Ottobre 2016 - Iac-Cnr

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (M-Z)
Università di Roma ‘La Sapienza’
CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA
ESAME DEL 19/10/2016
NOME:
COGNOME:
MATRICOLA:
Esercizio 1
Si considerino 3 urne U1 , U2 , U3 ciscuna delle quali contiene sia palline rosse che palline nere, si
indichi inoltre con p1 , p2 , p3 la proporzione di palline rosse contenuta in ciascuna delle urne. Si
scelga a caso una delle tre urne e da questa si facciano due estrazioni con reimmissione. Calcolare
la probabilitá dei seguenti tre eventi:
a) la prima pallina estratta é rossa
b) la seconda pallina estratta é rossa
c) entrambe le palline estratte sono rosse
N.B. tutti i passaggi devono essere giustificati
Soluzione: Come detto in aula la proporzione di palline rosse nell’urna i puó essere intesa come la
probabilitá di estrarre una pallina rossa dall’urna i-esima.
Indichiamo con Ri l’evento ”esce rossa all’ i-esima estrazione” con i = 1, 2 ed indichiamo con Uj
l’eveto ”scelgo la j-esima urna”. Per ipotesi di lavoro avremo che P (Uj ) = 1/3 e P (Ri |Uj ) = pj .
a) Disintegriamo R1 tramite la partizione Uj ed otteniamo
P (R1 ) =
3
∑
P (R1 ∩ Uj ) =
j=1
3
∑
P (R1 |Uj ) P (Uj ) =
j=1
p1 + p2 + p3
3
b) Disintegriamo R2 tramite la partizione Uj ed otteniamo
P (R2 ) =
3
∑
j=1
P (R2 ∩ Uj ) =
3
∑
P (R2 |Uj ) P (Uj ) =
j=1
p1 + p2 + p3
3
c) Per R1 ∩ R2 si procede allo stesso modo tenendo conto del fatto che R1 e R2 sono indipendenti
SOLO condizionatamente a Uj ,
P (R1 ∩ R2 ) =
3
∑
j=1
P (R1 ∩ R2 ∩ Uj ) =
3
∑
j=1
1
P (R1 ∩ R2 |Uj ) P (Uj ) =
p21 + p22 + p23
3
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CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA
ESAME DEL 19/10/2016
Esercizio 2
Sia X distribuita uniformemente nellintervallo (0, 1) e sia Y una nuova variabile casuale ottenuta
con la seguente trasformazione Y = 1/(X + 1).
a) Trovare la media della variabile casuale Y
b) Determinare la funzione densitá di probabilitá della variabile casuale Y .
N.B. tutti i passaggi devono essere opportunamente giustificati
Soluzione:
a) per trovare la media della variabile Y possiamo applicare la seguente formula
∫
∫ 1
1
E(Y ) = E(g(X)) =
g(x)fX (x)dx =
dx = ln(x + 1)]10 = ln(2)
x
+
1
R
0
b) valutiamo prima la funzione di ripartizione della variabile casuale Y e poi la deriviamo

y ≤ 1/2,
 0
P (1/(X + 1) ≤ y) 1/2 < y ≤ 1
FY (y) = P (Y ≤ y) =

1
y>1
∫1
essendo P (1/(X + 1) ≤ y) = P (X ≥ 1/y − 1) = 1/y−1 dx = 2 − 1/y, si ha

 0
2 − 1/y
FY (y) =

1
y ≤ 1/2,
1/2 < y ≤ 1
y>1
{
fY (y) =
1/y 2
0
1/2 < y < 1
altrove
CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA
ESAME DEL 19/10/2016
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Esercizio 3
Il peso misurato da una bilancia elettronica é quello reale piú un errrore casuale che ha distribuzione
normale di media 0 e deviazione standard 0.01mg. Supponiamo che i risultati di 5 pesate successive
dello stesso oggetto abbiano dato i seguenti valori in mg
3.142
3.163 3.155
3.150 3.141
Determina un intervallo di confidenza per il peso reale dell’oggetto ad un livello di confidenza
a) del 95%
b) del 99%
N.B. tutti i passaggi devono essere opportunamente giustificati.
Soluzione:
Come scritto nel testo dell’esercizio il peso misurato é una variabile casuale X distributia come
una gaussiana di media incognita µ (il peso vero dell’oggetto) e varianza 0.012 . Le cinque pesate
rappresentano dunque un campione
aleatorio di taglia n = 5 estratto dalla popolazione della X.
∑5
La media campionaria X̄ = i=1 Xi = 3.1502 rappresenta uno stimatore puntuale del peso vero
dell’oggetto, per ottenere un intevallo di confidenza al 95% e al 99% bisogna trovare nella tavola
zα/2 = z0.025 = 1.96 e zα/2 = z0.005 = 2.58 rispettivamente. Utilizzando la formula degli IC per la
media di una normale con σ nota si ottiene
√
√
a) [X̄ − σzα/2 / nX̄ + σzα/2 / n] = [3.1414, 3.1590]
√
√
b) [X̄ − σzα/2 / nX̄ + σzα/2 / n] = [3.1387, 3.1617]
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CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA
ESAME DEL 19/10/2016
Domanda 1 Si descrivano le disposizioni senza ripetizione di n oggetti distinti su k posti (n ≥ k)
in uno schema di estrazione da urna.
CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA
ESAME DEL 19/10/2016
Domanda 2 Si enunci la legge debole dei grandi numeri e possibilmente la si dimostri.
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CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA
ESAME DEL 19/10/2016
Domanda 3 si giustifichi il fatto che nel terzo esercizio l’intervallo di confidenza al punto b) (del
99 %) sia risultato piú ampio dell’intervallo di confidenza al punto a) (del 95%).