Università degli Studi di Catania
Facoltà di Scienze MM. FF. e NN.
Corso di Laurea in Matematica
A. A. 2012-2013
Prova scritta di Fisica Generale II del 2 Dicembre 2013
1.
Un resistore, avente resistività , ha la forma di un tronco di cono circolare come mostrato in
figura.
Se l’assottigliamento è lieve, si può assumere che la densità di corrente sia uniforme in una
qualunque sezione ortogonale.
Si calcoli la resistenza di questo solido tra le due estremità.
Si mostri che la resistenza si riduce a L/A nel caso limite in cui l’assottigliamento è
nullo.
Soluzione:
Introduciamo l’asse z, con l’origine sulla faccia di raggio a, orientato nel verso della corrente.
Immaginiamo di tagliare il tronco di cono in tante fette sottili parallele alle basi, di spessore
infinitesimo dz. Se la densità di corrente è uniforme sulla sezione di ciascuna fetta, la sua
resistenza può essere calcolata come dR = dz/A. Poiché la corrente attraversa successivamente
le varie fette, possiamo vedere il conduttore come il collegamento in serie di tutte le resistenze
infinitesime dR, ossia
R = ∫ dR = ∫0 L dz/A
Il raggio della generica sezione a quota z è
r(z) = a + (b-a) z/L
per cui l’integrale diventa:
R = ∫0 L dz/{[a + (b-a) z/L]2} = {-L/[(b-a)[a + (b-a) z/L]}0L =
= L/[(b-a)] (1/a - 1/b) = L/ab
Nel caso di un conduttore cilindrico, a=b, per cui al denominatore della formula compare
proprio l’area della sezione del cilindro.
2.
Si consideri un campo magnetico B uniforme confinato in un volume cilindrico di raggio R,
con direzione perpendicolare al foglio e verso entrante nel foglio. Una barra metallica di
lunghezza L sia collocata come in figura.
Se B varia nel tempo con derivata dB/dt, si calcoli la f.e.m. indotta dalla variazione del campo
magnetico tra le estremità della barra. Si sfrutti il fatto che, a causa della simmetria centrale del
problema, le linee di forza del campo elettrico generato dalla variazione del campo magnetico
sono circonferenze concentriche i cui centri stanno sull’asse del cilindro.
Soluzione:
Per calcolare il valore del campo elettrico E(r) possiamo applicare la legge di Faraday-Henry a
un percorso circolare di raggio r. Orientiamo il percorso in senso antiorario: avremo allora
come normale positiva quella uscente dal foglio, opposta a B. Il campo elettrico E(r) a distanza
r dall’asse del cilindro deve soddisfare la relazione
2r E(r) = r2 dB/dt
Se ne deduce che
E(r) = (r/2) dB/dt
positivo, ossia concorde con l’orientazione della linea di integrazione, quando B cresce. La
componente del campo elettrico nella direzione della bacchetta è quindi
Ex = E(r) cos = E(r) (y/r) = (y/2) dB/dt
indipendente da x. Nella formula y indica la distanza della bacchetta dall’asse del cilindro:
y = [R2 – (L/2)2]1/2
La forza elettromotrice tra gli estremi della bacchetta si ottiene integrando la componente E x su
tutta la lunghezza del conduttore:
= ∫-L/2 L/2 Ex dx = Ex L = (L/2) dB/dt [R2 – (L/2)2]1/2
