25/01/2002 - Università degli studi di Pavia

UNIVERSITA’ DI PAVIA
Facoltà di Economia
Matematica Generale (Corso Base) L/Z
Tema del 25/01/2002
Parte obbligatoria
ESERCIZIO 1 Studiare la seguente funzione
f (x) = x log x ¡ 2x
e tracciarne il gra…co.
ESERCIZIO 2 Dare la de…nizione di asintoto orizzontale, verticale, obliquo. Determinare poi l’asintoto obliquo della
funzione
µ
¶
1
f (x) = x log e +
:
x
ESERCIZIO 3 Sia f derivabile in x0 2 (a; b) : Dimostrare che è:
f 0 (x0 ) > 0 =) f crescente in x0 :
ESERCIZIO 4 Calcolare
lim
x!+1
µ
3
1+
2x
¶3x
ESERCIZIO 5 Sia G (x) una primitiva della funzione f (x) ; continua su [a; b] : Dimostrare che risulta
G (b) ¡ G (a) : Calcolare poi
Z
1
0
e2x ¡ 1
dx:
ex
Rb
a
f (x) dx =
Parte facoltativa
ESERCIZIO A Calcolare l’area della regione di piano cartesiano generata dalle soluzioni del seguente sistema
8
< y ¡ log x · 0
y + x¡ 1 ¸ 0
:
x · 2:
ESERCIZIO B Enunciare e dimostrare il Teorema di Lagrange (o del Valore Medio).
ESERCIZIO C Rappresentare sul piano cartesiano il dominio della funzione
f (x; y) =
r
x¡y
:
y
Calcolare poi le derivate parziali (del primo ordine) della funzione.
ESERCIZIO D Enunciare e dimostrare il Teorema Fondamentale del Calcolo Integralele (Teorema di Torricelli-Barrow).
1
UNIVERSITA’ DI PAVIA
Facoltà di Economia
Matematica Generale (Corso Base) L/Z
Soluzione del Tema del 25/01/2002
Parte obbligatoria
ESERCIZIO 1
f (x) = x log x ¡ 2x
Dominio:
T = (0; +1) ;
Segno: f (x) ¸ 0 () x ¸ e2 , quindi
£
¢
I P = e2 ; +1 ;
Limiti:
lim f (x)
= 0
lim f (x)
= +1
x!0+
x!+1
Per veri…care se esiste un asintoto obliquo calcolo
f (x)
= +1
x!+1 x
lim
quindi non esiste alcun asintoto obliquo.
Derivata prima:
Da cui segue che in x = e vi è un minimo.
Derivata seconda:
f 0 (x) = log x ¡ 1 ¸ 0 () x ¸ e
f 00 (x) =
1
>0
x
8x 2 T
quindi la funzione è sempre convessa sul suo dominio.
ESERCIZIO 2
¶
µ
1
:
f (x) = x log e +
x
Innanzitutto
1
ex + 1
=
>0
x
x
¶
µ
1
[ (0; +1) :
T = ¡1; ¡
e
e+
da cui
Quindi essendo
lim f (x) = §1;
x!§1
e
µ
¶
f (x)
1
lim
= lim log e +
=1= m
x!§1 x
x!§1
x
"¡ ¡
¢
¢#
·
µ
¶
¸
log e + x1 ¡ 1
1
1
¡ x = [1 ¢ 0] = lim
lim [f (x) ¡ mx] = lim x log e +
= =q
1
x!§1
x!§1
x!§1
x
e
x
(applicando il teorema dell’Hospital). La funzione ammette asintoto obliquo di equazione
1
y =x+ :
e
ESERCIZIO 4
lim
x!+1
µ
3
1+
2x
¶3x
= [11 ] = lim e3x log(
x!+1
2
2x+3
2x
):
Considerando quindi
lim 3x log
x!+1
µ
2x + 3
2x
¶
¡ 2x+3 ¢
log
= [1 ¢ 0] = lim
2x
1
3x
x!+1
e quindi
lim
x!+1
µ
3
1+
2x
¶3x
· ¸
9x2
0 H
¡
= lim
=
x!+1 2x 2 1 +
0
3
2x
¢=
9
2
9
= e2 :
ESERCIZIO 5
Z
1
0
e2x ¡ 1
dx =
ex
Z
1
0
e x dx ¡
Z
1
0
£
¤1
¡
¢
e ¡x dx = [e x ]10 ¡ ¡e¡x 0 = e ¡ 1 ¡ ¡e ¡1 + 1 = e + e ¡1 ¡ 2:
Parte facoltativa
ESERCIZIO A
8
8
< y ¡ log x · 0
< y · log x
y + x ¡ 1 ¸ 0 ()
y ¸ ¡x + 1 :
:
:
x · 2:
x · 2:
L’area in questione si ottiene sommando l’area del triangolo formato dall’asse x, dalla retta y = ¡x + 1 e dalla retta x = 2;
che è pari ad 21 ; all’area sottesa dalla curva y = log x nell’intervallo [1; 2], che è pari a
Z
E’ quindi necessario calcolare
da cui
Quindi l’area richiesta è
Z
Z
2
1
2
log xdx:
1
log xdx = x log x ¡
Z
x¢
log xdx = [x (log x ¡ 1)] 21 = 2 (log 2 ¡ 1) ¡ 1 ¡ (¡1) = 2 log 2 ¡ 1
1
+
2
Z
2
log xdx =
1
1
1
+ 2 log 2 ¡ 1 = 2 log 2 ¡ :
2
2
ESERCIZIO C
f (x; y) =
il cui dominio è dato da
ovvero
che equivale a
1
dx = x (log x ¡ 1) + c
x
r
x¡y
¸ 0;
y
½
x¡y ¸ 0
[
y>0
½
y·x
[
y>0
x¡y
y
y 6= 0
½
x¡y ·0
y<0
½
y¸x
y<0
che coincide con la regione di piano compresa fra la bisettrice y = x e l’asse delle x (quest’ultimo escluso).
Le derivate parziali sono
fx0 (x; y) =
fy0 (x; y) =
1
q
2
x¡y
y
2
1
q
x¡y
y
¢
¢
1
1
= q
y
2y x¡y
y
¡y ¡ (x ¡ y)
¡x
=
q
x¡y
y2
2
2y
y
3