MATEMATICA Nozioni di teoria degli insiemi e funzioni analitiche

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MATEMATICA
Nozioni di teoria degli insiemi e funzioni analitiche:
 Generalità sugli insiemi; estremi superiore ed inferiore; minimo e massimo di un sottoinsieme;
insiemi limitati ed illimitati; insiemi numerici; insieme di definizione e codominio di una funzione;
crescenza e decrescenza di una funzione; simmetria di una funzione.
Concetto di limite :
 Limite di una successione; convergenza e divergenza di una successione; numero di Nepero;
successioni oscillanti; progressione aritmetica e geometrica.
 Generalità sulle serie numeriche:serie geometrica; somma di una serie e somma della serie
geometrica.
 punti di accumulazione; definizione topologica di limite di funzione e formalizzazioni del
limite di funzione: al finito e all’infinito, caso di convergenza e divergenza; limite sinistro e destro;
limite di una costante.
 Enunciati dei teoremi di unicità del limite, della somma, differenza, prodotto e quoto; teorema
della permanenza del segno e teorema del confronto; limiti notevoli e risoluzione di forme
indeterminate; infiniti ed infinitesimi.
 Ricerca degli asintoti orizzontali, verticali ed obliqui; grafico probabile di una funzione
Continuità :
 Continuità di una funzione in un suo punto ed in un insieme; classificazione dei diversi tipi di
discontinuità.
Derivazione :
 Definizione di derivata di una funzione in un punto; derivabilità di una funzione; derivata
sinistra e destra.
 Enunciato del teorema della somma, differenza, prodotto e quoto di derivate; enunciato del
teorema della derivata di una funzione composta e di una funzione inversa; regole di
derivazione delle funzioni elementari: potenza, radice, logaritmo ed esponenziale,
trigonometriche dirette ed inverse.
 Teorema della derivabilità e continuità di una funzione; funzioni non derivabili; punti angolosi
,cuspidi e interpretazione geometrica della derivata.
 Tangenti ad una curva ; derivate di ordine superiore; applicazione delle derivate alla fisica e a
problemi di vario tipo con riferimento a casi concreti; nozione di differenziale e ricerca dei valori
approssimati di f(x) in un intorno.
 Teoremi di : Rolle, Lagrange e Cauchy, con relativi corollari; teorema della crescenza di una
funzione; enunciati del I e II teorema De L’Hospital; condizione necessaria e sufficiente per la ricerca
dei punti di minimo, massimo e flesso di una funzione; concavità e convessità; grafico di una
funzione.
 teoremi di unicità e ricerca degli zeri di una funzione col metodo di bisezione.
Integrazione :
 Primitiva di una funzione; nozione di integrale indefinito ; integrali immediati; somma e
differenza di integrali; integrali per decomposizione e per sostituzione immediata; integrazione per
parti, integrali per sostituzione in generale e integrazione delle funzioni razionali fratte.
 Integrale definito ed integrabilità secondo Riemann; integrabilità delle funzioni continue;
significato geometrico dell’integrale definito; cenni alle funzioni integrali; teorema della media e
teorema di Torricelli; calcolo delle aree e dei volumi dei solidi di rotazione; calcolo della lunghezza di
curve semplici e determinazione del volume di solidi col metodo delle sezioni variabili; semplici casi di
applicazione del calcolo integrale alla fisica.
Cenni alle equazioni differenziali:
 Equazioni differenziali del primo ordine; equazioni differenziali del tipo Dy=f(x) ; equazioni
differenziali a variabili separabili.
Elementi di analisi numerica:
Soluzioni numeriche di una equazione col metodo di bisezione; calcolo integrale col metodo dei
trapezi.
Elementi di calcolo delle probabilità e statistica:
 Richiami della definizione classica di probabilità, probabilità totale per eventi compatibili ed
incompatibili, probabilità composta per eventi compatibili dipendenti ed indipendenti.
 La legge empirica del caso e variabili casuali:valor medio e scarto quadratico medio.
 Distribuzioni statistiche : binominale e normale.
FISICA
Elettrostatica:
 Richiami sul campo elettrico e sulla legge di Gauss; sulla nozione di differenza di energia
potenziale e differenza di potenziale nel caso di campo uniforme e coulombiano; potenziale in
un punto.
 Condensatori: capacità in generale; capacità del condensatore a lastre piane parallele e del
condensatore sferico; accoppiamento di condensatori in serie ed in parallelo.
La corrente elettrica :
 Conduzione nei metalli; definizione dell’intensità di corrente; leggi di Ohm; modello
microscopico teorico della legge di Ohm; significato fisico microscopico della resistenza elettrica,
resistività e sua dipendenza dalla temperatura.
 Nozione di forza elettromotrice e di resistenza interna di un generatore di tensione;
accoppiamento in serie ed in parallelo di più resistenze; cenni all’uso del voltmetro e dell’
amperometro; effetto Joule; carica e scarica di un condensatore.
Il campo magnetico :
 Fenomenologia dei magneti permanenti: indivisibilità dei poli, linee di forza magnetica, legge di
Coulomb della magnetostatica, impossibilità di isolamento dei poli magnetici e flusso di B.
 Esperienze di Oersted; legge di Biot-Savart; campo magnetico in un solenoide indefinito; la
legge della forza magnetica; interazione tra fili paralleli percorsi da corrente; definizione di Ampere
dell’intensità di corrente; la forza di Lorentz; moto di una carica puntiforme in un campo magnetico
uniforme.
 La legge circuitale di Ampere; applicazione della legge circuitale di Ampere al filo rettilineo
indefinito e al solenoide.
L’induzione magnetica :
 Fenomenologia dell’induzione magnetica: esperienza di Faraday con anello di ferro, la
corrente indotta su un solenoide con una calamite; forza elettromotrice indotta su una spira mobile in
campo magnetico; la legge di Faraday-Neumann dell’induzione; esperienza dell’anello di Thomson e
legge di Lenz.
 Autoinduzione L in un solenoide; correnti parassite; la corrente alternata e sue grandezze
caratteristiche, trasformatori statici; circuito RL in cc con extra correnti di apertura e chiusura di un
circuito.
Le equazioni di Maxwell :
 La sintesi di Maxwell delle leggi del campo elettrico e magnetico: condensatore con
alimentazione variabile nel tempo e corrente di spostamento, la circuitazione del campo magnetico con
la correzione apportata da Maxwell , le equazioni di Maxwell.
 Genesi delle onde elettromagnetiche, circuiti oscillanti, frequenza di risonanza, ricezione e
trasmissione di onde em; esperienze del comportamento ottico delle onde em (riflessione totale, messa
a fuoco ed interferenza); misura sperimentale della lunghezza d’onda di una microonda stazionaria.
La vecchia meccanica quantistica :
 Esperienza di Thomson; esperienza di Millikan; esperienza di Rutherford.
 Modello dell’atomo di H di Bohr; i livelli energetici ed orbite elettroniche; i limiti del modello
di Bohr.
La meccanica ondulatoria :
 Aspetti ondulatori della materia ed ipotesi di De Broglie; principio di indeterminazione; la
funzione d’onda ; il confinamento di un’onda in una buca di potenziale e livelli energetici;
interpretazione probabilistica della funzione d’onda ed i principi della nuova meccanica quantistica;
l’equazione di Schrodinger, numeri quantici e modello ad orbitale.
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