Goniometria Dicembre 4G

Nome…………………….Cognome………………….
18 Dicembre 2008
Classe 4G
VERIFICA di MATEMATICA
A)
Risolvi le seguenti disequazioni goniometriche
π

1) 2 sin  3 x +  ≥ 2
6

cos x + sin x − 1
3)
≤0
2 sin x − 3
5)
3 − 4 sin 2 x > cos x
2 sin x − 1
≤0
(punti: 0.5)
2)
(punti:0,5)
4) 3 tan 2 x + 2 tan x − 1 > 0
(punti: 0.5)
(punti: 1)
6) 2 sin x cos x + cos(2 x) ≥ 3
(punti: 0.5)
1 − tan x
(punti: 0.5)
B)
Dai la definizione di seno, coseno e tangente e traccia i grafici delle corrispondenti funzioni.
(punti: 1)
Partendo da tali grafici, indica quante soluzioni hanno le seguenti equazioni (motiva la tua risposta)
x
1) cos x = 2 x
2) sin x = x 2
3) tan x =
(punti: 0.75)
2
C) Per ciascuna della seguenti funzioni:
1) y = cos x +
π
3
3) y = 1 − sin 2 x
(punti: 0.75)
2) y = cos(3 x) + sin(3 x) − 1 (punti: 0.75)
(punti: 0.75)
4) y =
sin(2 x) − 1
cos x − sin x
(punti: 1)
a) indica se sono periodiche e in caso affermativo specifica il periodo.
b) determina le intersezioni con l’asse delle ascisse;
c) traccia il grafico
D) Per ciascuna richiesta scrivi l’espressione analitica di una funzione goniometrica che la soddisfi e
tracciane il grafico
a) funzione sempre positiva con asintoti di equazione x = π + 2kπ con k ∈ Z (punti: 0.5)
b) funzione dispari, periodica di periodo 3π
(punti: 0.5)
c) funzione con dominio [1;3]
(punti: 0.5)
Verifica di goniometria 18 dicembre 2008 4G
1
Soluzioni verifica di matematica 4G 18 dicembre 2008
π
π
2


Esercizio A1: risolvi la disequazione: 2 sin  3 x +  ≥ 2 ⇒ sin  3 x +  ≥
6
6
2


π

Si tratta di una disequazione elementare (eventualmente ponendo z =  3x +  ,
6

si risolve quindi guardando la circonferenza goniometrica.
π
π  3π

Si ha:
+ 2kπ ≤  3 x +  ≤
+ 2kπ quindi risolvendo:
4
6 4

π 2kπ
7 π 2kπ
+
≤x≤
+
36
3
36
3
2 sin x − 1
Esercizio A2: risolvi la disequazione:
≤0
1 − tan x
E’ una disequazione fratta, bisogna quindi studiare il segno del numeratore e del denominatore e fare poi
il prodotto dei segni:
1
1
1
2 sin x − 1 ≥ 0
sin x ≥
sin x ≤ −
∨ sin x ≥
2 ⇒
⇒
2
2
1 − tan x > 0
tan x < 1
− 1 < tan x < 1
La soluzione è: −
π
π
+ kπ ≤ x ≤ + kπ ∨
6
6
π
3π
+ kπ < x <
+ kπ
4
4
cos x + sin x − 1
≤0
2 sin x − 3
La disequazione è fratta, bisogna quindi studiare il segno del numeratore e del denominatore e fare poi il
cos x + sin x − 1 ≥ 0
prodotto dei segni:
la prima disequazione è lineari, la seconda elementare. Per
2 sin x − 3 > 0
risolvere la prima il metodo più veloce è il secondo studiato, anche perché la retta corrispondente è
associata ad angoli noti. Posto cos x = X e sin x = Y si hanno infatti i seguenti sistemi misti :
Esercizio A3: risolvi la disequazione:
Y ≥ 1 − X
 2
 X + Y 2 = 1
La soluzione è: 0 + 2kπ ≤ x <
π
π
2π
+ 2kπ ∨
+ 2kπ ≤ x <
+ 2kπ oppure
3
2
3
Esercizio A4: risolvi la disequazione 3 tan 2 x + 2 tan x − 1 > 0
La disequazione è di secondo grado in tan x, risolvendo l’equazione associata si
1
ottiene: tan x = ∨ tan x = −1 , si tratta di due equazioni elementari, dei risultati
3
3π
π
1
bisogna fare l’unione. La soluzione è: arctan  + kπ < x <
+ kπ ∧ x ≠ + kπ
4
2
3
π
(infatti la funzione tangente non è definita in x = + kπ )
2
Esercizio A5: risolvi la disequazione
3 − 4 sin 2 x > cos x
Verifica di goniometria 18 dicembre 2008 4G
2
La disequazione è irrazionale nella sola funzione coseno, del tipo radice quadrata maggiore di…, si
risolve quindi con due sistemi:
(condizione di concordanza )
cos x ≥ 0
cos x < 0
∨


3 − 4 sin 2 x > cos 2 x
3 − 4 sin 2 x ≥ 0 (condizione di esistenza )
cos x < 0
cos x ≥ 0

∨  2

3
2
2
3 − 4 sin x > 1 − sin x
sin x ≤ 4
cos x ≥ 0

⇒ 
2
< sin x <
−
3

cos x ≥ 0

⇒  2
2
sin x < 3
cos x < 0

∨  3
3
≤ sin x ≤
−
2
 2
cos x < 0

 3
3
≤ sin x ≤
−
2
 2
∨
2
3
La soluzione della disequazione è:

 2
2
 + 2kπ < x < arcsin 

− arcsin −

 3  + 2kπ
3




∨
2
4π
π + 2kπ < x <
+ 2kπ
3
3
Esercizio A 6 risolvi la disequazione 2 sin x cos x + cos(2 x) ≥ 3
Utilizzando la formula di duplicazione del coseno e l’identità goniometrica fondamentale si ottiene una
disequazione omogenea di 2° grado: 2 sin x cos x + cos 2 x − sin 2 x ≥ 3 cos 2 x + 3 sin 2 x
π
4 sin 2 x − 2 sin x cos x + 2 cos 2 x ≤ 0 con la condizione cos x ≠ 0 cioè x ≠ + kπ si ottiene la
2
2
disequazione di secondo grado in tangente: 2 tan x − tan x + 1 ≤ 0 ⇒ poiché il discriminante è negativo
e verso della disequazione e segno del coefficiente di secondo grado sono discordi, la disuguaglianza non
è mai verificata ∃x ∈ R
Esercizio B Dai la definizione di seno, coseno e tangente e traccia i grafici delle corrispondenti funzioni.
y
Il seno di un angolo è l’ordinata del punto sulla circonferenza
goniometrica individuato dall’angolo. La funzione seno così definita
f : R → [− 1;1] è suriettiva, ma non iniettiva; è una funzione periodica
di periodo 2π, dipari.
3
x
−3
3
y
−3
3
x
−3
3
−3
Il coseno di un angolo è l’ascissa del punto sulla circonferenza
goniometrica individuato dall’angolo. La funzione coseno così definita
f : R → [− 1;1] è suriettiva, ma non iniettiva; è una funzione periodica di
periodo 2π, pari.
Verifica di goniometria 18 dicembre 2008 4G
3
y
3
La tangente di un angolo è l’ordinata del punto di intersezione tra la
retta corrispondente all’angolo e la retta di equazione x=1. La funzione
π

tangente così definita f : R −  + kπ → R è suriettiva, ma non
2

iniettiva; è una funzione periodica di periodo π, dipari.
1) cos x = 2 x
x
tan x =
2
2) sin x = x 2
x
−3
3
−3
3)
y
3
.
Esercizio B 1 Indica quante soluzioni ha l’ equazione cos x = 2 x
L’equazione può essere risolta graficamente, tacciando i grafici delle funzioni:
y = cos x e y = 2 x . Le soluzioni sono le ascisse dei punti di intersezione tra le
due curve, in questo caso, c’è un solo punto d’intersezione e quindi una sola
soluzione.
x
−3
3
−3
.
Esercizio B 2 Indica quante soluzioni ha l’ equazione sin x = x 2
L’equazione può essere risolta graficamente, tacciando i grafici delle funzioni:
y = sin x e y = x 2 . Le soluzioni sono le ascisse dei punti di intersezione tra le
due curve (ricorda che la funzione seno nell’origine è tangente alla bisettrice del
primo terzo quadrante), in questo caso ci sono due punti d’intersezione e quindi
due soluzione, una delle quali è esattamente x=0
x
2
L’equazione può essere risolta graficamente, tacciando i grafici delle funzioni:
x
y = tan x e y = . Le soluzioni sono le ascisse dei punti di intersezione tra le
2
due curve, in questo caso ce ne sono infinite, una di queste è 0.
y
3
x
−3
3
Esercizio B 3 Indica quante soluzioni ha l’ equazione tan x =
y
6
3
x
−9
−6
−3
3
−3
−6
Verifica di goniometria 18 dicembre 2008 4G
4
6
9
π
3
E’una funzione periodica di periodo 2π (vedi il grafico)
Intersezione con l’asse delle ascisse:
π
cos x + = 0 è un’equazione elementare
3
π π
il secondo membro rappresenta un
x + = + kπ
3 2
π
π
numero positivo se k ∈ N , quindi x + = ±( + kπ)
3
2
π π
x = − ± ( + kπ)
3
2
Il grafico si ottiene da quello del modulo di cosx seno,
π
traslando l’asse verticale a destra di . (Poiché la funzione
3
Esercizio C1: y = cos x +
coseno è pari cos x = cos x
y
3
x
−3
3
−3
)
Esercizio C2: y = cos(3 x) + sin(3 x) − 1
E’ una funzione periodica di periodo
2
π (vedi il grafico)
3
Intersezione con l’asse delle ascisse:
cos(3 x) + sin(3 x) − 1 = 0 è un’equazione lineare. Posto cos(3 x) = X e sin(3 x) = Y si ha il sistema :
Y = 1 − X
 2
 X + Y 2 = 1
la soluzione è: 3 x = 2kπ ∨ 3 x =
x=
π
+ 2kπ quindi
2
2
π 2
kπ ∨ x = + kπ
3
6 3
Per tracciare il grafico si utilizza il metodo dell’angolo aggiunto:
π
π
y = cos(3 x) + sin(3 x) − 1 = 2 cos(3 x − ) − 1 = 2 cos 3( x − ) − 1 (si traccia il grafico del coseno
4
12
compresso orizzontalmente di 3 e dilatato verticalmente di 2 , si sposta l’asse verticale spostato a
π
e quello orizzontale in alto di 1.
sinistra di
12
y
3
a2 + b2 = 2
cos α =
sin α =
a
a2 + b2
b
a2 + b2
=
=
π
2
⇒α=
4
2
x
−3
3
2
2
Verifica di goniometria 18 dicembre 2008 4G
−3
5
Esercizio C3: y = 1 − sin 2 x
E’ una funzione periodica di periodo π (vedi il grafico)
Intersezione con l’asse delle ascisse:
1 − sin 2 x = 0 ⇒ 1 − sin 2 x = 0 ⇒ sin x = ±1 ⇒ x =
y
3
π
+ kπ
2
x
−3
.
Per tracciare il grafico è necessario riscrivere il testo,
ricordando
l’identità
goniometrica
fondamentale:
3
y = 1 − sin 2 x = cos 2 x = cos x .
Ora si traccia il grafico del coseno e si ribaltano le parti negative
rispetto all’asse delle ascisse.
−3
sin(2 x) − 1
cos x − sin x
E’ una funzione periodica di periodo 2π (vedi il grafico)
sin 2 x − 1
= 0 è un’equazione fratta, equivalente a:
Intersezione con l’asse delle ascisse:
cos x − sin x
π
π
sin(2 x) = 1 ⇒ 2 x = + 2kπ ⇒ x = + kπ con la condizione cos x − sin x ≠ 0 , quindi nessuno dei
2
4
valori trovati è accettabile.
Per tracciare il grafico è necessario prima semplificare. Utilizzando l’identità goniometrica
fondamentale e la formula di duplicazione del seno si ha:
2 sin x cos x − cos 2 x − sin 2 x − (cos x − sin x) 2
y=
=
= sin x − cos x con la condizione
cos x − sin x
cos x − sin x
π
cos x − sin x ≠ 0 ⇒ tan x ≠ 1 ⇒ x = + kπ .
4
3π
Il grafico di y = − cos x + sin x = 2 cos( x − ) si ricava
4
con il metodo dell’angolo aggiunto:
Esercizio C4: y =
y
3
a2 + b2 = 2
x
cos α =
sin α =
a
a2 + b2
b
a +b
2
2
2
=−
2
=
3π
⇒α=
4
−3
3
2
2
−3
y
12
Esercizio D 1 Scrivi l’espressione analitica di una funzione
goniometrica sempre positiva con asintoti di equazione x = π + 2kπ
con k ∈ Z
 x
Per esempio y = 1 + tan  
 2
9
6
3
x
−9
−6
−3
3
6
9
−3
−6
Verifica di goniometria 18 dicembre 2008 4G
6
y
6
3
Esercizio D 2 Scrivi l’espressione analitica di una funzione
goniometrica dispari, periodica di periodo 3π
2
Per esempio y = sin( x)
3
x
−6
−3
3
6
9
−3
−6
y
1
Esercizio D 3 Scrivi l’espressione analitica di una funzione goniometrica
funzione con dominio [1;3]
Per esempio y = arcsin( x − 2)
x
1
2
3
−1
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