questo esercizio

Problema di Elettricità e Magnetismo
21/01/2005
E’ data una superficie cilindrica di raggio R e altezza 2a su cui è distribuita una carica con densità
superficiale uniforme σ. Si calcoli il potenziale e il campo elettrico in un punto generico dell’asse
del cilindro. In particolare si effettui il calcolo nel punto al centro dell’asse e sulle basi. Cosa
succede se la lunghezza del cilindro è infinita (R<<a)?
Valori: σ = 10-6 C/m2, R= 20 cm, 2a = 40 cm.
Soluzione
Si dovrebbe calcolare prima il potenziale e poi ricavare da questo il campo, poichè, come si vedrà,
l’integrale per il calcolo del potenziale non è immediato calcoleremo prima il campo, poi a parte il
potenziale.
Conviene porre l’asse del cilindro coincidente con l’asse z e inoltre posizionare il centro del cilindro
nell’origine degli assi.
z
E
y
P

O
z
x
R
h
O
Calcoliamo il campo elettrico in un generico punto sull’asse z nella posizione P(0,0,z) come somma
dei contributi al campo di tanti anelli elementari di altezza dh.
L’elemento di superficie dS= R dh dφ di ciascun anello genera in P un contributo al campo pari a:

dE 0 
1
σ R dh d 
r
4 π ε 0 R 2  z  h 2
.
Per la simmetria della distribuzione, sommando su tutti gli elementi dell’anello, le componenti in x
e y del campo si annullano e si sommano solo le componenti lungo l’asse z:
dE 0z 
1
σ R dh d
cos θ
4 π ε 0 R 2  z  h 2
e integrando sull’anello:
cosθ 
dE 0z 
Integrando sull’intera superficie del cilindro:
R
z  h 
2
1
4 π ε0

1
2 2
 z  h 
R
z  h 
2

3
2 2
 z  h 
2π R σ dh .
E 0z  
z  h 
z a
σR
2 ε0

z a
R
2

3
2 2
 z  h 
dz - h 
E 0z  

σR 
1

2 ε0
2
2
 R  z  a 

In z = a :

σR  1
1
E 0z a   

2 ε0 R
R 2  4a 2

in z = -a :

σR 
1
E 0z  a    E 0z a   
2 ε0  2
2
 R  4a

 R
1
2
1

2
 z  a 
2

 .
1

2



 ,
1

2




1
2

1
,

R

E 0z  0 .
in z = 0:
Se a   E 0z  0 .
Il potenziale generato dall’anello elementare nel punto P(0,0,z) è:
dV0 
1
4π ε 0
2π σ R
R 2  (z  h) 2
dh
che integrato sull’intero cilindro dà:
h a
V0  
σR
2 ε0
2 
 
 ln  z  h   1   z  h   


  R 
R   

 h a
 
2
za
za

  1 

σR  R 
 R 
V0  
ln 
2
2 ε0   z  a 
za
  1 


 R 
 R 
Per z = 0 :
2
a 
 a  

  1   
σR  R 
R
V0 0   
ln 
 ,
2
2 ε0   a 
a 
  R   1  R  
  
  
per z = a :


σR 
1
V0 a   
ln 
2
2 ε0   2 a 
2a
  R   1  R 




per z = -a :
2
σ R    2 a 
2a
V0  a    V0 a   
ln 
  1 

2 ε0  R 
R 





 .






 ,




 .



Dall’espressione del potenziale è possibile ricavare il campo elettrico, ricordando: E0   grad V0 .