I(z)

Equazioni di Maxwell
D  
B  0
B
E  
t
D
H  J 
t
Relazioni costitutive del mezzo:
B  H
J    E
D  E
(mezzi conduttivi )
Condizioni al contorno
Tra due mezzi generici (1,1, 2,2):
–
–
–
–
Si conserva la componente tangenziale di E
Si conserva la componente normale di B
La discontinuità di D coincide con la densità di carica
sulla superficie di separazione dei mezzi
La discontinuità di H coincide con la densità di
corrente sulla superficie di separazione dei mezzi
Alla superficie di un conduttore perfetto:
Et  0, Bn  0,
Ht  J s ,
Dn   s
Equazioni di Helmotz
 E   Ε  0,
2
2
0
0 
 H  H  0
2
2
0
j   j 
Soluzione generale (funzioni d’onda):
f  A0 e  ( x , y , z )  jt
 ( x , y , z )  ( x , y , z )  j  ( x , y , z )
x,y,z = cost  Superfici equi-ampiezza
x,y,z = cost  Superfici equi-fase
Onde piane
Superfici equifase = piani normali alla direzione di propagazione
   z  j z   z
f  A0 ( x, y )  e  z  jt  A0 e  z e  j  z  jt
Velocità di propagazione delle superfici equifase:


dz 
1
  dz   dt  0 
  vf
per   0 
 

dt 



Dalle equazioni di Maxwell si ottiene che E ed H sono ortogonali tra
loro e giacciono sul piano normale alla direzione di propagazione. Si
definisce impedenza d’onda il rapporto tra le ampiezza di E ed H:
E
j


H

 j 
j

 Z0
j   j 
  j
2

 



per  =0 


Onde piane guidate
• Imponendo opportune condizione al contorno si possono guidare
onde piane in una specifica direzione
• La soluzione delle equazione di Helmotz è costituita da un
insieme infinito di funzioni d’onda.
• E’ possibile individuare una base per tali soluzioni tale che
qualsiasi configurazione dei campi può essere espressa come
combinazione lineare delle funzioni della base (insieme
completo).
• Le funzioni della base sono dette modi. Ogni modo è
caratterizzato da specifici parametri propagativi (velocità,
impedenza d’onda, ecc)
Teorema di Poynting
1
S  Ε  H* Vettore di Poynting
2
Φ   S  nˆ d   Pdiss +2 j WH  WE   superficie chiusa

S
S

icie
f
r
e
up
alli
met
S
ca
L

Guida senza perdite
 t  1   2   L
Φt  Φ1  Φ 2  Φ L  0  Φ1  Φ 2
Re Φ1  Re Φ 2  Potenza in transito nella sezione
Soluzione delle equazioni di H.
per guide d’onda metalliche
Si ottiene dalle equazioni di Helmotz con le condizioni al
contorno imposte dalla struttura guidante.
 2 E   02 Ε  0,
0 
 2 H   02 H  0
j   j 
Espressione della generica componente dei campi E ed H:
f  T ( x, y )   ( z )
Quindi:
z direzione di propagazione
2
2

T
T


2
2
 (T  )   0 (T  )    2  2
y
 x

2
2
T




0 (T  )  0
2
z

1   2T  2T
 2  2
T  x
y
  2T  2T
 2  2
y
 x
 1 2
2




0
2
z



2
2



z 2

2
k
T




con:
 k 2   2   02
 2 ( z )
 z
 z
2



(
z
)



(
z
)

A
e

A
e
1
2
z 2
  2T ( x, y )  2T ( x, y ) 
2



k
T ( x, y )


2
2
y
 x

 Equazione agli autovalori
La funzione T(x,y), detta autofunzione, e la costante k
(autovalore) dipendono dalle condizioni al contorno e
definiscono i possibili modi della guida (duplice infinità). La
costante di propagazione  risulta, in assenza di perdite (
=jk reale e positivo) :
2
   02  k 2  j  0
c 
k

 k 
c2
k2 1
1     j0 1 
 j0 1  2
2
 

 0 
 Pulsazione di taglio
Modo dominante =
modo con c più bassa
Componenti indipendenti dei campi
Le sei componenti di E e H non sono tutte indipendenti poichè
devono essere soddisfatte le equazioni di Maxwell. Si ha infatti:
k 2 Et   jt* H z  t Ez
k 2 H t    j  t* Ez  t H z


t  xˆ  yˆ
x
x


t*  xˆ  yˆ
y
x
E’ quindi necessario risolvere le equazioni di Helmotz solo
per le 2 componenti Ez ed Hz
Le condizioni al contorno richiedono che i valori di Ez ed Hz
siano soddisfatti sul contorno della guida
Condizioni al contorno
Essendo il contorno conduttore le condizioni che si devono
applicare sono:
Campo Elettrico normale sul contorno  E  nˆ  0  Ez  0
H z
Campo Magnetico tangente sul contorno  H  nˆ  0 
0
n
Essendo le due condizioni indipendenti tra loro esistono due
insiemi di soluzioni che definiscono tutti i possibili modi della
guida:
Et    j k 2  t* H z

Modi TE: Ez0

2
(Hz/ n =0 sul contorno)

k
H



 t H z
 t
Modi TM:
Hz0
(Ez=0 sul contorno)
Et     k 2   t E z ,


2
H t    j  k  t* Ez
Parametri caratteristici dei modi
c2
Costante di fase    0 1  2

Velocità di fase v f 
f

vf



0
Lunghezza d'onda
g 
Impedenza d'onda (modi TE)
Zw 
Impedenza d'onda (modi TM)
Et
c2
j

 Z0 1  2
Zw 

Ht
j
c2
1 2

Et
j


Ht
j
Z0
c2
1 2

c
c2
1 2

Guida d’onda rettangolare
y
Soluzione dell’equazione agli autovalori
mediante separazione delle variabili:
b
a
H z  A  T ( x, y )  A  Tx ( x)Ty ( y )
Modi TE
Ez  B  T ( x, y )  B  Tx ( x)Ty ( y )
Modi TM
x
2
2
  2Tx
 2Ty 

Ty

T
1
1
2
2
x
T

T


k
T
T




k
 y 2
x
x y
2 
2
2


x

y
T

x
T

y
x
y


1  2Tx
2
k


x,
2
Tx x
2
1  Ty
2
2
2
2
k
k
k
k




,
y
x
y
Ty y 2
Tx  A 'sin  k x x   B 'cos  k x x  , Ty  A sin  k y y   B cos  k y y 
Modi TE
Per le condizioni al contorno si deve avere:
 TxTy 
Tx
H z
0
0 
n
n
x
Ty
y
y 0
y b
x 0
xa
m
 0  A '  0, k x 
a
y
n
 0  A  0, k y 
b
b
a
2
 m   n 
kmn  
 

 a   b 
2
 m
H z  A cos 
 a
2
c ,mn
 m   n 
c 
 

a

  b 

 n 
y
x   cos 

 b 
2
x
Modi TM
In questo caso la condizione al contorno da applicare è Ez=0. In
modo analogo al precedente si ricava:
2
kmn
 m   n 
 
 

 a   b 
2
 m
Ez  B sin 
 a
2
c ,mn
 m   n 
c 
 

 a   b 
2

 n 
x   sin 
y

 b 
NOTA: I modi TE e TM sono degeneri (hanno la stessa
frequenza di taglio). Inoltre non esistono modi TM com m o n
pari a 0 (il campo sarebbe identicamente nullo ovunque).
Modi dominante della guida rettangolare
La frequenza di taglio più bassa (assumendo a>b) si ottiene per
m=1 ed n=0, quindi il modo dominante risulta il TE10
Parametri caratteristici del modo TE10:
c
c ,TE10  , c ,TE10  2a
a
 m
H z  H 0 cos 
 a
a
a

x 
x 
,
sin


x  , E y  H 0 j  sin 
H
H
j

x
0






 a 
 a 


Rs 
1b
J  
2
Z0 
 fc 
 1  
 f 



2
 2b  f   
1   c   
a  f   



Spettro dei modi
TE10
TE01 TE20 TE02 TE
11
TM11
Frequenze
di taglio
La fc del TE10 dipende solo da a. Come scegliere b ?
1. Massimizzare la banda di propagazione monomodale:
b ≤ a/2  fc,TE012fcTE10 , fc,TE20=2fcTE10
2. Minimizzare l’attenuazione  (cresce al diminuire di b)
Scelta ottima: b=a/2
Guida d’onda circolare


a
H z  H 0 J m  kmn    cos  m 
Modi TE
Ez  E0 J m  kmn    cos  m 
Modi TM
Condizioni al contorno:
J m  kmn a   0
J m  kmn a   0
Modi TM
Modi TE
Coordinate
polari
Modo dominante: TE11
J1  ka   0
 primo zero di J1( x)  k11 =
1.8412
a
Banda monomodale: = (c/a)(1.8412 2.405)
Soluzione delle equazioni di H. con
Hz=0 e Ez=0 (Modi TEM)
Imponendo che entrambe le componenti longitudinali di E e
H siano nulli, le equazioni di Helmotz diventano:
 Et  0,
2
t
 Ht  0
2
t
Il campo trasverso è quindi soluzione dell’equazione di Laplace
(stessa del campo statico).
Ciò significa che si possono definire un potenziale elettrico  e
un potenziale magnetico  (definiti univocamente), il cui
gradiente coincide con i rispettivi campi: Et=-grad( ), Ht=grad().
La soluzione in oggetto è un onda piana guidata dalla linea che
viene definita modo TEM (transverse electric magnetic)
Proprietà dei modi TEM
 Sono necessari almeno due conduttori distinti nella struttura
guidante. Il mezzo tra i conduttori deve essere omogeneo
 Il rapporto tra Et e Ht è una costante pari all’impedenza
intrinseca del mezzo: ZW=Et/Ht=377/√εr
 E’ possibile definire univocamente una differenza di
potenzale V(z) e una corrente I(z) associati ai conduttori
 V(z) e I(z) sono gli stessi che si ottengono dalla soluzione
dell’equazione del telegrafo (linee convenzionali = linee
TEM)
 Le curve a  =cost coincidano con le linee di forza del
campo elettrico; le curve a =cost coincidano con le linee di
forza del campo magnetico.
 Le superfici dei conduttori di contorno coincidono con delle
linee a =cost
Classificazione delle linee di trasmissione
 Linee TEM (Transverse Electric
Magnetic)
• Coassiale
• Stripline
Linee quasi_TEM
•Microstrip
•Suspended Stripline
•Inverted Stripline
 Linee non-TEM
• Guida d’onda rettangolare
• Guida d’onda circolare
• Fin-line
•Linee Coplanari
Linee TEM
•
Sono strutture costituite da due conduttori distinti (cioé tra cui si puó
applicare una differenza di potenziale), circondati da un mezzo omogeneo
•
Il Campo Elettrico e Magnetico dell’onda che si propaga sono ortogonali in
tutti i punti della sezione trasversale, cioé non hanno componenti nella
direzione longitudinale (quella di propagazione
•
Una linea TEM é caratterizzata da:
– Impedenza Caratteristica costante
– Velocitá di propagazione proporzionale alla velocitá della luce secondo
la relazione:
c
v 
r
dove r é la costante dielettrica relativa del mezzo.
Linee non-TEM
• Sono strutture costituite da un unico conduttore cilindrico cavo, di sezione
arbitraria, che prende generalmente il nome di guida d’onda
• Il campo elettromagnetico di un onda in una linea non-TEM puó assumere
particolari configurazioni dette modi. I modi sono caratterizzati da una
frequenza minima, detta frequenza di taglio, al di sotto della quale non
possono propagarsi. Il modo con la frequenza di taglio piú bassa di una data
guida d’onda é detto modo dominante della guida ed é quello piú
comunemente utilizzato nella pratica
• I modi nelle linee non-TEM si suddividono (generalmente) in:
• Modi TE (solo il campo elettrico non ha componenti nella direzione di
propagazione dell’onda)
• Modi TM (solo il campo magnetico non ha componenti nella direzione di
propagazione dell’onda)
Linee non-TEM (cont.)
• Nelle linee non-TEM non si possono definire in modo univoco tensione e
corrente (e di conseguenza neanche l’impedenza). E’ comunque sempre
univoca la potenza trasportata dall’onda
• Lo studio delle linee non-TEM viene effettuato facendo ricorso al
coefficiente di riflessione e alle impedenze normalizzate; l’impedenza
caratteristica si assume quindi unitaria, mentre la velocitá di propagazione
risulta dipendere dal modo che si propaga.
Linee quasi-TEM
• In questa categoria ricadono linee costituite da due conduttori, che
sono peró circondati da un mezzo non omogeneo
• La configurazione del campo elettromagnetico non é perfettamente
trasversa rispetto alla direzione di propagazione, anche se il modo
dominante (detto in questo caso principale) ha frequenza di taglio
uguale a zero (cioé si puó sempre propagare)
• Lo studio rigoroso di queste linee é molto complesso; puó essere
semplificato mediante un modello che le rappresenta come linee
TEM equivalenti, in cui peró l’impedenza caratteristica e la velocitá di
propagazione dipendono opportunamente dalla frequenza.
Attenuazione nelle linee
Andamento della potenza in una linea adattata con perdite:
1 v z
P( z ) 
2
Zc

2
 2
0
1 v

e 2 z
2 Zc
La potenza perduta per unità di lunghezza risulta quindi:
 v 2

P
1
0


z
2
   2 P  z    Pdiss
  2 
e
 2 Zc

z


Definizione di attenuazione:
 
Pdiss
Potenza dissipata p.u.l

2P
Potenza trasportata
Cause di attenuazione nelle linee
Due sono le sorgenti di attenuazione nelle linee di trasmissione:
• attenuazione J dovuta alle perdite nei conduttori
• attenuazione D dovuta alle perdite nel dielettrico
• Attenuazione totale :
 J D
Attenuazione J
• É causata dalla conducibiltá finita del materiale conduttore utilizzato. Nelle
linee TEM varia secondo la radice quadrata della frequenza (effetto pelle).
Negli altri tipi di linea la legge di variazione é piú complicata
• La conducibiltá effettiva del materiale é influenzata dalla sua rugositá
superficiale, che viene a sua volta dipendere dal processo di lavorazione
meccanica. In un conduttore non trattato opportunamente, la conducibilitá puó
anche dimezzarsi rispetto al suo valore teorico
Cause di attenuazione (cont.)
Attenuazione D
•
É determinata dalla non perfetto isolamento del materiale dielettrico
che costituisce il mezzo in cui sono immersi i conduttori.
•
Il parametro che caratterizza il dielettrico dal punto di vista delle perdite
é il tan (vale zero nel caso ideale di assenza di perdite)
•
Il tan presenta una variazione con la frequenza che dipende dal
materiale. Generalmente é trascurabile se l’intervallo di frequenza
considerato é piccolo (< di un ottava).
•
Espressione di D in funzione di tan:

tan 
0
 tan 
d 
0
f c2
d 
1
f
2
( Linee TEM )
( Linee non  TEM )
Parametri caratteristici delle linee TEM
Definizione generale dell’impedenza caratteristica di una linea TEM:
P2
V
Zc 

I
 E  dl
  2  1 cost
 Zw
  2  1 cost
 H t ds
t
P1
 Z w  Fz
Zw 
377
r

cont .
(x,y) e (x,y) rappresentano le linee a potenziale elettrico () e magnetico
() costante in corrispondenza al contorno dei conduttori che costituiscono la
linea. Si noti che la direzione di Et è tangente alle curve =cost, mentre
quella di Ht è tangente alle curve =cost. Le superfici dei conduttori di
contorno coincidono con due linee a =cost.
Nelle linee reali le curve a =cost sono chiuse. 2 e 1 sono quindi calcolati
nello stesso punto, che rappresenta l’inizio e la fine della circuitazione.
Attenuazione di una linea TEM:
Rs
1 Fz
J 
FJ , FJ 
Fz n
2Z w
NOTA: la direzione n rapprenta quella della normale ENTRANTE nella superficie
Linea coassiale
 (r ,  )  K  ln(r )
 (r ,  )  K  
 r2 
ln  
r1 
 2  1


Fz 
2
1   2
1 Fz
1  Fz Fz 
2  1 r2  1 r1  1 r2  1 r1
 

FJ 



Fz n Fz  r2 r1 
 r2   2 
 r2 
ln  
ln  
 r1 
 r1 
Dimensionamento Linea coassiale
Assegnato Zc:

Z 
Z 
r2

 exp  2 c   exp  2  r c 
r1
Z0 
377 


Zc=50  per r2/r1  2.3 in aria
Condizione di propagazione monomodale fino a fmax:
f max 
r2 r1
v
v
 r2 
  r2  r1 
 f max 1  r2 r1
Attenuazione minima fissato il raggio esterno:
FJ
1

1  r2 r1

0 
  r2 r1  r2   r2 r1   r2 
ln  
 r1 
Attenuazione minima fissato fmax:
FJ 
1 r2  1 r1
ln  r2 r1 
r2
 3.6 ( Z c  76 in aria)
r1
FJ
r
2  r2 r1  r1 r2

1

 0  2  4.45 ( Z c  97 in aria)
  r2 r1  r1  r2   r2 r1  ln  r2 r1 
r1
Altre linee TEM
Linea a striscie parallele
Slabline
Linea Stripline
Linea bifilare
q1 (a>>t)
Linee quasi-TEM
Le linee quasi-TEM sono tipicamente costituite da strutture TEM riempite
con mezzi non omogenei. Ciò comporta che il campo elettromagnetico non è
perfettamente trasverso. In questo caso, a rigore, non sono più definibili in
modo univoco la tensione e la corrente sulla linea (si conserva solo la
potenza). Nella pratica si introduce l’approssimazione quasi-TEM: vale
ancora la descrizione in termini di V e I, assumendo un mezzo omogeneo
equivalente, caratterizzato da una costante dielettrica efficace r,eff,
definita come:
 r ,eff  Cm C0
Cm: Capacità p.u.l. della struttura non omogenea
C0: Capacità p.u.l. della struttura in aria (r=1)
Si noti che r,eff risulta in generale funzione della frequenza. Zc e vf sono
quindi anch’essi funzioni di f e risultano:
Zc 
377
 r ,eff
Fz ,
vf 
c
 r ,eff
Microstrip
La linea quasi-TEM più importante nelle applicazioni pratiche è la
microstrip. Si realizza mediante deposizione di uno strato metallico su
materiale dielettrico che funge da supporto. Appartiene alla famiglia
delle strutture planari
Strato dielettrico
t
Strato metallico
r
w
h
• h spessore del substrato
• w larghezza della strip
• r costante dielettrica relativa del substrato
• t spessore della metallizzazione
Formule per analisi di Microstriscie
Caso quasi-statico con spessore t=0:
60
 r , eff
ln(8 h w  0.25 w h )
w h 1
Zc 
120
 r , eff
con:
1.393  w h  0.667 ln  w h  1.444  
 r , eff 
r  1
2

r  1
2 1  10 h w
,
 
1
300
 eff
w h 1
cm sec
Caso generale:
E’ possibile tenere conto dello spessore finito t della metallizzazione
sostituendo al parametro w una “larghezza efficace” we data da:
w 1.25  t 
 4 w
1
ln



h
 h 
 t



w h  0.159
we h 
w 1.25  t 
 2h
1
ln



h
 h 
 t



w h  0.159
Per introdurre la variazione con la frequenza in r,eff si può utilizzare la
seguente formula:
 r ,eff  f GHz    r 
 r   r ,eff  0 
1   hmm Z c 
1.33
 0.43 f
2
GHz
3
 0.009 f GHz

Calcolo di Zc con procedure CAD
Attenuazione della microstriscia
Espressioni accurate per l’attenuazione di queste linee sono difficili da
ottenere. In linea di massima si può osservare che:
 Per linee spesse rispetto allo spessore pelle esistono espressioni
abbastanza accurate, relativamente semplici
 Per linee sottili tali formule non sono più valide e tendono a
sovrastimare le perdite
 L’attenuazione è molto influenzata dalla rugosità superficiale della
metallizazione
 In generale il contributo del dielettrico all’attenuazione è trascurabile
(per tan < 10-3)