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Nome…………………….Cognome………………….
25 Novembre 2010
Classe 4D
VERIFICA di MATEMATICA
A)
Calcola i valori delle seguenti espressioni: (punti: 0.75)
π
 3 
1

1) sin  + arcsin   
2) cos arctan (5)
 5 
2

3
B)

 12  
3) tan  2 arccos  
 13  

Risolvi le seguenti equazioni o disequazioni goniometriche (punti 3)
π
π


1) 3 cos x +  + 3 sin  x +  ≤ 0
4
4


π

3) 4 cos 2 (− x) + 8 sin  + x  − 5 = 0
2

π
5) cos(2 x + ) + sin(3 x) = 0
6
2) cos x − sin x − 1 ≤ 0
4) 3 sin 2 x + 2 sin x cos 2
x
− sin x = 0
2
6) 2 sin 2 x + sin 2 x ≥ 1
C) Risolvi graficamente la seguente disequazioni (punti: 0.5)
arccos x > 2 x
D) Per ciascuna della seguenti funzioni:
π
1) y = sin( x + )
4
(punti: 0.75)
2) y = cos x − 3 sin x
3) y = 3 − 2 cos 2 (2 x)
(punti: 0.75)
4) y =
1 + sin 2 x
cos x + sin x
(punti: 0.75)
(punti: 1)
a) traccia il grafico
b) indica se sono periodiche e in caso affermativo specifica il periodo.
E) Per ciascuna richiesta scrivi l’espressione analitica di una funzione goniometrica che la soddisfi e
tracciane il grafico
π
a) funzione sempre negativa con asintoti di equazione x = + kπ con k ∈ Z
(punti: 0.5)
2
π
b) funzione pari, periodica di periodo
(punti: 0.5)
3
c) funzione con asintoto orizzontale di equazione y = 2π
(punti: 0.5)
1
Soluzioni verifica di matematica 25 Novembre 2010
Esercizio A1 per la formula di addizione del seno:
π
3 4 1 3 4 3+3
 3 
π

π
 π
sin  + arcsin    = sin  + α  = sin   cos α + sin α cos  =
+
=
2 5 25
10
 5 
3

3
3
3
3
π
π
4
dove sin α =
e − ≤ α ≤ quindi cos α = + 1 − sin 2 α =
5
2
2
5
Esercizio A2 per la formula di bisezione del coseno:
1
1+
1 + cos α
26 + 26
1

α
26
cos arctan (5) = cos  = +
=
=
2
2
52
2

2
1
1
π
π
dove tan α = 5 con e − < α < quindi cos α = +
=
2
2
26
1 + tan 2 α
Esercizio A3 per la formula di duplicazione della tangente
5

2 tan α
120
 12  
tan  2 arccos   = tan (2α ) =
= 6 =
2
25 119
1 − tan α
 13  

1−
144
12
5
sin α
5
e tan α =
dove cos α =
e 0 ≤ α ≤ π quindi sin α = + 1 − cos 2 α =
=
13
13
cos α 12
π
π


Esercizio B1: 3 cos x +  + 3 sin  x +  ≤ 0
4
4


π
π


Si tratta di una disequazione lineare in sin  x +  e cos x +  , si
4
4


può risolvere con il metodo della circonferenza goniometrica: posto
π
π


X = cos x +  e Y = sin  x +  si ha
4
4


3 X + 3Y ≤ 0 Y ≤ − 3 X
 2

 X + Y 2 = 1  X 2 + Y 2 = 1
5
17
2
π 5

π + 2k ≤ x ≤ π + 2kπ
quindi π + 2k ≤  x +  ≤ π + 2kπ
12
12
3
4 3

Esercizio B2: cos x − sin x − 1 ≤ 0 equivale s cos x − sin x ≤ 1
y
1
x
−1
1
−1
Si tratta di una disequazione con il modulo equivalente a − 1 ≤ cos x − sin x ≤ 1 cioè
− 1 − cos x ≤ − sin x ≤ 1 − cos x e quindi cambiando segno e verso
cos x − 1 ≤ sin x ≤ 1 + cos x
Si tratta di due disequazioni lineari che posto X = cos x e
Y = sin x
X −1 ≤ Y ≤ X +1
Sono equivalente a  2
2
X + Y = 1
y
1
x
−1
La soluzione è: kπ ≤ x <
1
π
+ kπ
2
−1
2
π

Esercizio B3: 4 cos 2 (− x) + 8 sin  + x  − 5 = 0
2

Utilizzando le relazioni sugli archi associati e complementari si può riscrivere come:
4 cos 2 ( x) + 8 cos( x ) − 5 = 0 si ottiene cioè un’equazione di 2° grado in cos(x)
−4±6
da cui si ottengono due equazioni elementari:
cos x =
4
5
cos x = − (impossibile)
2
1
cos x =
2
π
x = ± + 2kπ
3
y
1
x
−1
1
−1
Esercizio B4: 3 sin 2 x + 2 sin x cos 2
x
− sin x = 0
2
1 + cos x
− sin x = 0
2/
Si ottiene così un’equazione omogenea di 2° grado 3 sin 2 x + cos x sin x = 0 , dividendo per cos 2 x con la
π
condizione che x ≠ + kπ si ottiene un’equazione di 2° grado in tangente:
2
1
 1
3 tan 2 x + tan x = 0 ⇒ tan x = 0 ∨ tan x = − e quindi x = kπ ∨ x = arctan −  + kπ
3
 3
π
π
Esercizio B5: cos(2 x + ) + sin(3 x) = 0 è equivalente a cos(2 x + ) = − sin(3 x) e per
6
6
π
π
le relazioni sugli archi associati cos(2 x + ) = cos( + 3 x) si ottiene quindi un’equazione elementare
6
2
π π
π
π
equivalente a: 2 x + = + 3 x + 2kπ ∨ 2 x + = − − 3 x + 2kπ
6 2
6
2
π
2
2
x = − + 2kπ ∨ x = − π + kπ
3
15
5
Utilizzando la formula di bisezione del seno: 3 sin 2 x + 2/ sin x
y
1
−1
1
−1
Esercizio B 6 risolvi la disequazione 2 sin 2 x + sin 2 x ≥ 1
Utilizzando la formula di duplicazione del seno e l’identità goniometrica fondamentale si ottiene una
disequazione omogenea di 2° grado: 2 sin 2 x + 2 sin x cos x ≥ cos 2 x + sin 2 x
π
sin 2 x + 2 sin x cos x − cos 2 x ≥ 0 con la condizione cos x ≠ 0 cioè x ≠ + kπ
2
si ottiene la disequazione di secondo grado in tangente:
tan 2 x + 2 tan x − 1 ≥ 0 ⇒ tan x ≤ −1 − 2 ∨ tan x ≥ −1 + 2 si hanno così
due disequazioni elementari che si risolvono guardando la circonferenza
π
goniometrica. Per quanto riguarda il valore x = + kπ sostituendo nella
2
disequazione di partenza si vede che è verificata 1 ≥ 0 , quindi la soluzione sarà:
arctan(−1 + 2 ) + 2kπ ≤ x < π − arctan(1 + 2 ) + 2kπ
y
1
x
−1
1
−1
y
3
Esercizio C Indica quante soluzioni ha l’ equazione arccos x > 2 x
2
3
1
x
−1
1
x
La disequazione può essere risolta graficamente, tacciando i grafici delle funzioni: y = arccos x e
y = 2 x . Le soluzioni sono le ascisse dei punti in cui il grafico del coseno si trova sopra la retta, cioè
detta α l’ascissa del punto di intersezione tra le curve: − 1 ≤ x < α
y
3
π
Esercizio D1: y = sin( x + )
4
Non è una funzione periodica (vedi il grafico)
Il grafico si ottiene da quello del seno, traslando l’asse verticale
π
, prendendo le parti con le x positive e le
a destra di
4
corrispondenti simmetriche rispetto all’asse delle ordinate.
2
1
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
−1
−2
−3
Esercizio D2: y = cos x − 3 sin x
−4
E’ una funzione periodica di periodo π (vedi il grafico)
Per tracciare il grafico si utilizza il metodo dell’angolo
aggiunto e si disegna prima y = cos x − 3 sin x , poi si
ribalteranno rispetto all’asse delle ascisse le parti negative
π
y = cos x − 3 sin x = 2 cos( x + ) (si traccia il grafico del
3
coseno dilatato verticalmente di 2 con l’asse verticale
y
3
x
−3
3
a2 + b2 = 2
spostato a destra di
π
3
cos α =
sin α =
π
3
Esercizio D3: y = 3 − 2 cos 2 (2 x)
a
a +b
2
2
b
a2 + b2
=
1
2
=−
−3
3
2
⇒α=−
y
3
π
(vedi il grafico)
2
2
Per tracciare il grafico è necessario prima abbassare di grado
1
utilizzando le formule di duplicazione del coseno
1 + cos(4 x)
y = 3− 2⋅
= 2 − cos(4 x) . Ora si traccia il grafico −π
−π/2
π/2
π
2
del coseno compresso orizzontalmente di 6, si fa il
−1
simmetrico rispetto all’asse delle ascisse e si sposta l’asse
−2
orizzontale in basso di 2.
1 + sin 2 x
Esercizio D4: y =
cos x + sin x
E’ una funzione periodica di periodo 2π (vedi il grafico)
dei valori trovati è accettabile.
Per tracciare il grafico è necessario prima semplificare. Utilizzando l’identità goniometrica
fondamentale e la formula di duplicazione del seno si ha:
cos 2 x + sin 2 x + 2 sin x cos x (cos x + sin x) 2
y=
=
= cos x + sin x con la condizione
cos x + sin x
cos x + sin x
E’ una funzione periodica di periodo
4
π
+ kπ .
4
π
Il grafico di y = cos x + sin x = 2 cos( x − ) si
4
ricava con il metodo dell’angolo aggiunto:
cos x + sin x ≠ 0 ⇒ tan x ≠ −1 ⇒ x = −
y
2
a2 + b2 = 2
cos α =
sin α =
a
a2 + b2
b
a2 + b2
1
=
2
2
=
2
2
⇒α=
π
4
x
−π
−π/2
π/2
π
3π/2
−1
−2
Il grafico si ottiene a partire dal coseno, dilatato
π
verticalmente di 2 e traslato a destra di
4
y
Esercizio E1 Scrivi l’espressione analitica di una funzione goniometrica sempre
π
negativa con asintoti di equazione x = + kπ con k ∈ Z e tracciane il grafico.
2
Per esempio y = −1 − tan x
x
−3
−1
1
3
−1
−3
−4
−6
y
1
Esercizio E2 Scrivi l’espressione analitica di una funzione goniometrica pari,
π
periodica di periodo
e tracciane il grafico.
3
Per esempio y = cos(6 x)
x
−1
1
−1
y
12
9
6
Esercizio E3 Scrivi l’espressione analitica di una funzione goniometrica con
asintoto orizzontale di equazione y = 2π e tracciane il grafico.
Per esempio y = 4 arctan x
3
x
−12
−9
−6
−3
3
−3
−6
−9
−12
5
6
9
12