(e soluzione scritta in versione preliminare) della prova

Problema
Calcolare il modulo e la direzione del campo elettrico generato nei punti P’ e P da un cilindro
carico con densità uniforme , da considerarsi di lunghezza infinita, con al suo interno una cavità
cilindrica. La sezione del solido è riportata in figura, il raggio del cilindro è R, e il cilindro cavo di
raggio r è tangente a quello grande in Q.
Si determini la velocità minima in P’ di una carica q = 1,010-9 C di massa m= 10-10 g per
raggiungere il punto Q .
Si ha PO perpendicolare a OQ, OQP’ allineati, OP=OP’=2R, R=3r, = 1mC/m3, R=2
R
O
P
r
Q
P’
Soluzione (versione preliminare)
Orientiamo l’asse x parallelamente ad OP e l’asse y parallelamente ad OP’ e denotiamo con x il
versore dell’asse x mentre y denota il versore dell’asse y.
Facciamo ricorso alla utile schematizzazione in cui il cilindro cavo viene descritto come
sovrapposizione di due cilindri pieni: uno, che denotiamo con “+”, con raggio R e densita’ di carica
, e l’altro, che denotiamo con “-“, con raggio r e densita’ di carica -.
Sebbene la distribuzione di carica nel suo complesso non abbia simmetrie tali da rendere fruttuosa
l’applicazione del teorema di Gauss, usando la nostra schematizzazione ed il principio di
sovrapposizione finiamo con il calcolare due campi, ciascuno dei quali puo’ invece essere
analizzato efficacemente con l’uso del teorema di Gauss.
Per un singolo cilindro infinito con base di raggio  e densita’ di carica  il campo generato in un
punto esterno al cilindro a distanza D dall’asse del cilindro e’ dato da (come si verifica facilmente
applicando il teorema di Gauss)
E=(2)z/(20D),
dove z e’ il versore radiale (ortogonale all’asse del cilindro e diretto dall’asse verso il punto in cui si
sta calcolando il campo).
Alla luce di queste considerazioni troviamo che il campo in P’ ha un contributo
E- (P’)=-(r2)y/(20[R+r]),
dovuto al cilindro di raggio r carico con densita’ -, ed un contributo
E+ (P’)=(R2)y/(20[2R]),
dovuto al cilindro di raggio R carico con densita’ .
Quindi il campo totale in P’ e’
E(P’)=[R2/(2R)-r2/(R+r)] y/(20)
Il campo in P ha un contributo
E+ (P)=(R2)x/(20[2R]),
dovuto al cilindro di raggio R carico, ed e’ conveniente scomporre il contributo
in P dovuto al cilindro di raggio r in due pezzi
E-x (P)=-(2R/d)(r2)x/(20d),
E-y (P)=(2r/d)(r2)y/(20d)
denotando con “d” la distanza tra il centro del cilindro con densita’ di carica - ed il punto P
d=[(2r)2+(2R)2]1/2
(ed osservando che il fattore di proiezione sull’asse x e’ -2R/d mentre il fattore di proiezione
sull’asse y e’ 2r/d).
Quindi il campo totale in P e’
E(P)=[R2/(2R)-2Rr2/d2)]x/(20)+(2r/d)(r2)y/(20d).
La velocita’ minima in P’ richiesta dalla traccia del problema, che possiamo denotare con vi, dovra’
essere tale che partendo con tale velocita’ la particella deve raggiungere Q con velocita’ nulla.
Quindi partendo con quella velocita’ minima la particella raggiungera’ Q dopo aver perso una
energia cinetica mvi2/2 che ovviamente dovra’ corrispondere all’energia potenziale acquisita:
1 2
mvi  qV  y  R   V  y  2 R 
2
dove
V(y)= -(R2)log(y)/(20) +(r2)log(y-2r)/(20)