CLASSE QUARTA - COMPITI DELLE VACANZE A.S. 2012/13 MATEMATICA APPLICATA Studiare l’andamento delle seguenti funzioni e tracciarne il grafico: 1) x2 - 10x + 21 y = --------------------2x - 15 2) x2 9 y 2 x 4 3) y 4) y = x4 – 3x2 +2 5) x3 x2 9 y= x2 1 x 3 Calcolare i seguenti limiti 2 x2 5x 3 a) lim 1 2x 1 x 2 b) lim x ( 3) lim c) x d) lim 1 x 2 3x x 9 2 5 4x 7 3 2x2 5x 3 2x 1 x 2 3x 5 x x 3 e) lim x3 2 x 2 x 2 3 x 2 12 x2 8x 2 g) lim 2 x ( 2) x x 6 f) lim h) lim x x2 2 x 7 x5 1 i) 2 x3 4 x 2 x 2 x 3 x 2 lim 5) Derivare le seguenti funzioni: a) y 2 x3 5 2 1 x x 2 4 b) y 5 x3 25 x 2 x 1 x c) y = ( 3x3 + 6x 2-15 ) 4x2 x-3 d) y = ---------------x2 - 2 1 5 x3 x2 e) y 5 4 x 3 f) 2 y x5 6 x 5 g) y 2 x3 3 h) y i) y 4 x 2 2 x2 5x 2 x 1 3 2 1 x 1 2 3 3 l) y x 4 5 x 4 m) y 2 x(5 x 3)2 n) y 2 x 3 x 3 2 o) x 3 y p) y q) r) y 3 2 2 x4 x2 4x 5 x 1 x 2 3 x 1 1 y4 2 3x 1 s) y 3 x 4 x 4 2 x 2 3 2 Risolvere i seguenti problemi: a) Un’impresa sostiene per la produzione le seguenti spese: - una spesa fissa mensile di 1.000 € - un costo variabile unitario di ( 3 + 0,1q) €, dove q indica la quantità prodotta. Determinare: a) il costo totale e quello medio, b) la quantità che da il minimo costo medio, c) fare il grafico delle funzioni costo totale e costo medio. b) Un artigiano per produrre un certo articolo, sostiene i seguenti costi: - costi fissi: 50 € al giorno - costi unitari per le materie prime: (4 + 0,1q) €, dove q indica la quantità prodotta. Immette sul mercato l’articolo prodotto al prezzo di 10 €. Calcolare: a) la quantità da produrre e vendere per avere il massimo guadagno, b) la quantità da produrre e vendere per non andare in perdita, c) costruire il diagramma di redditività e quello della funzione utile. c) Un’impresa sostiene per la produzione le seguenti spese: - una spesa fissa mensile di 47.500 €, - un costo variabile unitario del 3% del quadrato dei pezzi prodotti. Determinare: a) il costo medio, b) la quantità che da il minimo costo medio, c) fare il grafico delle funzioni costo totale e costo medio. d) Le funzioni della domanda e dell’offerta di un bene sono espresse da : d = -0,8p2 +100p +400 e r = 2p – 300. Determinare il prezzo di equilibrio e la corrispondente quantità domandata ed offerta. Fai il grafico delle due funzioni. 240 p determina: 4 a. il coefficiente di elasticità relativo all’arco di prezzi da 120 € a 180 € . b. il coefficiente di elasticità puntuale per un prezzo di € 100. e) Data la funzione della domanda d f) Un’impresa per la produzione di un bene economico, sostiene un costo totale espresso dalla funzione : CT(x) = 0,25 x2 + 100 x + 10.000 dove x è la quantità prodotta. a) Determinare la funzione costo unitario CU. b) Rappresentare graficamente la funzione CU. c) Determinare quale quantità prodotta rende minimo il costo unitario e a quanto ammonta tale costo. Se il prezzo unitario di vendita è p = 500 e tutta la quantità è venduta, determinare d) la funzione guadagno e farne il grafico, 3 e) per quale quantità prodotta si ottiene il massimo utile e l’importo di tale utile, i limiti di produzione entro i quali non si è in perdita. g) Un’impresa per la produzione di un bene economico, sostiene un costo totale: Ct = q2+20q+2500. Determinare le funzioni costo marginale e costo medio e rappresentare graficamente il costo medio. Successivamente, stabilire quale quantità prodotta rende minimo il costo medio e calcolare l’ammontare di tale costo. Se il prezzo unitario di vendita è p = 200€, determinare per quale quantità prodotta si ottiene il massimo utile, l’importo di tale utile e i limiti di produzione entro i quali non si è in perdita. Fare il diagramma di redditività. 4