D 11 22 teorema Lagrange 1 9

Teorema di Lagrange
Analisi
enunciato
Se una funzione ( ) è:
continua nell’intervallo chiuso e limitato [ , ]
derivabile nei punti interni dell’intervallo ( , )
allora esiste almeno un punto c interno
all’intervallo ( , ) tale che:
( )=
( )
( )
P
B
( )
A
( )
( )
dimostrazione
Consideriamo la funzione ausiliaria ( ) tale che:
( )= ( )
( )
( )
( )
(
)
Si osservi che:
( ) è continua in [a, b] e derivabile nei punti interni per ipotesi
( ) e
(
( )
( )
sono costanti e quindi sono continue e derivabili in tutto
) è un binomio di primo grado e quindi è una funzione continua e derivabile in tutto
Verifichiamo che ( ) soddisfa le tre ipotesi del teorema di Rolle:
1. ( ) è continua in [a, b] perché è una combinazione lineare di funzioni continue in [a, b]
2. ( ) è derivabile nei punti interni di ( , ) perché è una combinazione lineare di funzioni
derivabili in ( , )
3. calcoliamo ( ) nel punto e nel punto cioè ( ) e ( ) :
( )
( )
( )
( )
( )= ( )
( )
(
)= ( )
( )
0 =
( )= ( )
quindi
( )
( )
(
( )
(
)
)=
( )
( )
( )+ ( ) =
( )= ( )
Applichiamo il teorema di Rolle alla ( ).
Si ha che:
esiste almeno un punto interno all’intervallo
( )=
( , ) tale che
( )=
Calcoliamo la derivata prima di ( ):
perché
Calcoliamo la derivata di ( ) nel punto c e
poniamola uguale a zero:
Portiamo a secondo membro la frazione, si ottiene
così la tesi:
( )
( )
[ ( )] = 0
( )=
cioè
( )=
( )
( )
( )
( )
e
( )
( )
)] = 1
[(
( )
=0
( )
=0
( )
in sintesi: si introduce la funzione ausiliaria ( ) e si verifica che essa soddisfa le tre ipotesi del teorema di
Rolle. Si applica il teorema di Rolle alla ( ) e si giunge alla tesi del teorema di Lagrange.
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Teorema di Lagrange
Analisi
significato geometrico
Riportiamo per comodità l’enunciato del teorema di Lagrange:
Se una funzione ( ) è:
continua nell’intervallo chiuso e limitato [ , ]
derivabile nei punti interni dell’intervallo ( , )
allora esiste almeno un punto c interno
all’intervallo ( , ) tale che:
Il primo membro ( ) , per il significato
geometrico di derivata in un punto, rappresenta il
coefficiente angolare
della retta tangente alla
funzione nel punto P di ascissa ed ordinata ( ),
cioè:
( )=
( )
( )
P
( )
( )=
Il secondo membro
coefficiente angolare
i punti A e B, cioè:
( )
( )
( )
rappresenta il
della retta passante per
( )
( )
A
=
La tesi del teorema è una uguaglianza di due
coefficienti angolari:
=
Ciò significa che le rette ed sono parallele.
Da un punto di vista geometrico il teorema di
Lagrange afferma che nell’intervallo aperto ( , )
esiste almeno un punto tale che la retta
tangente alla funzione nel punto P è parallela alla
retta passante per i punti A e B.
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B
( )
P
B
( )
( )
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A
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