Alessandro Benedetti
UniCAM-SSIS-FIM.11/0
Appunti di statistica inferenziale – Versione provvisoria
(v. allegato foglio Excel LDS11_STIMA.xls)
Elementi di teoria della stima dei parametri
Popolazione
Statistiche
Campione 1
Parametri
da stimare
q1, q2, …
Estrazione
casuale
Campione 2
Stimatori T1, T2, …
(Gli stimatori sono
variabili casuali)
…
Campione n
Stime puntuali e stime di intervallo
Terminologia:
Intervallo fiduciario o di confidenza (q1, q2)
Livello fiduciario (1 - a)
Livello di significatività a
Scelto lo stimatore T, del quale si conosce la distribuzione di probabilità, è possibile determinare
due valori T1 e T2 tali che
P(T1 § T § T2 ) = (1 - a)
Ma essendo T dipendente solo da q, si può scrivere
P(q1 § q § q2 ) = (1 - a)
Intervallo fiduciario per la media
Affronteremo qui solo il caso in cui la popolazione sia normalmente distribuita e la varianza sia
nota.
Nel caso in cui la varianza non sia nota, caso molto frequente, è necessario far riferimento a
conoscenze più avanzate (distribuzione di Student), per cui si rimanda ad altri testi.
Nel caso più generale (distribuzione della popolazione non normale e varianza incognita), si usano
metodi approssimati; per campioni sufficientemente numerosi il teorema limite centrale permette di
assumere che lo stimatore utilizzato abbia una distribuzione normale.
Dunque, estratto un campione di n individui da una popolazione normalmente distribuita a varianza
nota, la media campionaria X è una variabile casuale con distribuzione normale.
X −µ
La variabile normale standardizzata è Z =
. Assegnato il livello di fiducia si tratta di trovare
σ/ n
i valori z1 e z2 per cui P(z1 § Z § z2 ) = (1 - a).
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Tra gli infiniti valori possibili, bisogna scegliere z1 e z2 in modo da minimizzare l’intervallo z2 - z1
Per motivi di simmetria, z1 = -Zc e z2 = Zc
.
P(Z § -Zc) = F(Z = -Zc ) = a/2
P(Z § Zc) = F(Z = Zc ) = 1 - a/2
Sostituendo il valore della variabile normalizzata si ha
X −µ
P(-zc §
§ zc ) = (1 - a)
σ/ n
E riscrivendo dopo qualche passaggio matematico:
P( X − z c
σ
n
§ m § X + zc
σ
n
) = (1 - a)
Esercitazione in Excel
Supponiamo di disporre i dati del campione nell’area A21:A30, simulando i valori con la funzione
=CASUALE().
In questa esercitazione faremo uso della denominazione di caselle di Excel con nomi significativi.
A20: Dati
A21: =CASUALE()
Trascinare A21 fino a A30
Marcare A20:A30; Inserisci | Nome | Crea … Selezionare Riga superiore; clic su OK; in questo modo la
zona A21:A30 può essere richiamata usando il nome Dati.
A4: Sintesi dei dati (Grassetto)
A5: n
A6: Media (Allineare A5:A6 a destra)
B5:
=CONTA.NUMERI(Dati)
B6:
=MEDIA(Dati)
A7: Input dell’utente (Grassetto)
A8: Dev_Std
A9: Liv_Confidenza
(Allineare A8:A9 a destra)
A10: Output (Grassetto)
A11: Err_Std
A12: z
A13: Metà_Intervallo
A14: Liv_Confidenza_Excel (Allineare A11:A14 a destra)
A15: Intervallo di confidenza (Grassetto)
A16: Limite inferiore
A17: Limite superiore
(Allineare A16:A17 a destra)
Allargare opportunamente la colonna A.
Nelle prossime operazioni, finché non sarà completata la definizione dei nomi e l’immissione di
dati di prova, può comparire il messaggio d’errore #NOME?
B11: =Dev_Std/RADQ(n)
B12: =INV.NORM.ST(0,5+Liv_Confidenza/2)
B13: =z*Err_Std
B14: CONFIDENZA(1-Liv_Confidenza;Dev_Std;n)
B16: =Media - Metà_Intervallo
B17: =Media + Metà_Intervallo
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Tenendo premuto il tasto Ctrl, marcare con il mouse le zone A5:B6 e successivamente A8:B9 e
infine A11:B14. Questa è la modalità per selezionare zone non contigue.
Selezionare Inserisci | Nome | Crea e selezionare Colonna sinistra; clic su OK.
In tal modo si assegnano alle colonne di destra i nomi delle colonne di sinistra; se i nomi sono stati
digitati correttamente, dovrebbero scomparire i messaggi di errore.
Le caselle B13 e B14 dovrebbero avere lo stesso valore; infatti è stata usata, a scopo di verifica, la
funzione statistica Excel
CONFIDENZA(alfa,dev_standard,dimens)
Alfa è il livello di significatività utilizzato per calcolare il livello di confidenza. Il livello di confidenza è uguale
a 100*(1 - alfa)% o, in altre parole, un alfa di 0,05 indica un livello di confidenza del 95%.
Dev_standard è la deviazione standard della popolazione per l'intervallo di dati e si presuppone sia nota.
Dimens è la dimensione del campione.
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