Funzioni Seno e Coseno - Dipartimento di Matematica

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Funzioni Seno e Coseno
Circonferenza di raggio 1
Proprietà di sin x:
P
sin x
O cos x
• periodica:
sin(x + 2π) = sin x ∀x ∈ R
x
1
• −1 ≤ sin x ≤ 1 ∀x ∈ R
• sin x > 0 per x ∈ (0, π)
sin x < 0 per x ∈ (π, 2π)
• è crescente in [0, π2 ] e in [ 3π
, 2π]
2
Dato x ∈ R si costruisce il punto P
partendo da (1, 0) e percorrendo un
arco di lunghezza |x|
• in senso antiorario se x > 0
• in senso orario se x < 0
Per definizione P = (cos x, sin x).
Relazione fondamentale:
(sin x)2 + (cos x)2 = 1
• è decrescente in [ π2 , 3π
]
2
• dispari: sin(−x) = − sin x ∀x ∈ R
• alcuni valori notevoli:
sin 0 = sin π = sin 2π = 0
sin π2 = 1,
sin 3π
= −1
2
∀x ∈ R
Matematica con Elementi di Statistica – a.a. 2016/17
Funzioni Seno e Coseno
Dalle proprietà precedenti si ottiene il seguente grafico per y = sin x.
Il grafico y = cos x si ottiene per traslazione poiché si ha
(
π)
cos x = sin x +
∀x ∈ R.
2
Matematica con Elementi di Statistica – a.a. 2016/17
Funzione Arcoseno
La funzione f (x) = sin x definita per x ∈ [− π2 , π2 ] a valori in [−1, 1] è
biunivoca.
arcsin : [−1, 1] → [− π2 , π2 ] è la sua funzione inversa.
f : [− π2 , π2 ] → [−1, 1]
f −1 : [−1, 1] → [− π2 , π2 ]
f (x) = sin x
f −1 (x) = arcsin x
Matematica con Elementi di Statistica – a.a. 2016/17
Funzione Arcocoseno
La funzione g(x) = cos x definita per x ∈ [0, π] a valori in [−1, 1] è
biunivoca.
arccos : [−1, 1] → [0, π] è la sua funzione inversa.
g : [0, π] → [−1, 1]
g −1 : [−1, 1] → [0, π]
g(x) = cos x
g −1 (x) = arccos x
Matematica con Elementi di Statistica – a.a. 2016/17
Funzione Tangente
sin x
π
tan x =
per ogni x ̸= + kπ, k ∈ Z
cos x
2
È una funzione periodica di periodo π e dispari.
tan x
x
O
1
grafico di f (x) = tan x
Matematica con Elementi di Statistica – a.a. 2016/17
Funzione Arcotangente
La funzione f (x) = tan x definita per x ∈ (− π2 , π2 ) a valori in R è
biunivoca. arctan : R → (− π2 , π2 ) è la sua funzione inversa.
f : (− π2 , π2 ) → R
f −1 : R → (− π2 , π2 )
f (x) = tan x
f −1 (x) = arctan x
Matematica con Elementi di Statistica – a.a. 2016/17
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