@1? Completa:
a. sin (a + (3) = sin a cos f3
b. sin (a - (3) = sin a cos f3 c. cos (a + (3) = COSa COSf3
~
d. cos (a - (3) = cos a cos f3 + ..
e. sin2a = 2
.
f. cos 2a = cos- a . - 1= 1-
cos a sin f3
sin a sin f3
.
Completa:
a. sin (45° + 60°) = sin 45° cos 60° + cos 45° sin 60° =
b. cos (60° - 45°) = cos 60° cos 45° + sin 60° sin 45° = ..
c. sin (2 . 30°) = 2 sin 30° cos 30° = ...
@i) Vero o falso?
c. sin 40° cos 10° - cos 40° sin 10° = sin 30° [YJ[I
d. cos 75° = cos 45° cos 30° - sin 45° sin 30° [YJ[I
[2 affermazioni vere e 2 false
a. sin 2x = 2 sin x
b. cos (a - (3) = COSa - cos f3
•
Applicazioni delle formule di addizione e sottrazione
~
ESERCIZIO GUIDATO
Calcola il valore delle seguenti
a. sin 105°
funzioni
137r
goniometriche:
----u-
b. cos
a. Osserva che 105 = 60° + 45° e utilizza le formule di addizione
0
+ 45°)
sin 105 = sin (60
0
0
=
.
b. Osserva che un angolo la cui misura in radianti
è ~~ 7r ha misura in gradi uguale a ~~ . 180 = 195 e che
0
195 = 150° + 45°; puoi quindi usare le formule di addizione
cos
----u- = cos 195
0
0
= cos (150 + 45°) = ..
Calcola il valore delle seguenti
funzioni
goniometriche.
~
cos 105
~
cos 75
[! (h - J6)]
[! (J6 - h)]
~
sin 75°
[! (J6
Em1
ESERCIZIO SVOLTO
0
0
Sapendo
+
cOSa=-v'1-sin2a=-)1-
a. Tenendo
~
!'
sin--
con ; < f3 <
tt ,
\z
[vIz~\~
137r
12
calcoliamo:
conto di quanto
conto di quanto
del seno e del coseno occorre conoscere
Poiché ; < Cl< < 1r è cos
;5 =-:
cos2f3 = +)1-
cos (a + (3) = COSa cos
b. Tenendo
[! (J6
b. sin (a - (3)
Per applicare le formule di addizione e sottrazione
a sia di f3. Eseguiamo questi calcoli preliminari:
sinf3 = +V1-
[-!(J6 - \ 2
h)]
che sin a = ~, con ; < a < 7re cos f3 = -
a. cos (a + (3)
0
del coseno:
0
137r
del seno:
9 = +
16
Vi
Cl<
il seno e il coseno siz
<O
. h'e 2
1r < f3 < tt e
" sin f3 > O
Pore
4
appena stabilito e della formula di addizione
del coseno abbiamo:
e - sin a sin f3 =
= ~ _ 3;;
( - :)
(-
!)- ~.v:
stabilito all'inizio e della formula di sottrazione
sin (a - (3) = sin a cos f3 - COSa sin f3 = ~ (_~)
5
4
_ (_~)
5
.
Vi
4
del seno abbiamo
= _~ +
20
Vi
5
Sapendo che sin
CI!
=- ~e- ; <
.
Sapendo che SIn CI! =
CI!
< O, calcola sin ( a - ~) e cos
2.3
3 e SIn{3= 5' con
O
(CI!
_ 3V3 _~.
+ ~).
Ti Ti
< CI! < "2 e "2 < {3< Ti, calcola sin
[
lO
2V3
5'
5
+
~]
lO
+ (3)e cos (a - (3).
(CI!
VS 8. 2 4VS]
[5-1s' 5-15
.; Sapendo che cos a =
~
1
-"8
e Ti <
Sapendo che cos CI! = -
CI!
3.
<
3Ti calcola SIn
. ( a -"4Ti) e cos
2'
(
CI!
Ti) .
-"4
3M.
vIz [
16
'
-viz - 3M]
16
3Ti e "2Ti < {3< Ti, calcola:
2
5 e SIn{3= 3'con tt < CI! < 2
sin (a + (3),cos (a + (3),sin (a - (3),cos (a - (3)
[ 4V;5- 6 ;
3VS + 8
4VS + 6
15
15
3VS 15
8]
, ESERCIZIO SVOLTO
emplifichiamo
sin (~ +
.
la seguente espressione: sin (~ +
a) + sin (~ - a) .
a) + sin (~ - a) =
Ti
~~~;IV.
7f
~~cy:-.-;.
"6cosa- ~"6sIna=
= SIn "6cosa+~"6+sIn
Formule di addizione
· 7f
2 1
= 2SIn "6 cos a = . "2 cos a = cos a
emplifica le seguenti espressioni.
sin (; +
x) -
sin (~ +
x) + cos (3; + x)
cos (~ -
x)
x) -
[O]
~
sin (~ +
[O]
~~
. ( "6+x
Ti ) -SIn.
SIn
sin (
7: - x)
[cos x]
( -6--x
13Ti )
[V3 sin x]
[V3 sin a]
[V3 sin al
[sin a
sin (a + (3)+ cos (a +,8) + sin (a - (3)- cos (a - (3)
. 2vIz
. (Ti
. (Ti)a -"6
SIn
"4+ a ) + SIn
. 2(
SIn
X -
- cos (Ti)
a +3
-
cos al
[2 sin a (cos {3- sin (3)l
. a
- 2 cos (Ti)
"6 SIn
[~ (sin
Ti) + cos 2(Ti"6 - x )
3
a-
cos
a)]
[~ + cos 2 x]
Applicazioni delle formule di duplicazione
Ritrova i noti valori del seno e del coseno di 90°, osservando che 90° = 45° . 2 e utilizzando le formule di dulicazione.
Osservando che 120° = 2 . 60° e utilizzando le formule di duplicazione, calcola le funzioni goniometriche di
20°.
[
sin 120° =
V3 cos 120° = -"2'
1
2'
tan
120°
]
= -V3
ESERCIZIO SVOLTO
alcoliamo le funzioni goniometriche
di 2a, sapendo che cos a
= ~e
3; < a < 2Ti.
er utilizzare le formule di duplicazione, occorre conoscere seno e caseno di a.
529
Calcoliamo quindi anzitutto sin a.
sin a =
-VI -
cos2 a =
-J !
31T
P OIC. h'e 2'
<
= _ Z~
1_.
Cl:'
< 2 1T e,. sin
Q
<O
Pertanto:
sin Za = 2sin a cos a = Z. (_ 2V2) . ~ = _ 4V2
3
'3
9
2
1
.2
8
cos Za = COS a - sm a = - - - = -999
7
In base alla definizione di tangente:
tan 2a =
sin Za
cos2a
4V2
9
4V2
= ----;7.-
7
9
Calcola le funzioni goniometriche
~
cos a = ~
~
~os a = -
~
sin a = ~
@
ESERCIZIO SVOLTO
e
3V2
e
3; < a <
e
tt
di 2a, in base alle informazìonì
[Sin 2a = - 4~
21r
<a <
assegnate,
231r
[2
sin 2a =
; < a < 1r
5
9 /14;cos 2a = - 9;
tan
[Sin 2a = - 4~
"
'fu' nzione d'I a l' espressione
'
Espnrmamo
In
; cos 2a = _ ~ ; tan
= 4~ :-
2(\
211- -
52 v --1~_
; cos 2a = ~ ; tan Zo =
7
1+ cos 2a e semp Iifi
'h
I ch'ramo l a, Suppomamo
c e a assuma v al 0cosa
per cui tutte le espressioni che compaiono sono definite,
1+ cos Za
cos a
Espressione data
cos2 a -1
cos a
2
Zcos a Z
1
+
Z
---=
COSa
Formula di duplicazione del cose no
Semplificando
COSa
Esprimi in funzione di a le seguenti espressioni, utilizzando anche le formule di duplicazione, e semplificale, Supponi che gli argomenti assumano valori tali per cui tutte le espressioni che compaiono sono definite..
~,',
~
cos Zo
~coso - sin
cos a + sin a
1- sin Za
e--:---sin
COS
a -
[sin fl
a
Gli> sin Za + cos Za + Z sirr'o
[1
G»
tan Za(1 + tan a) (sin a - cos a)
~
sin ( Za + :) - cos ( Za + :)
fJl) v'3 sin (;
- Za)
V2sin(3
1r
fJil;
sin 4a
(Suggerimento: sin 4a
~
cos 4a
-za)
cos
+ 2 sin () cos
[ 2 sin
[2v1z sin n cos
+ v'3 cos ( Za + ~) + v'3 sin 2a
~
4
-
+Zsin2(~
-a)
+Zsin2a
= sin[Z(Za)])
(Vedi il suggerimento dell'esercizio precedente)
[8 sin a cos"
Ci -
4 sin
2
(t
cos
[1 - 8 sin n cos'
•
Applicazioni delle formule di bisezione
tiIJ
Osservando
che 15°
1
= 2.30°
e utilizzando
le formule di bisezione,
calcola sin 15°, cos 15° e tan 15°.
[!(V6 -
flll) Utilizzando le formule di bisezione, calcola sin 9 7T, COS 9 7T e tan 9 7T.
8
Calcola le funzioni
~
~
goniometriche
cos a = - ~
8'
G).
Sina
Il
= ---
~
~
COSa=--
~
tana
8
8
di ~, in base alle infonnazioni
7T< a < ~
[-
!(V6 +
vIz);
vIz); 2 -
,,13]
J 2 - vIz; - ~ J 2 + vIz; vIz - 1]
~
assegnate.
[Sin ~ = ~. cos ~ = _ yI7. tan ~ = _ 3y17 ]
2
4'
2
4 '
2
7
2
v'IS
.
a
v'IS
a
1
a
[SlD 2 = -4-; cos 2 = - 4; tan 2 =
8 '
-y
h7]
15
1
8'
sin ~ = _
2
= -2V2,
[
,,13.
3'
..J6. tan ~ = _ V2]
cos ~ =
2
3'
2
2
Esercizi di riepilogo
~
Completa:
d. sirr' 30°
a. La misura in gradi di un angolo di 2
7T radianti
è
3
b. Un angolo avente seno e coseno uguali è quello
che misura
.
c. La misura in radianti di un angolo di 200° è
Associa a ciascun angolo la cui misura è data in
adi nella prima colonna la corrispondente
misura in
radianti.
7T
a.90°
A'4
b.45°
B.7T
c. 120°
C~
.4
d.180°
D~
'2
e. 135°
E 27T
. 3
CI!I1
g. La tangente
.
CIilì
di a è certamente positivo
di a è certamente positivo
[S] la tangente di a è certamente positiva
[Q] nessuna delle precedenti risposte è corretta
Qua 1'·1
7T+ sm
. 6'
57T..,
e l va l ore dil si
SlD 6'
~O
[gJ3
[ID 1
[Q] nessuno
o
[ID 150°
57T
L.!!J18
lDl
Quale dei seguenti angoli ha coseno uguale a O?
7T
O
[ID
[g 7T
[Q] 27T
-z
o -z
~
I?
Quale dei seguenti
angoli ha tangente
7T
. ~O
in radianti
[g
di un angolo
di
dei precedenti
Quale dei seguenti angoli ha il seno uguale a -I?
7T
37T
[ID 7r
[g 2
[Q] 27T
Qual è la misura in gradi di un angolo la cui mi-
~
Qual è la misura
_50°?
< a < 7T.Allora:
Sia a un angolo tale che O
o il seno
~
~120°
.
di un angolo non è definita per
[ID il coseno
~
.
d'
.' 47T..,
Stira in ra ìantì e 3'
.
.
~
~
Test
30° =
y = sin x è periodica di periodo
f. La funzione y = tan x è periodica di periodo
e. La funzione
.
~
+ 3cos2
~
[ID-Z
37T
[gT
uguale a
[Q]
57T
T
Il coseno di un angolo a è negativo se :
7T
7T
37T
~ O <a <2
[ID 2 < a < 7T [g 2 < a
< 27T
257T
18
[Q] Nessuna delle precedenti
risposte è corretta.
531
