Analisi Matematica II Seconda prova in itinere Lecco Febbraio 2006

Analisi Matematica II
Seconda prova in itinere
Lecco Febbraio 2006 - Tema A
1. Disegnare un grafico qualitativo delle soluzioni dei seguenti due problemi di Cauchy
y 0 = x3 log(1 + (y − 2)2 )
.
y(0) = ±4
Si determinino anche le eventuali soluzioni stazionarie dell’equazione.
2.Trovare la soluzione generale dell’equazione differenziale lineare
y 00 − 5y 0 + 4y = 3ex + 2 sin x
3.Trovare la soluzione generale del sistema:
x0 = 5x − 2y
y 0 = −2x + 2y
4. Scrivere il sistema del primo ordine equivalente al seguente problema di Cauchy
y 00 = log(1 + y 4 ) + x2 y − 3y 0
con y(0) = 0 e y 0 (0) = 1. Si discuta l’esistenza e unicitá locale e globale della soluzione.
5. Calcolare
Z Z
(2x + y)2 (x − y) dxdy
E
dove E é il parallelogramma individuato dalle rette 2x + y = 2, 2x + y = 4, x − y = 1 e
x − y = 3.
6. Si calcoli l’area della porzione di iperboloide ad una falda descritta parametricamente
da:
x = cosh s cos t
y = cosh s sin t
z = sinh s
con 0 < t < 2π e 0 < s < 2.
7.Si consideri il campo vettoriale
F(x, y, z) =
1
3
(x2 + y 2 + z 2 ) 2
(xi + yj + zk)
a) Mostrare che é conservativo su R3 − {O} e calcolarne un potenziale.
b) Sia γ una curva non passante
R per l’origine congiungente due punti della sfera di raggio
7 e centro l’origine. Calcolare γ F.
c) Calcolare il flusso di F attraverso l’ellissoide di equazione
y2
x2
x2
+
+
=1
25
4
9
e attraverso la sfera
(x − 5)2 + y 2 + z 2 = 1
8. a) Enunciare i teoremi di esistenza e unicitá in grande e in piccolo per i problemi di
Cauchy del primo ordine.
b)Che cos’é il Wronskiano di tre funzioni regolari sull’intervallo I? Se le tre funzioni sono
soluzioni di una equazione differenziale lineare del terzo ordine, quali sono le conseguenze
dell’annullarsi del Wronskiano in un punto di I?
c) É necessariamente conservativo un campo irrotazionale su R privato della palla unitaria?
E su R privato di una circonferenza? Spiegare brevemente perché.
d) Enunciare il Teorema di Stokes
e) Scrivere la formula di Gauss-Green nel piano precisando le ipotesi che ne assicurano la
validitá.
Analisi Matematica II
Seconda prova in itinere
Lecco Febbraio 2006 - Tema B
1. Disegnare un grafico qualitativo delle soluzioni dei seguenti due problemi di Cauchy
y 0 = x5 log(1 + (y + 3)2 )
.
y(0) = ±4
Si determinino anche le eventuali soluzioni stazionarie dell’equazione.
2.Trovare la soluzione generale dell’equazione differenziale lineare
y 00 + 6y 0 + 5y = e−x + 3 cos x
3.Trovare la soluzione generale del sistema:
x0 = 5x + 3y
y 0 = 3x − 3y
4. Scrivere il sistema del primo ordine equivalente al seguente problema di Cauchy
y 00 = log(1 + (y 0 )4 ) + ex y − xy
con y(0) = 2 e y 0 (0) = 1. Si discuta l’esistenza e unicitá locale e globale della soluzione.
5. Calcolare
Z Z
(x + y)2 (3x − y) dxdy
E
dove E é il parallelogramma individuato dalle rette x + y = 1, x + y = 3, 3x − y = 1 e
3x − y = 2.
6. Si calcoli l’area della porzione di iperboloide ad una falda descritta parametricamente
da:
x = cosh s cos t
y = cosh s sin t
z = sinh s
con 0 < t < 2π e 0 < s < 3.
7.Si consideri il campo vettoriale
F(x, y, z) =
1
3
(x2 + y 2 + z 2 ) 2
(xi + yj + zk)
a) Mostrare che é conservativo su R3 − {O} e calcolarne un potenziale.
b) Sia γ una curva non passante
R per l’origine congiungente due punti della sfera di raggio
5 e centro l’origine. Calcolare γ F.
c) Calcolare il flusso di F attraverso l’ellissoide di equazione
y2
x2
x2
+
+
=1
9
36 25
e attraverso la sfera
(x + 5)2 + y 2 + z 2 = 1
8. a) Enunciare i teoremi di esistenza e unicitá in grande e in piccolo per i problemi di
Cauchy del primo ordine.
b)Che cos’é il Wronskiano di tre funzioni regolari sull’intervallo I? Se le tre funzioni sono
soluzioni di una equazione differenziale lineare del terzo ordine, quali sono le conseguenze
dell’annullarsi del Wronskiano in un punto di I?
c) É necessariamente conservativo un campo irrotazionale su R privato della palla unitaria?
E su R privato di una circonferenza? Spiegare brevemente perché.
d) Enunciare il Teorema di Stokes
e) Scrivere la formula di Gauss-Green nel piano precisando le ipotesi che ne assicurano la
validitá.