Studio di una funzione logaritmica ( ) ( )2

Studio di una funzione logaritmica
Considerata la funzione
f  x 
log 2 x
x
studiarla precisandone il dominio di definizione, il tipo di funzione, gli eventuali zeri; studiare i limiti agli
estremi del dominio e precisare l’esistenza di eventuali asintoti per il diagramma della funzione.
Precisare per la funzione la monotonìa e l’esistenza di eventuali punti di massimo o minimo relativi o
assoluti, la concavità e la convessità. Tracciare il diagramma della funzione.
Elaborazioni
Dominio
La funzione è definita per ogni x reale positivo: A=]0;+[.
Classificazione
La funzione è trascendente logaritmica (mista), è continua e dotata di derivate di qualsiasi ordine in
ogni punto del dominio.
Zeri
La funzione si annulla solo nel punto x=1.
Segno
La funzione è positiva per x1
Limiti ed eventuali asintoti
log 2 x   

    .
lim


x 0
0
x
0
2
Il valore ottenuto indica che l’asse delle ordinate è asintoto verticale da destra.
log 2 x 
il limite si presenta in forma indeterminata e vale zero perché l’infinito al

x 
x

lim
numeratore pur non avendo ordine risulta essere inferiore rispetto a qualsiasi ordine r prefissato;
eseguiamo comunque il calcolo applicando la regola di de l’Hôpital.
log 2 x H .
lim
 lim
x 
x 
x
2 log x 
1
1
1
H.
log
x
0
x  2 lim
 2 lim x  2   0
x  1
x 
x
1
Il valore ottenuto indica che l’asse delle ascisse è asintoto orizzontale per x +.
Monotonia, massimi e minimi relativi o assoluti
1
2 log x   x  log 2 x 1
2 log x  log 2 x
x

La funzione derivata prima è:
.
x2
x2
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La funzione è derivabile in ogni punto del dominio. Studiamo la disequazione f '  x   0 .
Osserviamo che il denominatore è strettamente positivo, dunque si tratta di studiare la disequazione
2log x  log 2 x  0 che scriviamo nella forma log x  log x  2   0 .
La disequazione è soddisfatta per i valori di x tali che 0  log x  2 , quindi per i valori reali
1  x  e2 .
Risulta
f ' x  0
nei punti x1  1 , x2  e2 ;
f ' x  0
nell’intervallo 1;e2  , dove la funzione è strettamente crescente;
f '( x)  0
in ciascuno degli intervalli ]0;1[,  e2 ;   , dove la funzione è strettamente
decrescente.
Il punto x1  1 è di minimo assoluto; il punto x2  e2 è di massimo relativo proprio e risulta
f e
2

 log e 

2 2
e
2

4
.
e2
Concavità, convessità e punti di flesso
La funzione derivata seconda è:
1 2
2
2
  2 log x    x   2 log x  log x   2 x 2
x
x
f ''  x   
 3 1  3log x  log 2 x 
4
x
x
Risulta
log 2 x  3log x  1  0 se e solo se log x 



dunque se  x  e
3 5
2
3 5
, quindi se
2

3 5  
3 5 
 log x 
   log x 
,
2  
2 

3 5 
 
2

x

e
 
 . Per quanto concerne il segno della derivata seconda si ha:
 

f ''( x)  0 per
3 5 
3 5 


 0  x  e 2    x  e 2  ,

 

f ''( x)  0 , per
e
3 5
2
 xe
3 5
2
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.
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
La funzione è convessa in ciascuno degli intervalli  0;e

3 5
2

,

 3 5

 e 2 ;   e concava nell’intervallo


3 5
3 5
 3 5 3 5 
2
2
2
2
.
Il
punto
è
di
flesso
discendente,
il
punto
è di flesso ascendente e
e
;
e
x

e
x

e


3
4


in entrambi la tangente inflessionale è obliqua.
Diagramma della funzione
Il diagramma è riportato di seguito.
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