Teorema di Lagrange Analisi enunciato Se una funzione ( ) è: continua nell’intervallo chiuso e limitato [ , ] derivabile nei punti interni dell’intervallo ( , ) allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo ( , ) tale che: ( )= ( ) ( ) P B ( ) A ( ) ( ) dimostrazione Consideriamo la funzione ausiliaria ( ) tale che: ( )= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Si osservi che: ( ) è continua in [a, b] e derivabile nei punti interni per ipotesi ( ) e ( ( ) ( ) sono costanti e quindi sono continue e derivabili in tutto ) è un binomio di primo grado e quindi è una funzione continua e derivabile in tutto Verifichiamo che ( ) soddisfa le tre ipotesi del teorema di Rolle: 1. ( ) è continua in [a, b] perché è una combinazione lineare di funzioni continue in [a, b] 2. ( ) è derivabile nei punti interni di ( , ) perché è una combinazione lineare di funzioni derivabili in ( , ) 3. calcoliamo ( ) nel punto e nel punto cioè ( ) e ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ( ) ( ) ( )= ( ) ( ) 0 = ( )= ( ) quindi ( ) ( ) ( ( ) ( ) )= ( ) ( ) ( )+ ( ) = ( )= ( ) Applichiamo il teorema di Rolle alla ( ). Si ha che: esiste almeno un punto interno all’intervallo ( )= ( , ) tale che ( )= Calcoliamo la derivata prima di ( ): perché Calcoliamo la derivata di ( ) nel punto c e poniamola uguale a zero: Portiamo a secondo membro la frazione, si ottiene così la tesi: ( ) ( ) [ ( )] = 0 ( )= cioè ( )= ( ) ( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) )] = 1 [( ( ) =0 ( ) =0 ( ) in sintesi: si introduce la funzione ausiliaria ( ) e si verifica che essa soddisfa le tre ipotesi del teorema di Rolle. Si applica il teorema di Rolle alla ( ) e si giunge alla tesi del teorema di Lagrange. v 1.9 © 2018 - www.matematika.it 1 di 2 Teorema di Lagrange Analisi significato geometrico Riportiamo per comodità l’enunciato del teorema di Lagrange: Se una funzione ( ) è: continua nell’intervallo chiuso e limitato [ , ] derivabile nei punti interni dell’intervallo ( , ) allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo ( , ) tale che: Il primo membro ( ) , per il significato geometrico di derivata in un punto, rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione nel punto P di ascissa ed ordinata ( ), cioè: ( )= ( ) ( ) P ( ) ( )= Il secondo membro coefficiente angolare i punti A e B, cioè: ( ) ( ) ( ) rappresenta il della retta passante per ( ) ( ) A = La tesi del teorema è una uguaglianza di due coefficienti angolari: = Ciò significa che le rette ed sono parallele. Da un punto di vista geometrico il teorema di Lagrange afferma che nell’intervallo aperto ( , ) esiste almeno un punto tale che la retta tangente alla funzione nel punto P è parallela alla retta passante per i punti A e B. v 1.9 B ( ) P B ( ) ( ) © 2018 - www.matematika.it A 2 di 2
