ANALISI MATEMATICA I: DOMANDE DI TEORIA LE DERIVATE

ANALISI MATEMATICA I: DOMANDE DI TEORIA
LE DERIVATE
Oltre alle definizioni richieste, fornire sempre degli esempi.
Quando è richiesto di verificare se una proposizione è vera:
• se la proposizione è vera, bisogna dimostrarla. Meglio poi proporre degli esempi.
• se la proposizione è falsa, bisogna fornire almeno un controesempio che lo mostri.
1. Data una funzione f : A ⊆ R → R e un punto x0 ∈ A, scrivere la definizione di derivata,
derivata destra, derivata sinistra di f in x0 . Fornire degli esempi di funzioni che non
hanno derivata in x0 e di funzioni che hanno solo la derivata destra o la derivata sinistra
in x0 .
2. Scrivere e dimostrare la prima formula dell’incremento finito.
3. Esistono funzioni derivabili ma non continue in un punto?
Esistono funzioni continue ma non derivabili in un punto?
Esistono funzioni derivabili su un intervallo, ma la cui derivata f 0 non è continua su
tutto l’intervallo?
4. Enunciare i Teoremi sull’algebra delle derivate e dimostrarli.
In particolare, dimostrare che se g è derivabile in x0 e g(x0 ) 6= 0, allora
g 0 (x
1
g
è derivabile
0)
in x0 e la sua derivata è − g2 (x0 ) . (Suggerimento: usare la definizione di derivata).
Utilizzando questo risultato, dire sotto quali ipotesi anche il rapporto
ricavarne la derivata.
f
g
è derivabile, e
5. Enunciare e dimostrare il Teorema di derivazione di funzione inversa.
Calcolare poi la derivata di arcsin x, arccos x, loga x.
6. Enunciare e dimostrare il Teorema di Fermat.
7. Nel caso in cui f : [a, b] → R ha un punto di estremo locale in x = a e f ha derivata
destra in x = a, è possibile concludere che f+0 (a) = 0?
8. Enunciare e dimostrare i teoremi di Rolle e Lagrange. Spiegare le analogie e le differenze
fra questi teoremi.
9. Enunciare e dimostrare alcune applicazioni del Teorema di Lagrange.
10. Illustrare e dimostrare i legami fra monotonia e derivabilità di una funzione.
11. Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:
(a) f ha un minimo locale in x0
(b) f derivabile in x0 e f 0 (x0 ) = 0
=⇒ f 0 (x0 ) = 0.
=⇒
x0 è un punto di estremo locale di f .
(c) Sia f una funzione definita su (−1, 1), tale che f (x) ≥ 0 per ogni x ∈ (−1, 1) e
f (1/2) = 0 =⇒ x = 1/2 è un punto di minimo assoluto di f in (−1, 1).
1
(d) Sia f una funzione continua e derivabile su [a, b], tale che f 0 (x) ≥ 0 per ogni
x ∈ [a, b].
=⇒ x = a è un punto di minimo assoluto e x = b è un punto di
massimo assoluto di f su [a, b].
(e) Sia
f (x) =
x+2
x2 − 1
x≤1
x > 1.
Allora
• f è crescente su R.
• f ha un minimo locale in x = 1
• f ha un massimo locale in x = 1.
(f) f strettamente crescente e derivabile su (a, b) =⇒
2
f 0 (x) > 0, per ogni x ∈ (a, b).