CLASSE QUARTA - COMPITI DELLE VACANZE A.S. 2013/14 MATEMATICA APPLICATA Studiare l’andamento delle seguenti funzioni e tracciarne il grafico: 1) 2) 3) y 3x 4 4 x 3 1 y 2 x 3 3x 12 x3 y 2 x 4 4) y x 2 x3 5) y x 1 x2 1 Ricercare gli asintoti delle seguenti funzioni : 4x4 x2 1 6) y 2 x3 8 x x 1 7) y 3 x 8 Ricercare il dominio delle seguenti funzioni 8) y x3 27 x2 3x 5 x 1 9) y 3 x 27 x2 4 10) y x5 11) y x2 9 x 1 Calcolare i seguenti limiti 2 x2 5x 3 a. lim 1 2x 1 x 2 b. c. d. e. lim x (1) x2 2 x 3 x2 2 x 1 5 x 4 x 7 lim 3 x2 5x 6 x 3 x 2 6 x 9 x 2 3x 5 lim x x 3 lim 1 f. g. h. i. x3 2 x 2 x 2 3 x 2 12 lim x 2 8 x3 2 x5 x 6 lim x 5x2 7 x 7 lim x x3 5 2 x3 4 x 2 lim x 2 x 3 x 2 Derivare le seguenti funzioni: a. b. c. d. 5 1 y 2 x3 x 2 x 2 4 y 5x3 25x 2 3 x 2 x 1 y 5 4 x3 2 5 x3 x x 1 y x2 4 e. 2 y x5 6 x 5 f. y 2 x 3 3 x 2 g. y h. y i. y 2 x2 5x 2 x 1 3 2 1 x 1 2 x 2 x 1 Risolvere i seguenti problemi: 12) Un’impresa sostiene per la produzione le seguenti spese: - una spesa fissa mensile di 1.000 € - un costo variabile unitario di ( 3 + 0,1q) €, dove q indica la quantità prodotta. Determinare: a) il costo totale e quello medio, b) la quantità che da il minimo costo medio, c) fare il grafico delle funzioni costo totale e costo medio. 13) Un artigiano per produrre un certo articolo, sostiene i seguenti costi: - costi fissi: 50 € al giorno - costi unitari per le materie prime: (4 + 0,2q) €, dove q indica la quantità prodotta. Immette sul mercato l’articolo prodotto al prezzo di 10 €. Calcolare: a) la quantità da produrre e vendere per avere il massimo guadagno, b) la quantità da produrre e vendere per non andare in perdita, c) costruire il diagramma di redditività e quello della funzione utile. 2 14) Un’impresa sostiene per la produzione le seguenti spese: - una spesa fissa mensile di 47.500 €, - un costo variabile unitario del 3% del quadrato dei pezzi prodotti. Determinare: a) il costo medio, b) la quantità che da il minimo costo medio, c) fare il grafico delle funzioni costo totale e costo medio. 15) Un’impresa per la produzione di un bene economico, sostiene un costo totale espresso dalla funzione : CT(x) = 0,25 x2 + 100 x + 10.000 dove x è la quantità prodotta. a) Determinare la funzione costo unitario CU. b) Rappresentare graficamente la funzione CU. c) Determinare quale quantità prodotta rende minimo il costo unitario e a quanto ammonta tale costo. Se il prezzo unitario di vendita è p = 500 e tutta la quantità è venduta, determinare d) la funzione guadagno e farne il grafico, e) per quale quantità prodotta si ottiene il massimo utile e l’importo di tale utile, i limiti di produzione entro i quali non si è in perdita 16) Le funzioni della domanda e dell’offerta di un bene sono espresse da : d = -0,8p2 +100p +400 e r = 2p – 300. Determinare il prezzo di equilibrio e la corrispondente quantità domandata ed offerta. Fai il grafico delle due funzioni. 17) Per produrre una certa merce, si sostengono costi fissi di € 500 ed un costo per ogni kilogrammo di merce di € 3,5. La produzione massima consentita è di 600 kg. La merce viene rivenduta a € 5,75 il kilogrammo. Determinare il massimo guadagno ed il quantitativo di merce da produrre e vendere per non andare in perdita 18) Una industria può produrre mensilmente sino a 3000kg di una certa merce. Per la produzione sostiene una spesa fissa mensile di € 1500 ed un costo di € 2 per ogni kg prodotto. La domanda della merce è espressa dalla funzione d 4800 40 p . Qual è la produzione che consente il massimo utile e a quanto ammonta quest’ultimo? Qual è il guadagno che si ottiene sfruttando al massimo la capacità produttiva? Come varia il guadagno se la capacità produttiva è di 1500kg? 240 p 19) Data la funzione della domanda d determina: 4 a. il coefficiente di elasticità relativo all’arco di prezzi da 100 € a 160 € . b. il coefficiente di elasticità puntuale per un prezzo di € 100 20) Un’impresa per la produzione di un bene economico, sostiene un costo totale: Ct = q2+20q+2500. Determinare le funzioni costo marginale e costo medio e rappresentare graficamente il costo medio. Successivamente, stabilire quale quantità prodotta rende minimo il costo medio e calcolare l’ammontare di tale costo. Se il prezzo unitario di vendita è p = 200€, determinare per quale quantità prodotta si ottiene il massimo utile, l’importo di tale utile e i limiti di produzione entro i quali non si è in perdita. Fare il diagramma di redditività. 3