ba′ 6= 0.
Il sistema può ammettere soluzioni se ab′ − ba′ = 0.
Data la retta 4x + 2y − 3 = 0 si dica quale tra le seguenti rette è parallela alla precedente.
(a)
y = −2x
(b)
y = 2x + 4
(c)
y = 1/2x + 3
(d)
y = 1/2x
(e)
Nessuna delle precedenti.
Sia dato il polinomio an − bn . Si dica quale tra le seguenti affermazioni è vera.
(a)
Il polinomio non ammette una scomposizione in fattori di grado inferiore ad n.
(b)
(c)
(d)
(e)
20.
Il sistema non ammette soluzioni se ab′ − ba′ = 0.
Il polinomio ammette la scomposizione an − bn = (a + b)(an−1 − an−2 b + · · · − bn−1 ).
Il polinomio ammette la scomposizione an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + · · · + bn−1 ).
Il polinomio ammette una scomposizione in fattori di grado inferiore ad n se e solo se n è pari.
Nessuna delle precedenti è vera.
Si consideri la parabola f (x) = x2 + 3x − 1. Data un’ellisse del piano, quale tra le seguenti affermazioni è
falsa?
(a)
L’ellisse può intersecare la parabola in quattro punti.
(b)
L’ellisse può intersecare la parabola in tre punti.
(c)
L’ellisse può avere intersezione vuota con la parabola.
(d)
Non esiste un’ellisse tangente alla parabola in due punti.
(e)
Non esiste un’ellisse che interseca la parabola in 5 punti distinti.
3–B
Soluzioni del test B
Parte 1. Analisi Matematica – tempo assegnato: 45 min.
1.
Sia data l’equazione ax2 + bx + c = 0, con a, b, c ∈ R. Quale tra le seguenti affermazioni è vera?
(a)
L’equazione ha infinite soluzioni reali.
(b)
L’equazione ha un’unica soluzione reale.
(c)
L’equazione può avere infinite soluzioni reali.
(d)
L’equazione non ha soluzioni.
(e)
L’equazione ha due soluzioni reali, che possono anche coincidere.
Spiegazione. Basta che i coefficienti siano nulli. Si noti come ciascuna delle altre risposte possa
essere invalidata scegliendo particolari valori dei coefficienti.
2.
Data la disequazione cos2 x − 2 cos x + 1 > 0, quale tra le seguenti affermazioni è vera?
(a)
La disequazione ammette esattamente una soluzione.
(b)
L’equazione ammette le soluzioni x = 0 e x = 2π.
(c)
La disequazione non ammette soluzioni.
(d)
La disequazione ammette infinite soluzioni.
(e)
Nessuna delle precedenti.
Spiegazione. Ponendo cos x = t si ha un’equazione di secondo grado che fornisce la disequazione
(cos x − 1)2 > 0, che ha per soluzioni i valori reali di x 6= 2kπ, con k ∈ Z.
3.
I numeri irrazionali si possono ottenere come soluzioni di equazioni algebriche a coefficienti interi?
(a)
Si, sempre.
(b)
Si, escludendo e e π.
(c)
No, ad eccezione di e e π.
(d)
Solo in alcuni casi.
(e)
No, mai.
Spiegazione. Solo i numeri irrazionali algebrici sono soluzioni di equazioni algebriche a coefficienti
interi.
4.
Si dica
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
5.
Sia (x2 + x + 1)/ log x ≤ 0 una disequazione nell’incognita x. Si dica quale tra le seguenti affermazioni è
vera:
(a)
Le soluzioni sono comprese nell’intervallo tra le radici.
(b)
Non ci sono soluzioni.
(c)
Le soluzioni sono esterne all’intervallo tra le radici.
(d)
Le soluzioni sono tutti i valori x ∈ (0, 1).
(e)
nessuna delle precedenti affermazioni è vera.
Spiegazione. Il discriminante dell’equazione è negativo e il polinomio di secondo grado assume
sempre valori positivi; tuttavia log x è negativa nell’intervallo indicato.
6.
A quanto è uguale la tangente dell’angolo 7/4 π?
(a)
1/2.
√
3/2.
(b)
(c)
1.
(d)
−1.
√
(e)
− 3/2.
Spiegazione. Infatti si ha 7/4 π = −π/2 + 2π, e tg(−α + kπ) = − tg α, dove k è intero.
quale tra le seguenti è l’affermazione corretta.
tg x assume solo valori positivi o, al più, nulli.
tg x assume solo valori nell’intervallo [0, 1].
tg x assume valori in R.
tg x è definita per ogni x ∈ R.
La diseguaglianza tg x ≥ 2 ha un’unica soluzione.
Spiegazione. La funzione tg x assume tutti i possibili valori reali.
1–B
7.
La scomposizione in fattori primi del numero 289 è:
(a)
49 · 79
(b)
218 · 79
(c)
224 · 718
(d)
4·7
(e)
418 · 79
Spiegazione. Si ha 28 = 22 · 7, da cui il risultato applicando le proprietà delle potenze.
8.
La somma 1/16 + 3/12 + 1/25 è uguale a
(a)
1236/324
(b)
1/1001
(c)
141/24 · 52
(d)
148/24 · 3 · 52
(e)
183/25 · 16
Spiegazione. Il minimo comune multiplo tra i denominatori è 24 · 52 , una volta semplificato il 3
dalla seconda frazione.
9.
Dati due numeri reali x, y ∈ (−1, 0), x < y, dire quale tra le seguenti relazioni è quella vera.
(a)
1/x2 > 1/y 2 .
(b)
1/x2 < 1/y 2 .
(c)
x2 < y 2 .
(d)
1/x2 < 1/x3 .
(e)
Nessuna delle precedenti.
Spiegazione. L’operazione di inversione cambia il verso delle disuguaglianze, l’operazione di
elevamento al quadrato di numeri negativi lo cambia un’altra volta.
10.
Un noto teorema (teorema di Carnot o dei coseni) afferma che:
(a)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella degli altri due.
(b)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella di un altro lato e di
uno degli angoli del triangolo.
(c)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella degli angoli del
triangolo.
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella degli altri due e
(d)
dell’angolo compreso tra questi.
(e)
Nessuna delle precedenti affermazioni è vera.
Spiegazione. Il teorema di Carnot dice che, note le misure a, b dei lati di un triangolo, la misura
del terzo lato c si ricava dalla relazione c2 = a2 + b2 − 2ab cos α, ove α è l’angolo compreso tra i
due lati di misura nota.
Parte 2. Geometria e Algebra – tempo assegnato: 45 min.
11.
Siano p, q ∈ R5 [x] due polinomi di grado 5, 3 rispettivamente. Si denoti con p/q il quoziente tra i due
polinomi ottenuto mediante la divisione euclidea . Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
(a)
Il grado di p/q è minore o uguale a 3.
(b)
Il grado di p/q è minore o uguale a 2.
(c)
Il grado di p/q può essere uguale ad 1.
(d)
Il grado di p/q può essere uguale a 2.
(e)
Il grado di p/q è maggiore di 0.
Spiegazione. Il termine di grado più elevato del polinomio p/q è ottenuto dal quoziente tra i due
termini di grado più elevato di p, q, rispettivamente, e non può essere nullo.
12.
Data l’equazione lineare 3x−2y +1 = 0, dire quale tra le seguenti equazioni fornisce, unita alla precedente,
un sistema lineare che ha infinite soluzioni.
(a)
−6x + 4y − 2 = 0.
(b)
x + y − 1 = 0.
(c)
−6x + 4y + 1/2 = 0.
(d)
3x − 3y = 0.
(e)
3x − 2y + 2 = 0.
Spiegazione. L’equazione ha i coefficienti proporzionali a quelli dell’equazione data.
2–B
13.
Si consideri la retta y = mx + n. Sotto quali condizioni su a e b la retta ax + by + c = 0 è perpendicolare
alla retta data?
(a)
m = a/b.
(b)
m = b/a.
(c)
m = −b/a.
(d)
m = −a/b.
(e)
m = ab.
Spiegazione. Il coefficiente angolare della seconda retta deve essere reciproco ed opposto al
coefficiente angolare della prima retta.
14.
L’equazione x3 − k = 0, con k ∈ R, soddisfa una tra le seguenti proprietà.
(a)
Ammette tre soluzioni reali e distinte.
(b)
Ammette un’unica soluzione reale.
(c)
Ammette tre soluzioni reali e coincidenti.
(d)
Non ammette soluzioni.
(e)
Ammette esclusivamente radici complesse (con
parte immaginaria diversa da 0).
√
3
Spiegazione. L’unica soluzione reale è x = k.
15.
Dato il polinomio p(x) = x4 + x3 + x + 1, si dica quale tra le seguenti proprietà è vera:
(a)
p(x) non ha radici reali.
(b)
p(x) non ha radici complesse.
(c)
p(x) ammette solo radici reali.
(d)
p(x) ammette radici reali e complesse.
(e)
p(x) ammette solo radici complesse.
Spiegazione. Per il teorema di Ruffini il polinomio ammette la radice x = −1.
16.
17.
Si consideri un triangolo qualunque. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
(a)
La somma degli angoli interni è 180o .
(b)
La somma delle misure di due lati è sempre maggiore o uguale alla misura del terzo lato.
(c)
Dati due lati e l’angolo compreso è possibile ricavare la misura del terzo lato.
(d)
Dati tre lati sono univocamente determinati i tre angoli.
(e)
Dati due angoli e un lato non è possibile determinare gli altri lati.
(f)
Dati due lati non è possibile ricavare la misura del terzo lato.
Spiegazione. I due lati restanti si possono ricavare col teorema dei seni.
Dato il sistema lineare
si dica
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
ax + by + c = 0,
a′ x + b′ y + c′ = 0,
quale tra le seguenti affermazioni è quella giusta.
Il sistema ammette due sole coppie di soluzioni distinte.
Il sistema non ammette soluzioni se ab′ − ba′ = 0.
Il sistema ammette soluzioni se e solo se ab′ − ba′ = 0.
Il sistema può non ammettere soluzioni se ab′ − ba′ 6= 0.
Il sistema può ammettere soluzioni se ab′ − ba′ = 0.
Spiegazione. Se ab′ − ba′ 6= 0 il sistema ammette sicuramente una coppia di soluzioni. Se ab′ −
ba′ = 0 il sistema può ammettere infinite soluzioni.
18.
Data la retta 4x + 2y − 3 = 0 si dica quale tra le seguenti rette è parallela alla precedente.
(a)
y = −2x
(b)
y = 2x + 4
(c)
y = 1/2x + 3
(d)
y = 1/2x
(e)
Nessuna delle precedenti.
Spiegazione. Il coefficiente angolare deve essere lo stesso.
19.
Sia dato il polinomio an − bn . Si dica quale tra le seguenti affermazioni è vera.
(a)
Il polinomio non ammette una scomposizione in fattori di grado inferiore ad n.
(b)
Il polinomio ammette la scomposizione an − bn = (a + b)(an−1 − an−2 b + · · · − bn−1 ).
(c)
Il polinomio ammette la scomposizione an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + · · · + bn−1 ).
(d)
Il polinomio ammette una scomposizione in fattori di grado inferiore ad n se e solo se n è pari.
(e)
Nessuna delle precedenti è vera.
Spiegazione. La scomposizione an − bn = (a + b) · · · vale solo per n pari.
3–B
20.
Si consideri la parabola f (x) = x2 + 3x − 1. Data un’ellisse del piano, quale tra le seguenti affermazioni è
falsa?
(a)
L’ellisse può intersecare la parabola in quattro punti.
(b)
L’ellisse può intersecare la parabola in tre punti.
(c)
L’ellisse può avere intersezione vuota con la parabola.
(d)
Non esiste un’ellisse tangente alla parabola in due punti.
(e)
Non esiste un’ellisse che interseca la parabola in 5 punti distinti.
Spiegazione. L’ellisse può essere inscritta nella parabola poiché questa ammette punti simmetrici
(rispetto all’asse della parabola stessa) di distanza arbitraria.
4–B
Facoltà di Ingegneria Industriale
Recupero test d’ingresso
Prova del 13/01/2009 – codice prova:
C
Parte 1. Analisi Matematica – tempo assegnato: 45 min.
1.
2.
3.
Data la disequazione cos2 x − 2 cos x + 1 > 0, quale tra le seguenti affermazioni è vera?
(a)
La disequazione ammette esattamente una soluzione.
(b)
L’equazione ammette le soluzioni x = 0 e x = 2π.
(c)
La disequazione non ammette soluzioni.
(d)
La disequazione ammette infinite soluzioni.
(e)
Nessuna delle precedenti.
Un noto teorema (teorema di Carnot o dei coseni) afferma che:
(a)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella degli altri due.
(b)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella di un altro lato e di
uno degli angoli del triangolo.
(c)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella degli angoli del
triangolo.
(d)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella degli altri due e
dell’angolo compreso tra questi.
(e)
Nessuna delle precedenti affermazioni è vera.
Sia (x2 + x + 1)/ log x ≤ 0 una disequazione nell’incognita x. Si dica quale tra le seguenti affermazioni è
vera:
(a)
Le soluzioni sono comprese nell’intervallo tra le radici.
(b)
Non ci sono soluzioni.
(c)
Le soluzioni sono esterne all’intervallo tra le radici.
(d)
Le soluzioni sono tutti i valori x ∈ (0, 1).
(e)
4.
La scomposizione in fattori primi del numero 289 è:
(a)
49 · 79
(b)
(c)
(d)
(e)
5.
6.
nessuna delle precedenti affermazioni è vera.
218 · 79
224 · 718
4·7
418 · 79
Sia data l’equazione ax2 + bx + c = 0, con a, b, c ∈ R. Quale tra le seguenti affermazioni è vera?
(a)
L’equazione ha infinite soluzioni reali.
(b)
L’equazione ha un’unica soluzione reale.
(c)
L’equazione può avere infinite soluzioni reali.
(d)
L’equazione non ha soluzioni.
(e)
L’equazione ha due soluzioni reali, che possono anche coincidere.
I numeri irrazionali si possono ottenere come soluzioni di equazioni algebriche a coefficienti interi?
(a)
Si, sempre.
(b)
Si, escludendo e e π.
(c)
No, ad eccezione di e e π.
(d)
Solo in alcuni casi.
(e)
No, mai.
1–C
7.
8.
Dati due numeri reali x, y ∈ (−1, 0), x < y, dire quale tra le seguenti relazioni è quella vera.
(a)
1/x2 > 1/y 2 .
(b)
1/x2 < 1/y 2 .
(c)
x2 < y 2 .
(d)
1/x2 < 1/x3 .
(e)
Nessuna delle precedenti.
Si dica quale tra le seguenti è l’affermazione corretta.
(a)
tg x assume solo valori positivi o, al più, nulli.
(b)
tg x assume solo valori nell’intervallo [0, 1].
(c)
tg x assume valori in R.
(d)
tg x è definita per ogni x ∈ R.
(e)
9.
A quanto è uguale la tangente dell’angolo 7/4 π?
(a)
1/2.
√
3/2.
(b)
(c)
1.
(d)
−1.
√
− 3/2.
(e)
10.
La diseguaglianza tg x ≥ 2 ha un’unica soluzione.
La somma 1/16 + 3/12 + 1/25 è uguale a
(a)
1236/324
(b)
1/1001
(c)
141/24 · 52
(d)
(e)
148/24 · 3 · 52
183/25 · 16
Parte 2. Geometria e Algebra – tempo assegnato: 45 min.
11.
12.
Si consideri un triangolo qualunque. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
(a)
La somma degli angoli interni è 180o .
(b)
La somma delle misure di due lati è sempre maggiore o uguale alla misura del terzo lato.
(c)
Dati due lati e l’angolo compreso è possibile ricavare la misura del terzo lato.
(d)
Dati tre lati sono univocamente determinati i tre angoli.
(e)
Dati due angoli e un lato non è possibile determinare gli altri lati.
(f)
Dati due lati non è possibile ricavare la misura del terzo lato.
Dato il sistema lineare
ax + by + c = 0,
a′ x + b′ y + c′ = 0,
si dica quale tra le seguenti affermazioni è quella giusta.
(a)
Il sistema ammette due sole coppie di soluzioni distinte.
(b)
(c)
(d)
(e)
13.
Il sistema non ammette soluzioni se ab′ − ba′ = 0.
Il sistema ammette soluzioni se e solo se ab′ − ba′ = 0.
Il sistema può non ammettere soluzioni se ab′ − ba′ 6= 0.
Il sistema può ammettere soluzioni se ab′ − ba′ = 0.
Si consideri la retta y = mx + n. Sotto quali condizioni su a e b la retta ax + by + c = 0 è perpendicolare
alla retta data?
(a)
m = a/b.
(b)
m = b/a.
(c)
m = −b/a.
(d)
(e)
m = −a/b.
m = ab.
2–C
14.
15.
16.
Siano p, q ∈ R5 [x] due polinomi di grado 5, 3 rispettivamente. Si denoti con p/q il quoziente tra i due
polinomi ottenuto mediante la divisione euclidea . Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
(a)
Il grado di p/q è minore o uguale a 3.
(b)
Il grado di p/q è minore o uguale a 2.
(c)
Il grado di p/q può essere uguale ad 1.
(d)
Il grado di p/q può essere uguale a 2.
(e)
Il grado di p/q è maggiore di 0.
Si consideri la parabola f (x) = x2 + 3x − 1. Data un’ellisse del piano, quale tra le seguenti affermazioni è
falsa?
(a)
L’ellisse può intersecare la parabola in quattro punti.
(b)
L’ellisse può intersecare la parabola in tre punti.
(c)
L’ellisse può avere intersezione vuota con la parabola.
(d)
Non esiste un’ellisse tangente alla parabola in due punti.
(e)
Non esiste un’ellisse che interseca la parabola in 5 punti distinti.
Sia dato il polinomio an − bn . Si dica quale tra le seguenti affermazioni è vera.
(a)
Il polinomio non ammette una scomposizione in fattori di grado inferiore ad n.
(b)
(c)
(d)
(e)
17.
18.
19.
Il polinomio ammette la scomposizione an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + · · · + bn−1 ).
Il polinomio ammette una scomposizione in fattori di grado inferiore ad n se e solo se n è pari.
Nessuna delle precedenti è vera.
L’equazione x3 − k = 0, con k ∈ R, soddisfa una tra le seguenti proprietà.
(a)
Ammette tre soluzioni reali e distinte.
(b)
Ammette un’unica soluzione reale.
(c)
Ammette tre soluzioni reali e coincidenti.
(d)
Non ammette soluzioni.
(e)
Ammette esclusivamente radici complesse (con parte immaginaria diversa da 0).
Data la retta 4x + 2y − 3 = 0 si dica quale tra le seguenti rette è parallela alla precedente.
(a)
y = −2x
(b)
y = 2x + 4
(c)
y = 1/2x + 3
(d)
y = 1/2x
(e)
Nessuna delle precedenti.
Data l’equazione lineare 3x−2y +1 = 0, dire quale tra le seguenti equazioni fornisce, unita alla precedente,
un sistema lineare che ha infinite soluzioni.
(a)
−6x + 4y − 2 = 0.
(b)
(c)
(d)
(e)
20.
Il polinomio ammette la scomposizione an − bn = (a + b)(an−1 − an−2 b + · · · − bn−1 ).
x + y − 1 = 0.
−6x + 4y + 1/2 = 0.
3x − 3y = 0.
3x − 2y + 2 = 0.
Dato il polinomio p(x) = x4 + x3 + x + 1, si dica quale tra le seguenti proprietà è vera:
(a)
p(x) non ha radici reali.
(b)
p(x) non ha radici complesse.
(c)
p(x) ammette solo radici reali.
(d)
p(x) ammette radici reali e complesse.
(e)
p(x) ammette solo radici complesse.
3–C
Soluzioni del test C
Parte 1. Analisi Matematica – tempo assegnato: 45 min.
1.
Data la disequazione cos2 x − 2 cos x + 1 > 0, quale tra le seguenti affermazioni è vera?
(a)
La disequazione ammette esattamente una soluzione.
(b)
L’equazione ammette le soluzioni x = 0 e x = 2π.
(c)
La disequazione non ammette soluzioni.
(d)
La disequazione ammette infinite soluzioni.
(e)
Nessuna delle precedenti.
Spiegazione. Ponendo cos x = t si ha un’equazione di secondo grado che fornisce la disequazione
(cos x − 1)2 > 0, che ha per soluzioni i valori reali di x 6= 2kπ, con k ∈ Z.
2.
Un noto teorema (teorema di Carnot o dei coseni) afferma che:
(a)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella degli altri due.
(b)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella di un altro lato e di
uno degli angoli del triangolo.
(c)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella degli angoli del
triangolo.
(d)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella degli altri due e
dell’angolo compreso tra questi.
(e)
Nessuna delle precedenti affermazioni è vera.
Spiegazione. Il teorema di Carnot dice che, note le misure a, b dei lati di un triangolo, la misura
del terzo lato c si ricava dalla relazione c2 = a2 + b2 − 2ab cos α, ove α è l’angolo compreso tra i
due lati di misura nota.
3.
Sia (x2 + x + 1)/ log x ≤ 0 una disequazione nell’incognita x. Si dica quale tra le seguenti affermazioni è
vera:
(a)
Le soluzioni sono comprese nell’intervallo tra le radici.
(b)
Non ci sono soluzioni.
(c)
Le soluzioni sono esterne all’intervallo tra le radici.
(d)
Le soluzioni sono tutti i valori x ∈ (0, 1).
(e)
nessuna delle precedenti affermazioni è vera.
Spiegazione. Il discriminante dell’equazione è negativo e il polinomio di secondo grado assume
sempre valori positivi; tuttavia log x è negativa nell’intervallo indicato.
4.
La scomposizione in fattori primi del numero 289 è:
(a)
49 · 79
(b)
218 · 79
(c)
224 · 718
(d)
4·7
(e)
418 · 79
Spiegazione. Si ha 28 = 22 · 7, da cui il risultato applicando le proprietà delle potenze.
5.
Sia data l’equazione ax2 + bx + c = 0, con a, b, c ∈ R. Quale tra le seguenti affermazioni è vera?
(a)
L’equazione ha infinite soluzioni reali.
(b)
L’equazione ha un’unica soluzione reale.
(c)
L’equazione può avere infinite soluzioni reali.
(d)
L’equazione non ha soluzioni.
(e)
L’equazione ha due soluzioni reali, che possono anche coincidere.
Spiegazione. Basta che i coefficienti siano nulli. Si noti come ciascuna delle altre risposte possa
essere invalidata scegliendo particolari valori dei coefficienti.
6.
I numeri irrazionali si possono ottenere come soluzioni di equazioni algebriche a coefficienti interi?
(a)
Si, sempre.
(b)
Si, escludendo e e π.
(c)
No, ad eccezione di e e π.
(d)
Solo in alcuni casi.
(e)
No, mai.
Spiegazione. Solo i numeri irrazionali algebrici sono soluzioni di equazioni algebriche a coefficienti
interi.
1–C
7.
Dati due numeri reali x, y ∈ (−1, 0), x < y, dire quale tra le seguenti relazioni è quella vera.
(a)
1/x2 > 1/y 2 .
(b)
1/x2 < 1/y 2 .
(c)
x2 < y 2 .
(d)
1/x2 < 1/x3 .
(e)
Nessuna delle precedenti.
Spiegazione. L’operazione di inversione cambia il verso delle disuguaglianze, l’operazione di
elevamento al quadrato di numeri negativi lo cambia un’altra volta.
8.
Si dica
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
9.
A quanto è uguale la tangente dell’angolo 7/4 π?
(a)
1/2.
√
(b)
3/2.
(c)
1.
(d)
−1.
√
(e)
− 3/2.
Spiegazione. Infatti si ha 7/4 π = −π/2 + 2π, e tg(−α + kπ) = − tg α, dove k è intero.
10.
quale tra le seguenti è l’affermazione corretta.
tg x assume solo valori positivi o, al più, nulli.
tg x assume solo valori nell’intervallo [0, 1].
tg x assume valori in R.
tg x è definita per ogni x ∈ R.
La diseguaglianza tg x ≥ 2 ha un’unica soluzione.
Spiegazione. La funzione tg x assume tutti i possibili valori reali.
La somma 1/16 + 3/12 + 1/25 è uguale a
(a)
1236/324
(b)
1/1001
(c)
141/24 · 52
(d)
148/24 · 3 · 52
(e)
183/25 · 16
Spiegazione. Il minimo comune multiplo tra i denominatori è 24 · 52 , una volta semplificato il 3
dalla seconda frazione.
Parte 2. Geometria e Algebra – tempo assegnato: 45 min.
11.
Si consideri un triangolo qualunque. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
(a)
La somma degli angoli interni è 180o .
(b)
La somma delle misure di due lati è sempre maggiore o uguale alla misura del terzo lato.
(c)
Dati due lati e l’angolo compreso è possibile ricavare la misura del terzo lato.
(d)
Dati tre lati sono univocamente determinati i tre angoli.
(e)
Dati due angoli e un lato non è possibile determinare gli altri lati.
(f)
Dati due lati non è possibile ricavare la misura del terzo lato.
Spiegazione. I due lati restanti si possono ricavare col teorema dei seni.
12.
Dato il sistema lineare
si dica
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
ax + by + c = 0,
a′ x + b′ y + c′ = 0,
quale tra le seguenti affermazioni è quella giusta.
Il sistema ammette due sole coppie di soluzioni distinte.
Il sistema non ammette soluzioni se ab′ − ba′ = 0.
Il sistema ammette soluzioni se e solo se ab′ − ba′ = 0.
Il sistema può non ammettere soluzioni se ab′ − ba′ 6= 0.
Il sistema può ammettere soluzioni se ab′ − ba′ = 0.
Spiegazione. Se ab′ − ba′ 6= 0 il sistema ammette sicuramente una coppia di soluzioni. Se ab′ −
ba′ = 0 il sistema può ammettere infinite soluzioni.
2–C
13.
Si consideri la retta y = mx + n. Sotto quali condizioni su a e b la retta ax + by + c = 0 è perpendicolare
alla retta data?
(a)
m = a/b.
(b)
m = b/a.
(c)
m = −b/a.
(d)
m = −a/b.
(e)
m = ab.
Spiegazione. Il coefficiente angolare della seconda retta deve essere reciproco ed opposto al
coefficiente angolare della prima retta.
14.
Siano p, q ∈ R5 [x] due polinomi di grado 5, 3 rispettivamente. Si denoti con p/q il quoziente tra i due
polinomi ottenuto mediante la divisione euclidea . Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
(a)
Il grado di p/q è minore o uguale a 3.
(b)
Il grado di p/q è minore o uguale a 2.
(c)
Il grado di p/q può essere uguale ad 1.
(d)
Il grado di p/q può essere uguale a 2.
(e)
Il grado di p/q è maggiore di 0.
Spiegazione. Il termine di grado più elevato del polinomio p/q è ottenuto dal quoziente tra i due
termini di grado più elevato di p, q, rispettivamente, e non può essere nullo.
15.
Si consideri la parabola f (x) = x2 + 3x − 1. Data un’ellisse del piano, quale tra le seguenti affermazioni è
falsa?
(a)
L’ellisse può intersecare la parabola in quattro punti.
(b)
L’ellisse può intersecare la parabola in tre punti.
(c)
L’ellisse può avere intersezione vuota con la parabola.
(d)
Non esiste un’ellisse tangente alla parabola in due punti.
(e)
Non esiste un’ellisse che interseca la parabola in 5 punti distinti.
Spiegazione. L’ellisse può essere inscritta nella parabola poiché questa ammette punti simmetrici
(rispetto all’asse della parabola stessa) di distanza arbitraria.
16.
Sia dato il polinomio an − bn . Si dica quale tra le seguenti affermazioni è vera.
(a)
Il polinomio non ammette una scomposizione in fattori di grado inferiore ad n.
(b)
Il polinomio ammette la scomposizione an − bn = (a + b)(an−1 − an−2 b + · · · − bn−1 ).
(c)
Il polinomio ammette la scomposizione an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + · · · + bn−1 ).
(d)
Il polinomio ammette una scomposizione in fattori di grado inferiore ad n se e solo se n è pari.
(e)
Nessuna delle precedenti è vera.
Spiegazione. La scomposizione an − bn = (a + b) · · · vale solo per n pari.
17.
L’equazione x3 − k = 0, con k ∈ R, soddisfa una tra le seguenti proprietà.
(a)
Ammette tre soluzioni reali e distinte.
(b)
Ammette un’unica soluzione reale.
(c)
Ammette tre soluzioni reali e coincidenti.
(d)
Non ammette soluzioni.
(e)
Ammette esclusivamente radici complesse (con
√ parte immaginaria diversa da 0).
Spiegazione. L’unica soluzione reale è x = 3 k.
18.
Data la retta 4x + 2y − 3 = 0 si dica quale tra le seguenti rette è parallela alla precedente.
(a)
y = −2x
(b)
y = 2x + 4
(c)
y = 1/2x + 3
(d)
y = 1/2x
(e)
Nessuna delle precedenti.
Spiegazione. Il coefficiente angolare deve essere lo stesso.
19.
Data l’equazione lineare 3x−2y +1 = 0, dire quale tra le seguenti equazioni fornisce, unita alla precedente,
un sistema lineare che ha infinite soluzioni.
(a)
−6x + 4y − 2 = 0.
(b)
x + y − 1 = 0.
(c)
−6x + 4y + 1/2 = 0.
(d)
3x − 3y = 0.
(e)
3x − 2y + 2 = 0.
Spiegazione. L’equazione ha i coefficienti proporzionali a quelli dell’equazione data.
3–C
20.
Dato il polinomio p(x) = x4 + x3 + x + 1, si dica quale tra le seguenti proprietà è vera:
(a)
p(x) non ha radici reali.
(b)
p(x) non ha radici complesse.
(c)
p(x) ammette solo radici reali.
(d)
p(x) ammette radici reali e complesse.
(e)
p(x) ammette solo radici complesse.
Spiegazione. Per il teorema di Ruffini il polinomio ammette la radice x = −1.
4–C
Facoltà di Ingegneria Industriale
Recupero test d’ingresso
Prova del 13/01/2009 – codice prova:
D
Parte 1. Analisi Matematica – tempo assegnato: 45 min.
1.
Si dica quale tra le seguenti è l’affermazione corretta.
(a)
tg x assume solo valori positivi o, al più, nulli.
(b)
tg x assume solo valori nell’intervallo [0, 1].
(c)
tg x assume valori in R.
(d)
tg x è definita per ogni x ∈ R.
(e)
2.
A quanto è uguale la tangente dell’angolo 7/4 π?
(a)
1/2.
√
3/2.
(b)
(c)
1.
(d)
−1.
√
− 3/2.
(e)
3.
4.
Dati due numeri reali x, y ∈ (−1, 0), x < y, dire quale tra le seguenti relazioni è quella vera.
(a)
1/x2 > 1/y 2 .
(b)
1/x2 < 1/y 2 .
(c)
x2 < y 2 .
(d)
1/x2 < 1/x3 .
(e)
Nessuna delle precedenti.
Sia (x2 + x + 1)/ log x ≤ 0 una disequazione nell’incognita x. Si dica quale tra le seguenti affermazioni è
vera:
(a)
Le soluzioni sono comprese nell’intervallo tra le radici.
(b)
Non ci sono soluzioni.
(c)
Le soluzioni sono esterne all’intervallo tra le radici.
(d)
Le soluzioni sono tutti i valori x ∈ (0, 1).
(e)
5.
6.
La diseguaglianza tg x ≥ 2 ha un’unica soluzione.
nessuna delle precedenti affermazioni è vera.
Sia data l’equazione ax2 + bx + c = 0, con a, b, c ∈ R. Quale tra le seguenti affermazioni è vera?
(a)
L’equazione ha infinite soluzioni reali.
(b)
L’equazione ha un’unica soluzione reale.
(c)
L’equazione può avere infinite soluzioni reali.
(d)
L’equazione non ha soluzioni.
(e)
L’equazione ha due soluzioni reali, che possono anche coincidere.
Un noto teorema (teorema di Carnot o dei coseni) afferma che:
(a)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella degli altri due.
(b)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella di un altro lato e di
uno degli angoli del triangolo.
(c)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella degli angoli del
triangolo.
(d)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella degli altri due e
dell’angolo compreso tra questi.
(e)
Nessuna delle precedenti affermazioni è vera.
1–D
7.
La somma 1/16 + 3/12 + 1/25 è uguale a
(a)
1236/324
(b)
1/1001
(c)
141/24 · 52
(d)
(e)
8.
(c)
(d)
(e)
10.
183/25 · 16
La scomposizione in fattori primi del numero 289 è:
(a)
49 · 79
(b)
9.
148/24 · 3 · 52
218 · 79
224 · 718
4·7
418 · 79
I numeri irrazionali si possono ottenere come soluzioni di equazioni algebriche a coefficienti interi?
(a)
Si, sempre.
(b)
Si, escludendo e e π.
(c)
No, ad eccezione di e e π.
(d)
Solo in alcuni casi.
(e)
No, mai.
Data la disequazione cos2 x − 2 cos x + 1 > 0, quale tra le seguenti affermazioni è vera?
(a)
La disequazione ammette esattamente una soluzione.
(b)
L’equazione ammette le soluzioni x = 0 e x = 2π.
(c)
La disequazione non ammette soluzioni.
(d)
La disequazione ammette infinite soluzioni.
(e)
Nessuna delle precedenti.
Parte 2. Geometria e Algebra – tempo assegnato: 45 min.
11.
12.
Dato il polinomio p(x) = x4 + x3 + x + 1, si dica quale tra le seguenti proprietà è vera:
(a)
p(x) non ha radici reali.
(b)
p(x) non ha radici complesse.
(c)
p(x) ammette solo radici reali.
(d)
p(x) ammette radici reali e complesse.
(e)
p(x) ammette solo radici complesse.
Dato il sistema lineare
ax + by + c = 0,
a′ x + b′ y + c′ = 0,
si dica quale tra le seguenti affermazioni è quella giusta.
(a)
Il sistema ammette due sole coppie di soluzioni distinte.
(b)
(c)
(d)
(e)
13.
Il sistema non ammette soluzioni se ab′ − ba′ = 0.
Il sistema ammette soluzioni se e solo se ab′ − ba′ = 0.
Il sistema può non ammettere soluzioni se ab′ − ba′ 6= 0.
Il sistema può ammettere soluzioni se ab′ − ba′ = 0.
Sia dato il polinomio an − bn . Si dica quale tra le seguenti affermazioni è vera.
(a)
Il polinomio non ammette una scomposizione in fattori di grado inferiore ad n.
(b)
(c)
(d)
(e)
Il polinomio ammette la scomposizione an − bn = (a + b)(an−1 − an−2 b + · · · − bn−1 ).
Il polinomio ammette la scomposizione an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + · · · + bn−1 ).
Il polinomio ammette una scomposizione in fattori di grado inferiore ad n se e solo se n è pari.
Nessuna delle precedenti è vera.
2–D
14.
15.
L’equazione x3 − k = 0, con k ∈ R, soddisfa una tra le seguenti proprietà.
(a)
Ammette tre soluzioni reali e distinte.
(b)
Ammette un’unica soluzione reale.
(c)
Ammette tre soluzioni reali e coincidenti.
(d)
Non ammette soluzioni.
(e)
Ammette esclusivamente radici complesse (con parte immaginaria diversa da 0).
Si consideri la retta y = mx + n. Sotto quali condizioni su a e b la retta ax + by + c = 0 è perpendicolare
alla retta data?
(a)
m = a/b.
(b)
m = b/a.
(c)
m = −b/a.
(d)
(e)
16.
(c)
(d)
(e)
18.
19.
20.
m = ab.
Data l’equazione lineare 3x−2y +1 = 0, dire quale tra le seguenti equazioni fornisce, unita alla precedente,
un sistema lineare che ha infinite soluzioni.
(a)
−6x + 4y − 2 = 0.
(b)
17.
m = −a/b.
x + y − 1 = 0.
−6x + 4y + 1/2 = 0.
3x − 3y = 0.
3x − 2y + 2 = 0.
Data la retta 4x + 2y − 3 = 0 si dica quale tra le seguenti rette è parallela alla precedente.
(a)
y = −2x
(b)
y = 2x + 4
(c)
y = 1/2x + 3
(d)
y = 1/2x
(e)
Nessuna delle precedenti.
Siano p, q ∈ R5 [x] due polinomi di grado 5, 3 rispettivamente. Si denoti con p/q il quoziente tra i due
polinomi ottenuto mediante la divisione euclidea . Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
(a)
Il grado di p/q è minore o uguale a 3.
(b)
Il grado di p/q è minore o uguale a 2.
(c)
Il grado di p/q può essere uguale ad 1.
(d)
Il grado di p/q può essere uguale a 2.
(e)
Il grado di p/q è maggiore di 0.
Si consideri un triangolo qualunque. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
(a)
La somma degli angoli interni è 180o .
(b)
La somma delle misure di due lati è sempre maggiore o uguale alla misura del terzo lato.
(c)
Dati due lati e l’angolo compreso è possibile ricavare la misura del terzo lato.
(d)
Dati tre lati sono univocamente determinati i tre angoli.
(e)
Dati due angoli e un lato non è possibile determinare gli altri lati.
(f)
Dati due lati non è possibile ricavare la misura del terzo lato.
Si consideri la parabola f (x) = x2 + 3x − 1. Data un’ellisse del piano, quale tra le seguenti affermazioni è
falsa?
(a)
L’ellisse può intersecare la parabola in quattro punti.
(b)
L’ellisse può intersecare la parabola in tre punti.
(c)
L’ellisse può avere intersezione vuota con la parabola.
(d)
Non esiste un’ellisse tangente alla parabola in due punti.
(e)
Non esiste un’ellisse che interseca la parabola in 5 punti distinti.
3–D
Soluzioni del test D
Parte 1. Analisi Matematica – tempo assegnato: 45 min.
1.
Si dica
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
quale tra le seguenti è l’affermazione corretta.
tg x assume solo valori positivi o, al più, nulli.
tg x assume solo valori nell’intervallo [0, 1].
tg x assume valori in R.
tg x è definita per ogni x ∈ R.
La diseguaglianza tg x ≥ 2 ha un’unica soluzione.
Spiegazione. La funzione tg x assume tutti i possibili valori reali.
2.
A quanto è uguale la tangente dell’angolo 7/4 π?
(a)
1/2.
√
(b)
3/2.
(c)
1.
(d)
−1.
√
(e)
− 3/2.
Spiegazione. Infatti si ha 7/4 π = −π/2 + 2π, e tg(−α + kπ) = − tg α, dove k è intero.
3.
Dati due numeri reali x, y ∈ (−1, 0), x < y, dire quale tra le seguenti relazioni è quella vera.
(a)
1/x2 > 1/y 2 .
(b)
1/x2 < 1/y 2 .
(c)
x2 < y 2 .
(d)
1/x2 < 1/x3 .
(e)
Nessuna delle precedenti.
Spiegazione. L’operazione di inversione cambia il verso delle disuguaglianze, l’operazione di
elevamento al quadrato di numeri negativi lo cambia un’altra volta.
4.
Sia (x2 + x + 1)/ log x ≤ 0 una disequazione nell’incognita x. Si dica quale tra le seguenti affermazioni è
vera:
(a)
Le soluzioni sono comprese nell’intervallo tra le radici.
(b)
Non ci sono soluzioni.
(c)
Le soluzioni sono esterne all’intervallo tra le radici.
(d)
Le soluzioni sono tutti i valori x ∈ (0, 1).
(e)
nessuna delle precedenti affermazioni è vera.
Spiegazione. Il discriminante dell’equazione è negativo e il polinomio di secondo grado assume
sempre valori positivi; tuttavia log x è negativa nell’intervallo indicato.
5.
Sia data l’equazione ax2 + bx + c = 0, con a, b, c ∈ R. Quale tra le seguenti affermazioni è vera?
(a)
L’equazione ha infinite soluzioni reali.
(b)
L’equazione ha un’unica soluzione reale.
(c)
L’equazione può avere infinite soluzioni reali.
(d)
L’equazione non ha soluzioni.
(e)
L’equazione ha due soluzioni reali, che possono anche coincidere.
Spiegazione. Basta che i coefficienti siano nulli. Si noti come ciascuna delle altre risposte possa
essere invalidata scegliendo particolari valori dei coefficienti.
6.
Un noto teorema (teorema di Carnot o dei coseni) afferma che:
(a)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella degli altri due.
(b)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella di un altro lato e di
uno degli angoli del triangolo.
(c)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella degli angoli del
triangolo.
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella degli altri due e
(d)
dell’angolo compreso tra questi.
(e)
Nessuna delle precedenti affermazioni è vera.
Spiegazione. Il teorema di Carnot dice che, note le misure a, b dei lati di un triangolo, la misura
del terzo lato c si ricava dalla relazione c2 = a2 + b2 − 2ab cos α, ove α è l’angolo compreso tra i
due lati di misura nota.
1–D
7.
La somma 1/16 + 3/12 + 1/25 è uguale a
(a)
1236/324
(b)
1/1001
(c)
141/24 · 52
(d)
148/24 · 3 · 52
(e)
183/25 · 16
Spiegazione. Il minimo comune multiplo tra i denominatori è 24 · 52 , una volta semplificato il 3
dalla seconda frazione.
8.
La scomposizione in fattori primi del numero 289 è:
(a)
49 · 79
(b)
218 · 79
(c)
224 · 718
(d)
4·7
(e)
418 · 79
Spiegazione. Si ha 28 = 22 · 7, da cui il risultato applicando le proprietà delle potenze.
9.
I numeri irrazionali si possono ottenere come soluzioni di equazioni algebriche a coefficienti interi?
(a)
Si, sempre.
(b)
Si, escludendo e e π.
(c)
No, ad eccezione di e e π.
(d)
Solo in alcuni casi.
(e)
No, mai.
Spiegazione. Solo i numeri irrazionali algebrici sono soluzioni di equazioni algebriche a coefficienti
interi.
10.
Data la disequazione cos2 x − 2 cos x + 1 > 0, quale tra le seguenti affermazioni è vera?
(a)
La disequazione ammette esattamente una soluzione.
(b)
L’equazione ammette le soluzioni x = 0 e x = 2π.
(c)
La disequazione non ammette soluzioni.
(d)
La disequazione ammette infinite soluzioni.
(e)
Nessuna delle precedenti.
Spiegazione. Ponendo cos x = t si ha un’equazione di secondo grado che fornisce la disequazione
(cos x − 1)2 > 0, che ha per soluzioni i valori reali di x 6= 2kπ, con k ∈ Z.
Parte 2. Geometria e Algebra – tempo assegnato: 45 min.
11.
Dato il polinomio p(x) = x4 + x3 + x + 1, si dica quale tra le seguenti proprietà è vera:
(a)
p(x) non ha radici reali.
(b)
p(x) non ha radici complesse.
(c)
p(x) ammette solo radici reali.
(d)
p(x) ammette radici reali e complesse.
(e)
p(x) ammette solo radici complesse.
Spiegazione. Per il teorema di Ruffini il polinomio ammette la radice x = −1.
12.
Dato il sistema lineare
si dica
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
ax + by + c = 0,
a′ x + b′ y + c′ = 0,
quale tra le seguenti affermazioni è quella giusta.
Il sistema ammette due sole coppie di soluzioni distinte.
Il sistema non ammette soluzioni se ab′ − ba′ = 0.
Il sistema ammette soluzioni se e solo se ab′ − ba′ = 0.
Il sistema può non ammettere soluzioni se ab′ − ba′ 6= 0.
Il sistema può ammettere soluzioni se ab′ − ba′ = 0.
Spiegazione. Se ab′ − ba′ 6= 0 il sistema ammette sicuramente una coppia di soluzioni. Se ab′ −
ba′ = 0 il sistema può ammettere infinite soluzioni.
2–D
13.
Sia dato il polinomio an − bn . Si dica quale tra le seguenti affermazioni è vera.
(a)
Il polinomio non ammette una scomposizione in fattori di grado inferiore ad n.
(b)
Il polinomio ammette la scomposizione an − bn = (a + b)(an−1 − an−2 b + · · · − bn−1 ).
(c)
Il polinomio ammette la scomposizione an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + · · · + bn−1 ).
(d)
Il polinomio ammette una scomposizione in fattori di grado inferiore ad n se e solo se n è pari.
(e)
Nessuna delle precedenti è vera.
Spiegazione. La scomposizione an − bn = (a + b) · · · vale solo per n pari.
14.
L’equazione x3 − k = 0, con k ∈ R, soddisfa una tra le seguenti proprietà.
(a)
Ammette tre soluzioni reali e distinte.
(b)
Ammette un’unica soluzione reale.
(c)
Ammette tre soluzioni reali e coincidenti.
(d)
Non ammette soluzioni.
(e)
Ammette esclusivamente radici complesse (con
√ parte immaginaria diversa da 0).
Spiegazione. L’unica soluzione reale è x = 3 k.
15.
Si consideri la retta y = mx + n. Sotto quali condizioni su a e b la retta ax + by + c = 0 è perpendicolare
alla retta data?
(a)
m = a/b.
(b)
m = b/a.
(c)
m = −b/a.
(d)
m = −a/b.
(e)
m = ab.
Spiegazione. Il coefficiente angolare della seconda retta deve essere reciproco ed opposto al
coefficiente angolare della prima retta.
16.
Data l’equazione lineare 3x−2y +1 = 0, dire quale tra le seguenti equazioni fornisce, unita alla precedente,
un sistema lineare che ha infinite soluzioni.
(a)
−6x + 4y − 2 = 0.
(b)
x + y − 1 = 0.
(c)
−6x + 4y + 1/2 = 0.
(d)
3x − 3y = 0.
(e)
3x − 2y + 2 = 0.
Spiegazione. L’equazione ha i coefficienti proporzionali a quelli dell’equazione data.
17.
Data la retta 4x + 2y − 3 = 0 si dica quale tra le seguenti rette è parallela alla precedente.
(a)
y = −2x
(b)
y = 2x + 4
(c)
y = 1/2x + 3
(d)
y = 1/2x
(e)
Nessuna delle precedenti.
Spiegazione. Il coefficiente angolare deve essere lo stesso.
18.
Siano p, q ∈ R5 [x] due polinomi di grado 5, 3 rispettivamente. Si denoti con p/q il quoziente tra i due
polinomi ottenuto mediante la divisione euclidea . Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
(a)
Il grado di p/q è minore o uguale a 3.
(b)
Il grado di p/q è minore o uguale a 2.
(c)
Il grado di p/q può essere uguale ad 1.
(d)
Il grado di p/q può essere uguale a 2.
(e)
Il grado di p/q è maggiore di 0.
Spiegazione. Il termine di grado più elevato del polinomio p/q è ottenuto dal quoziente tra i due
termini di grado più elevato di p, q, rispettivamente, e non può essere nullo.
19.
Si consideri un triangolo qualunque. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
(a)
La somma degli angoli interni è 180o .
(b)
La somma delle misure di due lati è sempre maggiore o uguale alla misura del terzo lato.
(c)
Dati due lati e l’angolo compreso è possibile ricavare la misura del terzo lato.
(d)
Dati tre lati sono univocamente determinati i tre angoli.
(e)
Dati due angoli e un lato non è possibile determinare gli altri lati.
(f)
Dati due lati non è possibile ricavare la misura del terzo lato.
Spiegazione. I due lati restanti si possono ricavare col teorema dei seni.
3–D
20.
Si consideri la parabola f (x) = x2 + 3x − 1. Data un’ellisse del piano, quale tra le seguenti affermazioni è
falsa?
(a)
L’ellisse può intersecare la parabola in quattro punti.
(b)
L’ellisse può intersecare la parabola in tre punti.
(c)
L’ellisse può avere intersezione vuota con la parabola.
(d)
Non esiste un’ellisse tangente alla parabola in due punti.
(e)
Non esiste un’ellisse che interseca la parabola in 5 punti distinti.
Spiegazione. L’ellisse può essere inscritta nella parabola poiché questa ammette punti simmetrici
(rispetto all’asse della parabola stessa) di distanza arbitraria.
4–D
Facoltà di Ingegneria Industriale
Recupero test d’ingresso
Prova del 13/01/2009 – codice prova:
E
Parte 1. Analisi Matematica – tempo assegnato: 45 min.
1.
A quanto è uguale la tangente dell’angolo 7/4 π?
(a)
1/2.
√
(b)
3/2.
(c)
1.
(d)
−1.
√
− 3/2.
(e)
2.
3.
4.
5.
I numeri irrazionali si possono ottenere come soluzioni di equazioni algebriche a coefficienti interi?
(a)
Si, sempre.
(b)
Si, escludendo e e π.
(c)
No, ad eccezione di e e π.
(d)
Solo in alcuni casi.
(e)
No, mai.
Dati due numeri reali x, y ∈ (−1, 0), x < y, dire quale tra le seguenti relazioni è quella vera.
(a)
1/x2 > 1/y 2 .
(b)
1/x2 < 1/y 2 .
(c)
x2 < y 2 .
(d)
1/x2 < 1/x3 .
(e)
Nessuna delle precedenti.
Un noto teorema (teorema di Carnot o dei coseni) afferma che:
(a)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella degli altri due.
(b)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella di un altro lato e di
uno degli angoli del triangolo.
(c)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella degli angoli del
triangolo.
(d)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella degli altri due e
dell’angolo compreso tra questi.
(e)
Nessuna delle precedenti affermazioni è vera.
Si dica quale tra le seguenti è l’affermazione corretta.
(a)
tg x assume solo valori positivi o, al più, nulli.
(b)
tg x assume solo valori nell’intervallo [0, 1].
(c)
tg x assume valori in R.
(d)
tg x è definita per ogni x ∈ R.
(e)
6.
La diseguaglianza tg x ≥ 2 ha un’unica soluzione.
Sia (x2 + x + 1)/ log x ≤ 0 una disequazione nell’incognita x. Si dica quale tra le seguenti affermazioni è
vera:
(a)
Le soluzioni sono comprese nell’intervallo tra le radici.
(b)
Non ci sono soluzioni.
(c)
Le soluzioni sono esterne all’intervallo tra le radici.
(d)
Le soluzioni sono tutti i valori x ∈ (0, 1).
(e)
nessuna delle precedenti affermazioni è vera.
1–E
7.
La somma 1/16 + 3/12 + 1/25 è uguale a
(a)
1236/324
(b)
1/1001
(c)
141/24 · 52
(d)
(e)
8.
(c)
(d)
(e)
10.
183/25 · 16
La scomposizione in fattori primi del numero 289 è:
(a)
49 · 79
(b)
9.
148/24 · 3 · 52
218 · 79
224 · 718
4·7
418 · 79
Sia data l’equazione ax2 + bx + c = 0, con a, b, c ∈ R. Quale tra le seguenti affermazioni è vera?
(a)
L’equazione ha infinite soluzioni reali.
(b)
L’equazione ha un’unica soluzione reale.
(c)
L’equazione può avere infinite soluzioni reali.
(d)
L’equazione non ha soluzioni.
(e)
L’equazione ha due soluzioni reali, che possono anche coincidere.
Data la disequazione cos2 x − 2 cos x + 1 > 0, quale tra le seguenti affermazioni è vera?
(a)
La disequazione ammette esattamente una soluzione.
(b)
L’equazione ammette le soluzioni x = 0 e x = 2π.
(c)
La disequazione non ammette soluzioni.
(d)
La disequazione ammette infinite soluzioni.
(e)
Nessuna delle precedenti.
Parte 2. Geometria e Algebra – tempo assegnato: 45 min.
11.
12.
13.
Dato il polinomio p(x) = x4 + x3 + x + 1, si dica quale tra le seguenti proprietà è vera:
(a)
p(x) non ha radici reali.
(b)
p(x) non ha radici complesse.
(c)
p(x) ammette solo radici reali.
(d)
p(x) ammette radici reali e complesse.
(e)
p(x) ammette solo radici complesse.
Si consideri un triangolo qualunque. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
(a)
La somma degli angoli interni è 180o .
(b)
La somma delle misure di due lati è sempre maggiore o uguale alla misura del terzo lato.
(c)
Dati due lati e l’angolo compreso è possibile ricavare la misura del terzo lato.
(d)
Dati tre lati sono univocamente determinati i tre angoli.
(e)
Dati due angoli e un lato non è possibile determinare gli altri lati.
(f)
Dati due lati non è possibile ricavare la misura del terzo lato.
Siano p, q ∈ R5 [x] due polinomi di grado 5, 3 rispettivamente. Si denoti con p/q il quoziente tra i due
polinomi ottenuto mediante la divisione euclidea . Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
(a)
Il grado di p/q è minore o uguale a 3.
(b)
Il grado di p/q è minore o uguale a 2.
(c)
Il grado di p/q può essere uguale ad 1.
(d)
Il grado di p/q può essere uguale a 2.
(e)
Il grado di p/q è maggiore di 0.
2–E
14.
15.
16.
Si consideri la parabola f (x) = x2 + 3x − 1. Data un’ellisse del piano, quale tra le seguenti affermazioni è
falsa?
(a)
L’ellisse può intersecare la parabola in quattro punti.
(b)
L’ellisse può intersecare la parabola in tre punti.
(c)
L’ellisse può avere intersezione vuota con la parabola.
(d)
Non esiste un’ellisse tangente alla parabola in due punti.
(e)
Non esiste un’ellisse che interseca la parabola in 5 punti distinti.
L’equazione x3 − k = 0, con k ∈ R, soddisfa una tra le seguenti proprietà.
(a)
Ammette tre soluzioni reali e distinte.
(b)
Ammette un’unica soluzione reale.
(c)
Ammette tre soluzioni reali e coincidenti.
(d)
Non ammette soluzioni.
(e)
Ammette esclusivamente radici complesse (con parte immaginaria diversa da 0).
Dato il sistema lineare
ax + by + c = 0,
a′ x + b′ y + c′ = 0,
si dica quale tra le seguenti affermazioni è quella giusta.
(a)
Il sistema ammette due sole coppie di soluzioni distinte.
(b)
(c)
(d)
(e)
17.
(c)
(d)
(e)
(c)
(d)
(e)
Il sistema può ammettere soluzioni se ab′ − ba′ = 0.
Il polinomio ammette la scomposizione an − bn = (a + b)(an−1 − an−2 b + · · · − bn−1 ).
Il polinomio ammette la scomposizione an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + · · · + bn−1 ).
Il polinomio ammette una scomposizione in fattori di grado inferiore ad n se e solo se n è pari.
Nessuna delle precedenti è vera.
x + y − 1 = 0.
−6x + 4y + 1/2 = 0.
3x − 3y = 0.
3x − 2y + 2 = 0.
Si consideri la retta y = mx + n. Sotto quali condizioni su a e b la retta ax + by + c = 0 è perpendicolare
alla retta data?
(a)
m = a/b.
(b)
m = b/a.
(c)
m = −b/a.
(d)
(e)
20.
Il sistema può non ammettere soluzioni se ab′ − ba′ 6= 0.
Data l’equazione lineare 3x−2y +1 = 0, dire quale tra le seguenti equazioni fornisce, unita alla precedente,
un sistema lineare che ha infinite soluzioni.
(a)
−6x + 4y − 2 = 0.
(b)
19.
Il sistema ammette soluzioni se e solo se ab′ − ba′ = 0.
Sia dato il polinomio an − bn . Si dica quale tra le seguenti affermazioni è vera.
(a)
Il polinomio non ammette una scomposizione in fattori di grado inferiore ad n.
(b)
18.
Il sistema non ammette soluzioni se ab′ − ba′ = 0.
m = −a/b.
m = ab.
Data la retta 4x + 2y − 3 = 0 si dica quale tra le seguenti rette è parallela alla precedente.
(a)
y = −2x
(b)
y = 2x + 4
(c)
y = 1/2x + 3
(d)
y = 1/2x
(e)
Nessuna delle precedenti.
3–E
Soluzioni del test E
Parte 1. Analisi Matematica – tempo assegnato: 45 min.
1.
A quanto è uguale la tangente dell’angolo 7/4 π?
(a)
1/2.
√
(b)
3/2.
(c)
1.
(d)
−1.
√
(e)
− 3/2.
Spiegazione. Infatti si ha 7/4 π = −π/2 + 2π, e tg(−α + kπ) = − tg α, dove k è intero.
2.
I numeri irrazionali si possono ottenere come soluzioni di equazioni algebriche a coefficienti interi?
(a)
Si, sempre.
(b)
Si, escludendo e e π.
(c)
No, ad eccezione di e e π.
(d)
Solo in alcuni casi.
(e)
No, mai.
Spiegazione. Solo i numeri irrazionali algebrici sono soluzioni di equazioni algebriche a coefficienti
interi.
3.
Dati due numeri reali x, y ∈ (−1, 0), x < y, dire quale tra le seguenti relazioni è quella vera.
(a)
1/x2 > 1/y 2 .
(b)
1/x2 < 1/y 2 .
(c)
x2 < y 2 .
(d)
1/x2 < 1/x3 .
(e)
Nessuna delle precedenti.
Spiegazione. L’operazione di inversione cambia il verso delle disuguaglianze, l’operazione di
elevamento al quadrato di numeri negativi lo cambia un’altra volta.
4.
Un noto teorema (teorema di Carnot o dei coseni) afferma che:
(a)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella degli altri due.
(b)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella di un altro lato e di
uno degli angoli del triangolo.
(c)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella degli angoli del
triangolo.
(d)
È possibile conoscere la misura di un lato di un triangolo conoscendo quella degli altri due e
dell’angolo compreso tra questi.
(e)
Nessuna delle precedenti affermazioni è vera.
Spiegazione. Il teorema di Carnot dice che, note le misure a, b dei lati di un triangolo, la misura
del terzo lato c si ricava dalla relazione c2 = a2 + b2 − 2ab cos α, ove α è l’angolo compreso tra i
due lati di misura nota.
5.
Si dica
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
6.
Sia (x2 + x + 1)/ log x ≤ 0 una disequazione nell’incognita x. Si dica quale tra le seguenti affermazioni è
vera:
(a)
Le soluzioni sono comprese nell’intervallo tra le radici.
(b)
Non ci sono soluzioni.
(c)
Le soluzioni sono esterne all’intervallo tra le radici.
(d)
Le soluzioni sono tutti i valori x ∈ (0, 1).
(e)
nessuna delle precedenti affermazioni è vera.
Spiegazione. Il discriminante dell’equazione è negativo e il polinomio di secondo grado assume
sempre valori positivi; tuttavia log x è negativa nell’intervallo indicato.
quale tra le seguenti è l’affermazione corretta.
tg x assume solo valori positivi o, al più, nulli.
tg x assume solo valori nell’intervallo [0, 1].
tg x assume valori in R.
tg x è definita per ogni x ∈ R.
La diseguaglianza tg x ≥ 2 ha un’unica soluzione.
Spiegazione. La funzione tg x assume tutti i possibili valori reali.
1–E
7.
La somma 1/16 + 3/12 + 1/25 è uguale a
(a)
1236/324
(b)
1/1001
(c)
141/24 · 52
(d)
148/24 · 3 · 52
(e)
183/25 · 16
Spiegazione. Il minimo comune multiplo tra i denominatori è 24 · 52 , una volta semplificato il 3
dalla seconda frazione.
8.
La scomposizione in fattori primi del numero 289 è:
(a)
49 · 79
(b)
218 · 79
(c)
224 · 718
(d)
4·7
(e)
418 · 79
Spiegazione. Si ha 28 = 22 · 7, da cui il risultato applicando le proprietà delle potenze.
9.
Sia data l’equazione ax2 + bx + c = 0, con a, b, c ∈ R. Quale tra le seguenti affermazioni è vera?
(a)
L’equazione ha infinite soluzioni reali.
(b)
L’equazione ha un’unica soluzione reale.
(c)
L’equazione può avere infinite soluzioni reali.
(d)
L’equazione non ha soluzioni.
(e)
L’equazione ha due soluzioni reali, che possono anche coincidere.
Spiegazione. Basta che i coefficienti siano nulli. Si noti come ciascuna delle altre risposte possa
essere invalidata scegliendo particolari valori dei coefficienti.
10.
Data la disequazione cos2 x − 2 cos x + 1 > 0, quale tra le seguenti affermazioni è vera?
(a)
La disequazione ammette esattamente una soluzione.
(b)
L’equazione ammette le soluzioni x = 0 e x = 2π.
(c)
La disequazione non ammette soluzioni.
(d)
La disequazione ammette infinite soluzioni.
(e)
Nessuna delle precedenti.
Spiegazione. Ponendo cos x = t si ha un’equazione di secondo grado che fornisce la disequazione
(cos x − 1)2 > 0, che ha per soluzioni i valori reali di x 6= 2kπ, con k ∈ Z.
Parte 2. Geometria e Algebra – tempo assegnato: 45 min.
11.
12.
13.
Dato il polinomio p(x) = x4 + x3 + x + 1, si dica quale tra le seguenti proprietà è vera:
(a)
p(x) non ha radici reali.
(b)
p(x) non ha radici complesse.
(c)
p(x) ammette solo radici reali.
(d)
p(x) ammette radici reali e complesse.
(e)
p(x) ammette solo radici complesse.
Spiegazione. Per il teorema di Ruffini il polinomio ammette la radice x = −1.
Si consideri un triangolo qualunque. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
(a)
La somma degli angoli interni è 180o .
(b)
La somma delle misure di due lati è sempre maggiore o uguale alla misura del terzo lato.
(c)
Dati due lati e l’angolo compreso è possibile ricavare la misura del terzo lato.
(d)
Dati tre lati sono univocamente determinati i tre angoli.
(e)
Dati due angoli e un lato non è possibile determinare gli altri lati.
(f)
Dati due lati non è possibile ricavare la misura del terzo lato.
Spiegazione. I due lati restanti si possono ricavare col teorema dei seni.
Siano p, q ∈ R5 [x] due polinomi di grado 5, 3 rispettivamente. Si denoti con p/q il quoziente tra i due
polinomi ottenuto mediante la divisione euclidea . Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
(a)
Il grado di p/q è minore o uguale a 3.
(b)
Il grado di p/q è minore o uguale a 2.
(c)
Il grado di p/q può essere uguale ad 1.
(d)
Il grado di p/q può essere uguale a 2.
(e)
Il grado di p/q è maggiore di 0.
Spiegazione. Il termine di grado più elevato del polinomio p/q è ottenuto dal quoziente tra i due
termini di grado più elevato di p, q, rispettivamente, e non può essere nullo.
2–E
14.
Si consideri la parabola f (x) = x2 + 3x − 1. Data un’ellisse del piano, quale tra le seguenti affermazioni è
falsa?
(a)
L’ellisse può intersecare la parabola in quattro punti.
(b)
L’ellisse può intersecare la parabola in tre punti.
(c)
L’ellisse può avere intersezione vuota con la parabola.
(d)
Non esiste un’ellisse tangente alla parabola in due punti.
(e)
Non esiste un’ellisse che interseca la parabola in 5 punti distinti.
Spiegazione. L’ellisse può essere inscritta nella parabola poiché questa ammette punti simmetrici
(rispetto all’asse della parabola stessa) di distanza arbitraria.
15.
L’equazione x3 − k = 0, con k ∈ R, soddisfa una tra le seguenti proprietà.
(a)
Ammette tre soluzioni reali e distinte.
(b)
Ammette un’unica soluzione reale.
(c)
Ammette tre soluzioni reali e coincidenti.
(d)
Non ammette soluzioni.
(e)
Ammette esclusivamente radici complesse (con
√ parte immaginaria diversa da 0).
Spiegazione. L’unica soluzione reale è x = 3 k.
16.
Dato il sistema lineare
si dica
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
ax + by + c = 0,
a′ x + b′ y + c′ = 0,
quale tra le seguenti affermazioni è quella giusta.
Il sistema ammette due sole coppie di soluzioni distinte.
Il sistema non ammette soluzioni se ab′ − ba′ = 0.
Il sistema ammette soluzioni se e solo se ab′ − ba′ = 0.
Il sistema può non ammettere soluzioni se ab′ − ba′ 6= 0.
Il sistema può ammettere soluzioni se ab′ − ba′ = 0.
Spiegazione. Se ab′ − ba′ 6= 0 il sistema ammette sicuramente una coppia di soluzioni. Se ab′ −
ba′ = 0 il sistema può ammettere infinite soluzioni.
17.
Sia dato il polinomio an − bn . Si dica quale tra le seguenti affermazioni è vera.
(a)
Il polinomio non ammette una scomposizione in fattori di grado inferiore ad n.
(b)
Il polinomio ammette la scomposizione an − bn = (a + b)(an−1 − an−2 b + · · · − bn−1 ).
(c)
Il polinomio ammette la scomposizione an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + · · · + bn−1 ).
(d)
Il polinomio ammette una scomposizione in fattori di grado inferiore ad n se e solo se n è pari.
(e)
Nessuna delle precedenti è vera.
Spiegazione. La scomposizione an − bn = (a + b) · · · vale solo per n pari.
18.
Data l’equazione lineare 3x−2y +1 = 0, dire quale tra le seguenti equazioni fornisce, unita alla precedente,
un sistema lineare che ha infinite soluzioni.
(a)
−6x + 4y − 2 = 0.
(b)
x + y − 1 = 0.
(c)
−6x + 4y + 1/2 = 0.
(d)
3x − 3y = 0.
(e)
3x − 2y + 2 = 0.
Spiegazione. L’equazione ha i coefficienti proporzionali a quelli dell’equazione data.
19.
Si consideri la retta y = mx + n. Sotto quali condizioni su a e b la retta ax + by + c = 0 è perpendicolare
alla retta data?
(a)
m = a/b.
(b)
m = b/a.
(c)
m = −b/a.
(d)
m = −a/b.
(e)
m = ab.
Spiegazione. Il coefficiente angolare della seconda retta deve essere reciproco ed opposto al
coefficiente angolare della prima retta.
3–E
20.
Data la retta 4x + 2y − 3 = 0 si dica quale tra le seguenti rette è parallela alla precedente.
(a)
y = −2x
(b)
y = 2x + 4
(c)
y = 1/2x + 3
(d)
y = 1/2x
(e)
Nessuna delle precedenti.
Spiegazione. Il coefficiente angolare deve essere lo stesso.
4–E