Esame di Matematica e Statistica del 20-12-2005
Corso di Laurea in Scienze Biologiche e della Biodiversita’
MATEMATICA
Esercizio 1. Studiare la funzione (disegnandone il grafico approssimativo)
f (x) =
x
ex2
Determinare in particolare eventuali asintoti, punti di massimo e minimo
relativo e assoluto e punti di flesso.
Esercizio 2. Calcolare il seguente integrale
Z
2
−1
x
dx
ex2
Esercizio 3. Calcolare il seguente limite
√
x − 1 + cos( x)
lim
x→0+
sen(2x)
Esercizio 4. Nello spazio, con coordinate cartesiane ortogonali (x, y, z) siano
dati i punti P1 = (−1, 2, 0), P2 = (0, 1, 0) e P3 = (4, −1, −2). Si determini
a) un’equazione parametrica della retta passante per P1 e P3 ;
b) l’equazione del piano γ passante per P1 , P2 e P3 ;
c) il prodotto vettoriale P1 P2 × P1 P3 .
d) Dire se l’angolo tra i vettori P1 P2 e P1 P3 e’ acuto, retto o ottuso.
1
STATISTICA
Esercizio 1. Le probabilita’ che tre studenti superino l’esame di statistica
sono 12 , 13 e 34 , rispettivamente. Si determini
a) la probabilita’ che tutti e tre gli studenti superino l’esame;
P = ......................
b) la probabilita’ che nessuno dei tre studenti superi l’esame;
P = ......................
c) la probabilita’ che un solo studente superi l’esame;
P = ......................
d) Se un solo studente ha superato l’esame, quale e’ la probabilita’ che questo
sia stato il secondo dei tre?;
P = ......................
Esercizio 2. Il numero di piccioni X che si posano ogni giorno sul tetto del
dipartimento di matematica assume la seguente distribuzione di probabilita’:
P (X = 0) = 0.02,
P (X = 1) = 0.10,
P (X = 4) = 0.25,
P (X = 2) = 0.20,
P (X = 5) = 0.20,
P (X = 6) = 0.03.
Si calcoli
a) il numero medio di piccioni µ = E(X) = ...................
b) La varianza V ar(X) = ...................
c) Lo scarto quadratico medio σ = ...................
d) la probabilita’ che X ∈ [µ − σ, µ + σ] = ...................
2
P (X = 3) = 0.20,
Esercizio 3. Nel seguente campione numerico si indichi con x il primo
carattere e con y il secondo.
Campione: (3,1) 2 volte, (0,2) 1 volta, (4,3) 2 volte, (3,0) 3 volte.
Si calcolino le seguenti stime campionarie:
a) media x̄ = .........................
b) media ȳ = .........................
c) varianza V ar(x) = .........................
d) varianza V ar(y) = .........................
e) covarianza Cov(x, y) = .........................
Si determini la retta di regressione lineare rispetto a x;
Rx = ........................................................................................
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