Analisi Matematica II-Reggio09-10

Università Mediterranea di Reggio Calabria
Facoltà di Ingegneria
Corso di laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni
Programma di Analisi Matematica II e Calcolo delle Probabilità
1) Integrali multipli (1 CFU)
Concetto di integrale doppio. Interpretazione geometrica. Formule di riduzione per gli integrali doppi.
Volume di un solido di rotazione. Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Coordinate polari.
Integrali tripli. Formule di riduzione per gli integrali tripli. Cambiamento di variabili negli integrali
tripli. Coordinate sferiche.
2) Equazioni differenziali ordinarie (1 CFU)
Definizioni e classificazioni. Il problema di Cauchy. Soluzione generale, soluzione particolare, soluzione
singolare con interpretazione geometrica. Equazioni differenziali lineari. Sistema fondamentale di soluzioni.
Equazioni differenziali lineari omogenee e non omogenee a coefficienti costanti. Equazioni differenziali del primo
ordine a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del primo ordine.
3) Successioni e Serie di funzioni (1,5 CFU)
Successioni di funzioni. Convergenza puntuale ed uniforme di una successione di funzioni. Teorema di continuità
per successioni di funzioni. Passaggio al limite sotto il segno di integrale. Teorema di derivazione per successioni
di funzioni. Serie di funzioni. Convergenza puntuale, convergenza uniforme, convergenza assoluta e convergenza
totale per le serie di funzioni. Serie di potenze nel campo reale. Raggio di convergenza ed intervallo di
convergenza di una serie di potenze. Teorema di Abel per le serie di potenze. Serie di Taylor. Sviluppi in serie di
Taylor di alcune funzioni notevoli. Funzioni periodiche. Integrazione per serie. Serie trigonometriche. Serie di
Fourier – Primo e secondo teorema di Dirichlet.
4) Curve. Forme differenziali. Integrali curvilinei (0,5 CFU)
Definizione di curva regolare. Lunghezza di un arco di curva. Integrali curvilinei e significato geometrico. Ascissa
curvilinea. Parametrizzazione di una curva in ascissa curvilinea. Forme differenziali lineari. Forme differenziali
esatte. Integrale curvilineo di una forma differenziale esatta. Calcolo della funzione potenziale.
5) Funzioni complesse. Trasformata di Laplace (1 CFU)
Funzioni complesse di variabile complessa. Limite di una funzione complessa. Esponenziale complesso.
Logaritmo complesso. Funzioni trigonometriche in campo complesso. Derivabilità di una funzione complessa.
Integrabilità di una funzione complessa. La trasformata di Laplace. Funzioni trasformabili e assolutamente
trasformabili secondo Laplace. Teorema sul semipiano di convergenza della trasformata di Laplace. Proprietà
della trasformata. Le trasformate di Laplace di alcune funzioni elementari.
6) Antitrasformata di Laplace. Trasformata di Fourier (1 CFU)
L’antitrasformata di Laplace. Applicazioni alla risoluzione di problemi di Cauchy. La trasformata di Fourier.
Applicazioni. La trasformata aggiunta di Fourier. Applicazioni.
7) Calcolo delle probabilità (3 CFU)
Spazi di probabilità. Eventi. Assiomi e proprietà degli eventi. Proprietà generali della probabilità. Spazi finiti e
spazi equiprobabili. Probabilità condizionata ed indipendenza. Teorema delle probabilità totali. Probabilità
composta. Teorema di Bayes. Fenomeni casuali. Prove bernoulliane. Variabili aleatorie. Funzione di ripartizione.
Variabili aleatorie discrete. Densità discreta. Esempi di densità discrete notevoli: densità uniforme discreta,
densità binomiale e bernoulliana, densità geometrica, densità di Poisson. Variabili aleatorie continue. Densità.
Esempi di densità continue notevoli: densità uniforme continua, densità esponenziale, densità gaussiana. Funzioni
di variabili aleatorie. Valore atteso. Valore atteso di funzioni di variabili aleatorie. Proprietà del valore atteso.
Varianza e momenti. Proprietà della varianza. Momenti di ordine k. Disuguaglianza di Markov. Disuguaglianza di
Chebyshev. Variabili aleatorie indipendenti. Vettori aleatori. Funzione di ripartizione multidimensionale. Vettori
aleatori discreti. Vettori aleatori continui. Densità. Funzioni di vettori aleatori. Vettori aleatori indipendenti.
Valore atteso di funzioni di vettori aleatori. Varianza e covarianza. Vettori Gaussiani. Teoremi limite per somme di
variabili aleatorie: legge dei grandi numeri, teorema centrale del limite
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M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa – Analisi Matematica II – Zanichelli
N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone – Elementi di Analisi Matematica due – Liguori Editore
P. Marcellini, C. Sbordone – Esercitazioni di Analisi Matematica (volume due), (I e II parte) – Liguori
Editore
Zwirner – Esercizi di Analisi Matematica 2 – CEDAM
G.C. Barozzi – Matematica per l’ingegneria dell’informazione – Zanichelli
M. Codegone – Metodi matematici per l’ingegneria – Zanichelli
G. Teppati – Esercizi svolti di Analisi Matematica 3 – Levrotto & Bella
G. Dall’Aglio – Calcolo delle probabilità – Zanichelli
Il Professore ufficiale
Dott. Filippo Cammaroto