04-11-02 - Matematica e Informatica

Corso di Laurea in Matematica
Esame di Matematica 0
04-11-2002
Rispondi ai seguenti quesiti:
a. Esponi quando il numero reale c è radice dell’equazione polinomiale
p(x) = 0, dove p(x)  an x n  an1 x n1  .....  a1 x  a0 .
(2 punti)
b. Definisci le funzioni seno, coseno e tangente trigonometrica di un angolo, e
rappresentale graficamente.
(2 punti)
c. Definisci la funzione logaritmo, rappresentala graficamente ed esponi le
sue proprietà.
(2 punti)
d. Definisci la parabola, l’ellisse e l’iperbole come luoghi geometrici, scrivi le
coordinate dei vertici e dei Fuochi, e le equazioni della direttrice e degli
asintoti.
(2 punti)
Risolvere i seguenti esercizi:
1. Dopo aver individuato l’insieme delle possibili radici dell’equazione
polinomiale associata al seguente polinomio, determina le radici e scomponi in
fattori il polinomio seguente:
x 4  8x 3  23x 2  28x  12.
(3 punti)
2. Stabilire per quali valori del parametro m la seguente equazione di secondo
grado:
m  3x
2
 2(m  3) x  m  5  0
 Ha le due radici reali e positive;
 Ha le due radici reali e negative;
 Ha le due radici reali e discordi.
(4 punti)
(Sugg. Usare la proprietà che date le due soluzioni  1 ed  2 reali
b
c
dell’ equazione di 2° grado ax2  bx  c  0 si ha:  1   2   ed  1 2  )
a
a
3. Trovare le soluzioni reali della seguente disequazione:
4x  1 
x  53x  4.
(2 punti)
4. Trovare le soluzioni reali della seguente disequazione:
| 4  x 2  3x |
 1.
x4
(3 punti)
5. Dopo aver individuato dove è definita, trovare le soluzioni reali della seguente
disequazione logaritmica:
log 0,1 3x  7  log 0,1 2 x  5  2 log 0,1 x  1
(3 punti)
6. Trovare le soluzioni della seguente disequazione goniometrica:
cos 2 x  1  2 cos x.
(2 punti)
7. Determina l’equazione della circonferenza di centro l’origine e raggio uguale a
4 e l’equazione dell’ellisse di centro l’origine, avente un vertice in V(0; 5) e
passante per A(1; 21 ). Trova le equazioni delle rette tangenti alla
circonferenza passanti per il punto B(-6; 0). Indicate con H e K le intersezioni
di tali tangenti con l’asse delle y, determina l’area del triangolo HAK. (5 punti)