Programma svolto - Pietro d`Avenia

Dipartimento di Meccanica, Matematica e Management
Laurea in Ingegneria Gestionale
Programma del corso di Analisi Matematica (II modulo)
Anno Accademico 2015/2016
Dott. Pietro d’Avenia
Integrali definiti [4]
Il metodo di esaustione. Definizioni e notazioni. Proprietà degli integrali definiti. Integrabilità delle funzioni
continue. Il teorema della media.
Integrali definiti [4]
Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive. Formula fondamentale del calcolo integrale. L’integrale
indefinito. Integrazione per decomposizione in somma. Integrazione per sostituzione. Integrazione delle funzioni
razionali. Integrazione per parti. Calcolo di aree di figure piane. Integrali impropri.
Serie [4]
Serie numeriche. Serie a termini non negativi. La serie geometrica. La serie armonica. Criteri di convergenza.
Serie alternate. Criterio dell’integrale. Convergenza assoluta.
Serie di funzioni [2] [3]
Successioni di funzioni. Serie di funzioni e convergenza totale. Serie di potenze. Serie di Taylor.
Funzioni di due o più variabili reali [3]
Lo spazio vettoriale Rn . Elementi di topologia in Rn . Limiti e continuità. Derivate parziali. Derivate successive. Il
teorema di Schwarz. Gradiente. Differenziabilità. Funzioni composte. Derivate direzionali. Funzioni con gradiente
nullo in un connesso. Formula di Taylor. Massimi e minimi relativi.
Equazioni differenziali [3]
Introduzione alle equazioni differenziali e al problema di Cauchy. Esistenza ed unicità locale e globale per il
problema di Cauchy. Proprietà generali delle equazioni differenziali lineari. Equazioni differenziali lineari del
primo ordine. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee. Equazioni differenziali lineari del
secondo ordine non omogenee. Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili.
Integrali doppi [3]
Integrali su domini normali. Formule di riduzione per gli integrali doppi. Cambiamento di variabili negli integrali
doppi.
Elenco dei teoremi dimostrati
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Teorema della media.
Teorema fondamentale del calcolo integrale.
Caratterizzazione delle primitive di una funzione in un intervallo.
Formula fondamentale del calcolo integrale.
Condizione necessaria per la convergenza di una serie.
Criterio del confronto.
Criterio degli infinitesimi.
Criterio del rapporto.
Criterio della radice.
Rapporto tra convergenza puntuale e convergenza totale.
Raggio di convergenza delle serie di potenze (radice).
Raggio di convergenza delle serie di potenze (rapporto).
Sviluppabilità in serie di Taylor.
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Disuguaglianza di Schwarz.
Rapporto tra continuità e differenziabilità.
Derivata direzionale di una funzione differenziabile.
Interpretazione geometrica del vettore gradiente.
Funzioni con gradiente nullo.
Formula di Taylor al secondo ordine con il resto di Lagrange.
Condizione necessaria del primo ordine (Teorema di Fermat).
Insieme delle soluzioni di un’ equazione differenziale lineare.
Principio di sovrapposizione.
Testi di riferimento
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli.
M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli.
N. Fusco. P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica due, Liguori Editore.
P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica uno, Liguori Editore.
P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, volume 1, pp. 1 e 2, Liguori Editore.
P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, volume 2, pp. 1 e 2, Liguori Editore.