Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O)
Università di Roma ‘La Sapienza’
CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA
ESAME DEL 17/06/2015
NOME:
COGNOME:
MATRICOLA:
Esercizio 1 Un sistema di servizio é composto da tre “sportelli” che, per comoditá, indichiamo
con S1 , S2 ed S3 . Ipotizziamo che ogni utente, rivolgendosi al sistema, venga dirottato verso uno
dei tre sportelli in maniera casuale per essere servito. Ipotizziamo, inoltre, che ciascuno dei tre
sportelli abbia tempi di risposta diversi e cioé che il tempo necessario per servire un generico utente
presso uno dei tre sportelli sia descritto da una variabile casuale esponenziale di parametri λ1 , λ2
e λ3 diversi tra loro.
a) Scrivere in funzione di λ1 , λ2 e λ3 la probabilitá che un utente impieghi piú di 60 sec per essere
servito.
b) Scrivere in funzione di λ1 , λ2 e λ3 la probabilitá che l’utente sia stato servito dal primo sportello
sapendo che lo stesso é stato servito in un tempo maggiore di 60 sec.
N.B. tutti i passaggi devono essere opportunamente giustificati
Soluzione:
a) Indichiamo con T la variabile casuale tempo di servizio e con Si l’evento “l’utente é servito dallo
sportello i-esimo”. Per ipotesi di lavoro abbiamo P (Si ) = 1/3, per ogni i = 1, 2, 3. Applicando la
formula di disintegrazione avremo:
P (T > 60)
= P (T > 60|S1 )P (S1 ) + P (T > 60|S2 )P (S2 ) + P (T > 60|S3 )P (S3 )
∫
∫
∫
λ1 +∞ −λ1 t
λ2 +∞ −λ2 t
λ3 +∞ −λ3 t
=
e
dt +
e
dt +
e
dt
3 60
3 60
3 60
1 −λ1 60
=
(e
+ e−λ2 60 + e−λ3 60 )
3
b) Applicando il teorema di Bayes avremo
P (S1 |T > 60) =
P (S1 )P (T > 60|S1 )
e−λ1 60
= ... = −λ1 60
P (T > 60)
e
+ e−λ2 60 + e−λ3 60
1
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CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA
ESAME DEL 17/06/2015
Esercizio 2 Sia X una v.c. di Bernoulli con parametro 0.5 e sia Y una v.c. tale che P (Y = 1|X =
0) = 0.1, P (Y = 2|X = 0) = 0.4, P (Y = 3|X = 0) = 0.5 e P (Y = 1|X = 1) = 0.5, P (Y = 2|X =
1) = 0.4, P (Y = 3|X = 1) = 0.1.
a) Si determinino le funzioni massa di probabilitá di (X,Y) e di Y.
b) Si calcolino la media e la varianza di Y.
c) Si stabilisca se X e Y sono indipendenti e/o identicamente distribuite, motivando le risposte.
d) Si calcoli la covarianza
e) Si dica come é distribuita la v.a. Z = X/Y
N.B. tutti i passaggi devono essere opportunamente giustificati
Soluzione:
a) applicando la formula sulle probabilitá composte P (X = i, Y = j) = P (X = i)P (Y = j|X = i),
possiamo riempire la tabella che rappresenta la funzione massa di probabilitá della v.a. doppia
richiesta
P (x, y) Y = 1 Y = 2 Y = 3
X=0
0.0500 0.2000 0.2500 0.5
X=1
0.2500 0.2000 0.0500 0.5
0.3
0.4
0.3
Nel margine inferiore rimane la funzione massa di probabilitá della v.a. Y .
b)
E(Y ) =
∑
yP (Y = y) = 0.3 + 2 0.4 + 3 0.3 = 2
V ar(Y ) = E(Y 2 ) − E(Y )2 = 4.6 − 4 = 0.6
y
c)
Le due variabili non sono indipendenti per costruzione, né sono identicamente distribuite.
d)
Valutiamo prima il valor medio del prodotto E(XY ) = 0.8, pertanto avremo
Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) = 0.8 − 2/2 = −0.2
e)
La distribuzione della nuova variabile casuale, funzione della coppia (X, Y ), é la seguente
P (Z = 0) = 0.5, P (Z = 1) = 0.25, P (Z = 1/2) = 0.2, P (Z = 1/3) = 0.05
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ESAME DEL 17/06/2015
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Esercizio 3 Durante l’ultimo anno un’azienda ha introdotto l’orario “flessibile” (ogni impiegato
puó, entro certi limiti, scegliere l’orario di lavoro piú adatto alle sue esigenze). Il numero medio
di giorni di assenza per impiegato, nei tre anni precedenti, é stato di 6.3 giorni all’anno. Per
verificare se l’introduzione dell’orario flessibile ha ridotto l’assenteismo, come alcuni dirigenti hanno
sostenuto, viene estratto un campione casuale di 100 impiegati, e viene registrato il numero medio
di giorni di assenza per ciascun impiegato nel corso dell’ultimo anno. Indicato con X il numero
dei giorni di assenza per ciscun impiegato si é osservato
100
∑
i=1
xi = 550
100
∑
x2i = 3866
i=1
a) Stimare, giustificando la scelta dello stimatore, la varianza dei giorni di assenza
b) Si puó affermare, ad un livello di significativitá pari a 0.5% che l’orario flessibile riduce
l’assenteismo? (si tenga conto che t0.05,99=1.66 )
N.B. tutti i passaggi devono essere opportunamente giustificati
Soluzione:
a)
Utilizziamo la varianza campionaria poiché esso é uno stimatore non distorto della varianza della
popolazione
∑100 2
100
X − 100X̄ 2
1 ∑
S2 =
(Xi − X̄)2 = i=1 i
= 8.49
n − 1 i=1
99
b)
H0 : µ = 6.3
H1 : µ < 6.3
eseguiamo il test ad una coda per µ con σ incognito, per il quale (essendo il campione casuale
molto numeroso) la statistica da usare é
X̄ − µ0
√ ∼ T99
S/ n
Dai dati si ricava toss = 5.5−6.3
2.91/10 = −2.74, per cui il valore osservato cade nella regione di rifiuto
{t : t < −t0.05,99 }, perció l’ipotesi nulla é da rifiutare e possiamo concludere che c’é un’ evidenza
sperimentale a favore dell’alternativa.
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ESAME DEL 17/06/2015
Domanda 1 Si enunci e si dimostri la legge debole dei grandi numeri
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ESAME DEL 17/06/2015
Domanda 2 Si descriva una variabile casuale gaussiana o normale.
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ESAME DEL 17/06/2015
Domanda 3 Si dia la definizine di intervallo di confidenza per la stima di un parametro incognito
di una popolazione.