29 Gennaio - Sezione di Fisica

Esame Scritto, Modulo di Fisica, Corso di Chimica e Fisica Generali, per Biotecnologie
29 Gennaio 2014
Il tempo a disposizione è di tre ore. E’ ammesso l’uso di calcolatrici. Non è ammesso l’uso di appunti, libri, computer,
telefoni, altri dispositivi di comunicazione. Costanti utili: accelerazione di gravità g = 9.81 m/s2 , densità dell’acqua
ρ = 103 Kg/m3 , permeabilità dielettrica del vuoto 0 = 8.85 × 10−12 C2 /(Nm2 ). Si raccomanda di spiegare in modo
conciso ma chiaro il procedimento seguito: risposte del tutto prive di giustificazione non saranno considerate valide
anche se corrette.
Problema 1 (6 punti)
Su di una rotaia si trovano due vagoni A e B . Inizialmente B è fermo, mentre A si muove verso B con velocità vA = 42
Km/h. I due vagoni si urtano rimanendo agganciati. Se le masse dei due vagoni sono rispettivamente di 7200 e 9400
Kg, con che velocità si muoveranno di due vagoni dopo l’urto?
Problema 2 (9 punti)
Un secchio contenente 18 l d’acqua viene tirato su da un pozzo profondo 25 m, alla velocità costante di 40 cm/s.
Considerando trascurabile la massa del secchio rispetto a quella dell’acqua, calcolare: a) il lavoro della forza di gravità
sull’intero percorso; b) la potenza spesa dalla persona.
Problema 3 (6 punti)
Un blocco di alluminio, di massa 0.7 kg, è sospeso ad un filo e viene completamente immerso nell’acqua di un recipiente.
Calcolare la tensione del filo prima e dopo l’immersione, sapendo che la densità dell’alluminio è 2.65 g/cm3 .
Problema 4 (11 punti) Alla superficie della terra si misura un campo elettrico, diretto verso il basso, di circa 150
V/m. Tale campo tende a decrescere rapidamente con l’altezza. A 200 m sopra la superficie terrestre, il campo
elettrico, sempre diretto verso il basso, è misurato a circa 100 V/m.
• Assumendo che la terra sia schematizzabile come una sfera conduttrice, stimare, usando il teorema di Gauss, la
densità di carica superficiale della terra.
• Calcolare, sempre usando il teorema di Gauss, la densità di carica media per unità di volume nell’aria fra 0 e
200 m.
(nota: non è necessario conoscere nè la superficie nè il volume della terra)
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Soluzioni
Problema 1
Si tratta di un urto completamente anelastico, per il quale vale la conservazione della quantità di moto (la risultante
delle forze esterne è nulla) ma non la conservazione dell’energia meccanica. Consideriamo solo l’asse orizzontale: vale
la relazione mA vA = (mA + mB )vf , da cui vf = mA /(mA + mB )vA = 18.2 Km/h, ovvero 5.06 m/s.
Problema 2
Il moto del secchio avviene a velocità uniforme. Questo significa che lungo l’asse verticale la risultatnte della tensione
T del cavo e della forza peso F = −mg è nulla: T = mg. Il lavoro fatto dalla forza peso è Lp = F h = −mgh = 4415
J (il segno è negativo: la forza ha direzione opposta allo spostamento). L è anche uguale alla variazione dell’energia
potenziale gravitazionale fra i punti iniziali e finali: Lp = U (0) − U (h), per defizione di energia potenziale.
Se la corda è ideale, il lavoro fatto per unità di tempo (potenza) dalla persona è uguale ai quello fatto dalla corda sul
corpo, ovvero P = dL/dt = T dh/dt = F v = 70.6 W. In questo caso (moto uniforme e forza costante) la potenza può
anche essere scritta come P = L/t dove t = h/v = 62.5 s.
Problema 3
Se il corpo è sospeso nel vuoto, la tensione del filo uguaglia la forza peso agente sul corpo: T = mg = 6.87 N.
Se il corpo è sospeso in acqua, il corpo subisce una spinta idrostatica pari a S = V ρg, dove ρ = 1000 Kg/m3 =1 g/cm3
è la densità dell’acqua, ρAl = 2.65 g/cm3 =2650 Kg/m3 la densità dell’ alluminio, V = m/ρAl = 264 cm3 il volume del
corpo (totalmente immerso, perché ρAl > ρ). La tensione del filo uguaglia la forza peso, meno la spinta di Archimede:
T 0 = mg − S = V ρAl g − V ρg = gV ρAl (ρAl − ρ)/ρAl = mg(ρAl − ρ)/ρAl ovvero T 0 = T (2.65 − 1)/2.65 = 4.28 N.
Problema 4
Il problema si può risolvere in due modi:
1. Applichiamo prima il teorema di Gauss ad un cilindro, la cui base sta appena sotto la terra, parallela alla
superficie terrestre, mentre l’altra base sta appena fuori dalla terra. Il flusso attraverso la base sotto terra è nullo
perché E = 0 (la terra è assunta conduttrice); il flusso attraverso le pareti è nullo perché queste sono parallele al
campo elettrico. Di conseguenza il flusso totale è Φ = −AE1 (il campo E1 = 150 V/m è diretto verso il basso).
Per il teorema di Gauss, Φ = Q/0 , dove Q è la carica contenuta nel cilindro. Da qui si ritrova il risultato noto
per la carica superficiale σ = 0 E = −1.33 × 10−11 C/m2 .
Un secondo cilindro ha una base appena sopra terra e l’altra 200 m sopra. Il flusso questa volta vale Φ =
−AE2 + AE1 (E2 = 100 V diretto verso il basso), da cui A(E1 − E2 ) = q/0 , dove Q è la carica contenuta
nell’aria. La carica per unità di volume ρ è uguale a ρ = q/V = q/(Ah), dove h = 200 m e V = Ah è il volume
del cilindro. Si trova ρ = 0 (E1 − E2 )/h = +2.21 × 10−12 C/m3 .
2. Come sopra, ma si usa una superficie sferica appena fuori dalla terra per calcolare il flusso. Dato che il campo
elettrico è diretto radialmente, Φ = −AE1 = Q/0 dove A = 4πr2 è l’area della superficie della terra, Q la carica
presente su tutta la terra. Come in precedenza, σ = Q/A = −0 E1 = −1.33 × 10−11 .
Si consideri poi una seconda superficie sferica a quota h = 200 m. Il flusso attraverso tale superficie è Φ = −AE2
che per il teroma di Gauss è uguale a Φ = (q + Q)/0 , dove q è la carica presente nell’atmosfera. L’area della
superficie sferica a quota h = 200 m è assunta la stessa che a quota 0: A ' 4πr2 . La carica per unità di
volume ρ è uguale a ρ = q/V , dove V è il volume dell’atmosfera, approssimabila a V ' Ah = 4πr2 h. Da cui:
−AE2 = (Ahρ + Aσ)/0 , ovvero: ρ = (−E2 0 − σ)/h = +2.21 × 10−12 C/m3 .
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