Corso di Analisi Matematica Quarto Modulo, a.a. 2006-2007.
Obiettivi e finalità: Il corso è orientato ad insegnare, nella forma più accessibile, alcune nozioni basilari
dell’analisi matematica. Il corso verte principalmente (i) sui rudimenti dell’analisi differenziale di funzioni
matematiche, che dipendono da due, tre, oppure più variabili spaziali; (ii) sulle più importanti proprietà di integrali
doppi, di integrali curvilinei e di integrali superficiali.
Prerequisiti: Nozioni di algebra, nozioni di geometria analitica del piano e dello spazio, nozioni di topologia; tutte
le nozioni sviluppate nei corsi di Analisi Matematica Uno & Due & Tre.
Tipo del corso: lezioni (tre ore settimanali) ed esercitazioni (due ore settimanali) in aula; tre esercitazioni scritte
in aula, qualche esercitazione in un laboratorio informatico.
Programma:
Teorema di Schwarz sulle derivate seconde di funzioni di due o più variabili. Cenni sulle differenze finite e
sulle applicazioni di queste ad equazioni differenziali.
Funzioni implicite: dimostrazione di un caso semplice del teorema del Dini, cenni su casi più generali del
medesimo teorema, applicazioni a linee e superfici di livello, applicazioni a curve e superfici parametriche.
Estremi vincolati, metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Coordinate curvilinee nel piano euclideo: generalità ed esempi notevoli, determinante Jacobiano di
un’applicazione e suo significato geometrico e topologico, calcolo di un’area mediante coordinate curvilinee, un
teorema sui cambiamenti di variabili in integrali doppi.
Integrali tripli: definizioni e proprietà elementari, alcune formule di riduzione, enunciato di un teorema sui
cambiamenti di variabili. Integrali tripli & coordinate cilindriche & coordinate polari. Generalità sulla nozione
di volume, principio del Cavalieri, volume di un solido di rotazione.
Area di una superficie bidimensionale: definizione mediante triangolazioni opportune, calcolo mediante la
prima forma quadratica e un integrale doppio, area di superfici di rotazione.
Formule di Gauss-Green e teorema della divergenza nello spazio euclideo tridimensionale: enunciati,
applicazioni, dimostrazioni di casi semplici.
Formula di Stokes: trattazione di un caso facile, analogie con altra formule del calcolo integrale, applicazioni
alle forme differenziali lineari in tre variabili, cenni su algebre di forme differenziali.
Libri di testo: T. Apostol, Calcolo, Volume Terzo (Case editrice Boringhieri), J. Stewart, Calcolo, Funzioni di più
variabili (Casa editrice Apogeo).
Modalità di esame: una prova scritta ed una successiva prova orale, da sostenere entrambe nel medesimo appello
(la prima, se fallita, esclude dalla seconda); esercitazioni scritte, che sono valutate durante il corso e possono
esonerare dell’esame scritto.
