ESERCIZI
1) Un’urna contiene 7 palline numerate da 1 a 7. Si estrae una prima pallina, si registra il numero
che riporta e successivamente si estrae, senza reimmissione e registrando il risultato della prova,
una seconda pallina. Si calcolino le probabilità dei seguenti eventi:
i) le due palline sono entrambe pari;
ii) le due palline sono entrambe dispari;
iii) la seconda pallina è pari.
2) Presso il check-in di un aeroporto sono in fila in attesa di imbarcarsi 40 persone delle quali 15 in
partenza per motivi di vacanza e 25 per motivi di lavoro. Supponendo una distribuzione casuale
degli individui all’interno della fila, determinare la probabilità che la seconda persona presente
in essa stia recandosi in vacanza sotto le seguenti ipotesi:
a) la prima persona in coda parte per motivi di lavoro;
b) la prima persona in coda si reca in vacanza;
c) non si hanno informazioni sulla prima persona della fila.
3) Un'azienda produce occhiali utilizzando tre diversi macchinari. Il primo macchinario produce
mediamente un paio di occhiali difettosi ogni 100, il secondo ogni 200, il terzo ogni 300. Gli
occhiali vengono imballati in scatole identiche, contenenti 100 paia. Ogni scatola contiene
occhiali scelti a caso tra quelli prodotti da una sola delle tre macchine. Si supponga che il primo
macchinario abbia una produzione doppia rispetto agli altri due, cioè una scatola scelta a caso ha
probabilità 1/2 di essere prodotta dal primo macchinario, 1/4 dal secondo e 1/4 dal terzo. Un
ottico riceve una di queste scatole.
1. Qual è la probabilità che trovi almeno un paio di occhiali difettoso?
2. Se l'ottico trova esattamente due paia difettose, qual è la probabilità che gli occhiali siano
stati prodotti dal primo macchinario?
4) Un’urna contiene 200 dadi di cui 50 sono truccati in modo tale che la probabilità che esca la
faccia contrassegnata con il 6 è pari ad 1/3 mentre la probabilità di ottenere ogni altro risultato è
2/15. Si estrae un dado a caso dall’urna e lo si lancia. Indicando con X il risultato del lancio, si
costruisca la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria X e se ne calcoli il valore atteso
E(X).
5) Tra 100 dadi di cui 50 regolari e 50 truccati (in modo tale che P(6)= 1/2 e P(i)=i/10, i≠6) si
sceglie a caso un dado e si effettuano 2 lanci nei quali il 6 appare entrambe le volte. Calcolare la
probabilità che il dato estratto sia truccato.
6) Il 46% degli elettori di un comune si ritiene di centro, il 30% di sinistra e il 24% di destra. Alle
ultime elezioni sono andati a votare il 35% degli elettori di centro, il 62% di quelli di sinistra e il
58% di quelli di destra. Un elettore è scelto a caso. Sapendo che l'elettore ha votato alle ultime
elezioni, qual è la probabilità che si tratti di un elettore:
1. del centro;
2. di sinistra;
3. di destra.
4. Quale percentuale di elettori ha partecipato alla scorsa elezione?
7) Determinare il valor medio e lo scarto quadratico medio della variabile casuale che assume i
valori 0, 1, 2, 4, rispettivamente con probabilità 1/2, 1/6, 1/4, y.
8) Una variabile casuale X assume i soli valori 4, x, 2, rispettivamente con probabilità 1/2, 1/3, 1/6.
Determinare il valore di x sapendo che σX = 5.
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9) In un torneo di tennis due giocatori (A e B) disputano un incontro di qualificazione per la finale
sulla lunghezza di tre partite. Ciò significa che per vincere l'incontro e per passare il turno è
necessario vincere due delle tre partite. Il giocatore A ha probabilità p di vincere ciascuna delle
prime due partite, indipendentemente l'una dall'altra; se però l'incontro si prolunga alla terza
partita, la sua probabilità di vincerla passa a p1.
Calcolare:
i) la probabilità che vinca A;
ii) la probabilità che si arrivi alla terza partita;
iii) la probabilità che A vinca la terza partita;
iv) la probabilità che l'incontro duri tre partite, dato che vince A.
10) Per un campione di 15 automobilisti viene rilevata la velocità in un certo tratto di strada. La
media aritmetica delle velocità su quel tratto di strada risulta di 95 chilometri l'ora, con una
deviazione standard (campionaria) di 7 km orari. Costruire, nell'ipotesi di normalità della
distribuzione della popolazione da cui è estratto il campione, un intervallo di confidenza al 95%
per la velocità media delle auto che percorrono quel tratto.
11) È data una popolazione distribuita in modo normale con media μ incognita e varianza σ2 = 9. Si
vuole costruire un intervallo di confidenza al livello del 95% per μ , sulla base di un campione
bernoulliano di ampiezza n estratto dalla popolazione. Se si valuta in 100 euro il costo di ogni
estrazione e in 1000 euro il costo di ogni unità di ampiezza dell'intervallo:
a) si fornisca l'espressione del costo complessivo in funzione di n
b) si stabilisca per quali valori di n l'ampiezza dell'intervallo non supera 2.
12) Il valore X di una affrancatura è stato registrato per un campione casuale di 350 pacchi spediti
da un dato ufficio postale in un determinato giorno della settimana. La media e lo scarto
quadratico medio corretto erano x = 6.15 e s=3.96 (dati espressi in migliaia di lire). Scopo
dell'indagine campionaria era quello di determinare una stima intervallare per μ , l'affrancatura
media di tutti i pacchi postali spediti nel giorno considerato dall'ufficio selezionato. Pertanto
i) si stimi lo scarto quadratico medio σx della distribuzione campinaria di X;
ii) si calcolino i limiti di confidenza x ± 2 sx . Quale livello di confidenza è associato a questi
limiti?
iii) Si costruisca un intervallo di confidenza per μ al 90%.
13) Si supponga che la variabile aleatoria X abbia distribuzione normale con valore atteso μ e
varianza σ2 = 16. Determinare la numerosità n del campione affinchè l'ampiezza dell'intervalo di
confidenza per μ a livello 0.95 sia uguale ad 1.
14) Un prigioniero è rinchiuso in una cella con tre porte. La porta A conduce ad un tunnel che lo
riporta nella cella dopo due giorni di lavoro; la porta B conduce ad un tunnel che lo riporta nella
cella dopo tre giorni di lavoro; la porta C lo rende libero. Il prigioniero sceglie la porta da
utilizzare, lanciando un dado, nel seguente modo:
- se il risultato è dispari sceglie la porta A;
- se il risultato è 2 sceglie la porta B;
- negli altri casi sceglie la porta C.
Se il prigioniero ritorna in cella, sceglie la porta tra le due non ancora aperte in modo
equiprobabile.
Valutare il numero medio di giorni necessari per riacquistare la libertà.
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15) Una compagnia farmaceutica produce un nuovo farmaco contro le emicranie con un principio
attivo molto rapido ad entrare in circolo. Per convincere l'ente preposto al controllo dei nuovi
medicinali che il tempo medio che il farmaco impiega a raggiungere il sangue è inferiore ai 10
minuti, questa ditta raduna un campione di persone soggette ad emicranie e conduce un
esperimento.
1) Quale tipo di test bisogna effettuare e come vanno scelte l'ipotesi e l'alternativa?
2) Supponiamo di prendere un gruppo da 30 persone e di avere le seguenti statistiche
cumulative:
Supponendo che l'ente preposto al controllo voglia una significatività dell'1%, si può affermare
che il farmaco raggiunga il sangue in meno di 10 minuti?
3) Calcolare l'intervallo di confidenza al 99% del tempo medio. In base a questo intervallo, si
può rispondere alla domanda del punto 2.?
16) La produzione di grossi trasformatori e condensatori elettrici richiede l'impiego di sostanze
tossiche (PCB), molto pericolose quando vengono disperse nell'ambiente. Si vogliono
confrontare due metodi per misurare il livello di PCB nel pesce di un lago nelle cui prossimit_a
vi _e un impianto di grosse dimensioni. I risultati delle misurazioni sono riportati sotto.
1. Calcolare l'intervallo di confidenza al 95% per la di_erenza delle medie tra i campioni.
2. Supponendo che la varianza tra le popolazioni sia la stessa, dire se da questi dati si può
supporre che i due metodi producano misurazioni confrontabili.
17) Si sono osservate le abitudini alimentari di 12 donne, registrando quale percentuale di calorie
provenisse dai grassi, nei mesi di luglio e di gennaio, con i seguenti risultati:
1. Calcolare media, varianza ed errore standard della media per entrambi i campioni.
2. Verificare l'ipotesi che la percentuale media di calorie ricavate dai grassi sia la stessa in entrambi
i mesi.
3. Fornire un intervallo di confidenza al 95% per la differenza tra le percentuali.
18) In un esperimento del 1943, 10 ratti albini furono usati per studiare l'efficacia del tetracloruro di
carbonio nel trattamento dei vermi. Le cavie furono infettate con larve e dopo 10 giorni divise a
caso in due gruppi da 5, trattati con dosi diverse della sostanza. Due giorni dopo i ratti furono
soppressi e i vermi contati, coi seguenti risultati:
1. Calcolare gli intervalli di confidenza al 95% per entrambi i campioni.
2. Supponendo che la varianza tra le popolazioni sia la stessa, dire se questi dati dimostrano che il
dosaggio superiore è stato più efficace.
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