Lezione 16 bis

Lezione Sedici-bis
Cavi coassiali e le onde TEM
Qualche considerazione in più sulle
onde TEM



Abbiamo introdotto le onde TEM nel contesto delle linee
Possiamo trarre qualche conclusione in più direttamente
dalle equazioni di Maxwell?
Sicuramente sì, ed in modo semplice: se esplicitiamo le
equazioni del rotore al caso particolare di Ez=Hz=0 (TEM)
otteniamo
H
  E  
t
E y
H x

z
t
H y
E x
 
z
t
E
H  
t
H y
E x
 
z
t
E y
H x

z
t
Qualche considerazione in più sulle onde TEM

E da queste, derivando rispetto a z l’equazione in Ex in z e
l’espressione con Hy nel tempo, si riottiene l’equazione
d’onda monodimensionale in Ex
 2 Ex
z

2
 
 2 Ex
t 2
Analoga a quella che incontrammo per le onde piane,
come potevamo aspettarci, e che descrive un’onda che si
propaga con velocità di fase pari a quella della luce nel
mezzo considerato, cioè

In termini di costante di propagazione b,
1
v
quindi, come abbiamo già visto nella lezione

16, essa è la stessa della luce o di un’onda
piana: bk
Equazione d’onda per strutture guidanti

Più in generale, avevamo scritto nel dominio dei fasori
l’equazione d’onda (o di Helmholtz) [lezione 14]
 Ek E  0
2

2
Ci chiediamo a questo punto che caratteristiche possano
avere alcune particolari soluzioni, che abbiano dipendenza
da una coordinata, diciamo z, del tipo che abbiamo
incontrato nell’equazione dei telegrafisti, cioè
Ex, y, z   Ex, y e  jbz

Che sappiamo descrivere un’onda che si propaga in z con
costante di propagazione b. Sostituendo all’equazione d’onda,
ci conviene isolare nell’operatore laplaciano la derivata in z,
cioè scrivere
2
2
2 
2




 2  2  2  2  t 2  2
x
y
z
z
Equazione d’onda per strutture guidanti



Il primo termine, che opera solo sulle coordinate x,y,
trasversali rispetto alla direzione di propagazione z, lo
chiamiamo brevemente laplaciano trasverso
D’altro canto la doppia derivazione in z, con la dipendenza
esponenziale che abbiamo assunto, diventa solo una
moltiplicazione per -b2 (meraviglie degli esponenziali!)
L’equazione d’onda diventa in tal caso


t 2E  k 2  b 2 E  0

Che definiremo equazione d’onda per onde guidate, dove introducendo il
termine “onda guidata” intendiamo ricordare che c’è una direzione
privilegiata (in questo caso z) rispetto alla quale avviene la propagazione.
Tale direzione privilegiata può esistere proprio per la presenza di una
struttura guidante, come una linea, che vincola la propagazione alla forma
della linea stessa
Equazione d’onda per strutture guidanti: il caso
TEM?


Abbiamo del resto appena detto che nel caso particolare
TEM
2
2
k
b
 0
Per cui in tale caso specifico l’equazione diventa
t E  0
2

A tutti gli effetti, una coppia di equazioni di Laplace. Le onde
TEM hanno quindi la particolarità di avere distribuzioni di
campo nei piani trasversali (sia la componente elettrica che
magnetica: analoga equazione di otterrebbe per H), del tutto
simili alle distribuzioni di campo elettrostatico e
magnetostatico nella stessa struttura, con la differenza
fondamentale che si propagano in z con costante k
Il cavo coassiale



Il cavo coassiale è un caso particolare in cui tale proprietà
è evidente
Vedemmo nella lezione 2 che per un cavo coassiale che
abbia distribuzione lineare di carica con densità l, il campo
elettrico era tutto radiale e pari a
l
Er 
2r
Mentre alla fine della 4a lezione calcolammo la differenza
di potenziale tra l’elettrodo centrale e la calza nelle stesse
condizioni
 
Re
l
V
ln  
2  Ri 

Per cui potremmo scrivere
Er 
V
 Re
r ln 
 Ri



Il cavo coassiale




Nel caso dinamico ma TEM, tutto resta immutato, tranne il
fatto che ora la differenza di potenziale ha senso solo in
piani trasversali alla direzione di propagazione, cioè
V=V(z):
V z 
E r r , z  
 Re 
r ln  
 Ri 
In cui sappiamo che la dipendenza da z è del tipo
e  jbz
Ovvero che per V(z) vale tutto ciò che sappiamo dalle
equazioni del telegrafista
V z   V  e  jbz  V  e jbz
Del resto il cavo coassiale è l’esempio più immediato di
linea di trasmissione
Il cavo coassiale

Per il campo magnetico valgono le stesse considerazioni:
il campo magnetostatico è fondamentalmente quello della
legge di Biot-Savart, come ribadito nella lezione 10
I 
H
u
2r

Nel caso dinamico ma TEM, tutto resta immutato, tranne il
fatto che ora I=I(z):
I ( z) 
H r , z  
u
2r


V   jbz V  jbz
I z  
e

e
Z0
Z0
E Zo era stato calcolato nella lezione 15
Dove sappiamo che
1
Z0 
2
  Re 
ln  
  Ri 
L’adattatore in quarto d’onda




Uno dei problemi da affrontare nella progettazione di
circuiti a radiofrequenza ed antenne, è quello di ridurre la
potenza riflessa al carico, cioè di ottenere un coefficiente
di riflessione quanto più piccolo possibile
Reti che agiscono in tal senso si dicono adattori
Un adattatore deve fondamentalmente trasformare
l’impedenza di un carico e renderla uguale all’impedenza
della linea che lo precede
L’adattatore in quarto d’onda è concettualmente uno dei
più semplici: vedemmo che nella lezione 15, che un tratto
di linea con impedenza caratteristica Zox, lungo l/4,
trasforma un carico RL nell’impedenza
Z0x 2
Z in 
RL
L’adattatore in quarto d’onda




Allora si può pensare di usare tale circuito come rete
adattatrice, in cui il parametro di progetto è l’impedenza
caratteristica dell’adattatore
Se vogliamo che al suo ingresso presenti un’impedenza
pari a Zo, impedenza caratteristica della linea cui vogliamo
adattare, avremo
Z0x2
Z0 
RL
Da cui
Z 0 x  Z 0 RL
Cioè, basta scegliere l’impedenza caratteristica della rete
pari alla media geometrica tra l’impedenza di carico e
quella della linea cui vogliamo adattare il carico
l/4
L’adattatore in quarto d’onda
Zo, b
Zo, b
RL

adattatore
Zox, bx
RL
Ci sono ovviamente alcuni inconvenienti:
 l’adattamento dipende da l, e quindi dalla frequenza: è a “banda
stretta”
 Non in tutti i tipi di linea è possibile scegliere le impedenze
caratteristiche a piacere: è possibile solo nelle linee stampate, non
nei coassiali
 L’impedenza caratteristica deve essere reale, quindi RL reale; se
non lo è si può ricorrere ad un trucco: aggiungere un pezzetto di
linea tra il carico e l’adattatore, che renda il carico reale; del resto
sappiamo (e lo vedremo alla lezione 18) che in alcuni punti della
linea l’impedenza è massima e reale, e pari al ROSxZo