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UNIVERSITÀ DI BRESCIA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Algebra e Geometria - II prova intermedia - 05.12.05
cognome
nome
corso di laurea
matricola
½
1. In E3 (R) si considerino le rette r :
x − 2y = 1
es:
x+z =0
½
y =h−2
z=1
(a) Si dica per quali valori del parametro reale h le rette r ed s risultano complanari;
risposta: h = 1
(pt.2)
(b) in tal caso si determini un’equazione cartesiana del piano che le contiene.
risposta: 2y + z + 1 = 0
(pt.3)
(c) Posto h = 0 si determini, se possibile, una rappresentazione cartesiana della retta di minima
distanza (incidente ed ortogonale ad entrambe).
risposta: 5x + 7 = y − 2z + 4 = 0
(pt.5)
2. In E3 (R) si scriva una rappresentazione
cartesiana della circonferenza descritta dal punto P =
½
x+z =0
(0, 2, 0) nella rotazione di asse a :
y = −1
risposta: x2 + y 2 + z 2 + 2y − 8 = x − z = 0
(pt.4)
3. In E3 (R), dati la sfera S : x2 + y 2 + z 2 − 4x − 2y − 4 = 0 e il piano π : x + y − 2 = 0, si determinino
(a) centro e raggio della sfera S;
risposta: C = (2, 1, 0) raggio = 3
(pt.2)
(b) centro e raggio della circonferenza ottenuta sezionando la sfera S con il piano π;
risposta: C 0 = ( 32 , 12 , 0) raggio =
q
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2
(pt.4)
(c) una rappresentazione cartesiana dei piani tangenti alla sfera S e paralleli al piano π.
√
risposta: x + y − 3 ± 3 2 = 0
(pt.4)
4. In E3 (R) dati il piano α : x + 2y + z + 1 = 0, la retta r : x + y − 1 = 2y + z = 0 e il punto
P = (0, 1, 1), si determinino:
• una rappresentazione cartesiana della retta s ortogonale a α e passante per P ;
Risposta 2x − y + 1 = x − z + 1 = 0
(pt.2)
• un’equazione cartesiana del piano τ ortogonale ad α e passante per r;
Risposta 5x − y − 3z − 5 = 0
(pt.2)
• un’equazione cartesiana del piano δ parallelo ad α e passante per P .
Risposta x + 2y + z − 3 = 0
(pt.2)
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UNIVERSITÀ DI BRESCIA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Algebra e Geometria - II prova intermedia - 05.12.05
cognome
nome
corso di laurea
matricola
½
1. In E3 (R) si considerino le rette r :
2y − z = −1
es:
x+z =0
½
y =h−2
x = −1
(a) Si dica per quali valori del parametro reale h le rette r ed s risultano complanari;
risposta: h = 2
(pt.2)
(b) in tal caso si determini un’equazione cartesiana del piano che le contiene.
risposta: x + 2y + 1 = 0
(pt.3)
(c) Posto h = 0 si determini, se possibile, una rappresentazione cartesiana della retta di minima
distanza (incidente ed ortogonale ad entrambe).
risposta: 5z − 1 = 2x − y = 0
(pt.5)
2. In E3 (R) si scriva una rappresentazione
cartesiana della circonferenza descritta dal punto P =
½
x+z =0
(1, 2, −2) nella rotazione di asse a :
y = −1
risposta: x2 + y 2 + z 2 + 2y − 13 = x − z − 3 = 0
(pt.4)
3. In E3 (R), dati la sfera S : x2 + y 2 + z 2 − 2x − 2y − 2 = 0 e il piano π : x + z − 2 = 0, si determinino
(a) centro e raggio della sfera S;
risposta: C = (1, 1, 0) raggio = 2
(pt.2)
(b) centro e raggio della circonferenza ottenuta sezionando la sfera S con il piano π;
risposta: C 0 = ( 32 , 1, 12 ) raggio =
q
7
2
(c) una rappresentazione cartesiana dei piani tangenti alla sfera S e paralleli al piano π.
√
risposta: x + z − 1 ± 2 2 = 0
(pt.4)
(pt.4)
4. In E3 (R) dati il piano α : x − 2y + z + 1 = 0, la retta r : x + y − 1 = 2y + z = 0 e il punto
P = (0, 1, 1), si determinino:
• una rappresentazione cartesiana della retta s ortogonale a α e passante per P ;
Risposta 2x + y − 1 = x − z + 1 = 0
(pt.2)
• un’equazione cartesiana del piano τ ortogonale ad α e passante per r;
Risposta 3x + y − z − 3 = 0
(pt.2)
• un’equazione cartesiana del piano δ parallelo ad α e passante per P .
Risposta x − 2y + z + 1 = 0
(pt.2)
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UNIVERSITÀ DI BRESCIA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Algebra e Geometria - II prova intermedia - 05.12.05
cognome
nome
corso di laurea
matricola
½
1. In E3 (R) si considerino le rette r :
x − 2y = 1
es:
x−z =0
½
y =h+3
z = −1
(a) Si dica per quali valori del parametro reale h le rette r ed s risultano complanari;
risposta: h = −4
(pt.2)
(b) in tal caso si determini un’equazione cartesiana del piano che le contiene.
risposta: 2y − z + 1 = 0
(pt.3)
(c) Posto h = 0 si determini, se possibile, una rappresentazione cartesiana della retta di minima
distanza (incidente ed ortogonale ad entrambe).
risposta: 5x − 3 = y + 2z − 1 = 0
(pt.5)
2. In E3 (R) si scriva una rappresentazione
cartesiana della circonferenza descritta dal punto P =
½
x+z =0
(−1, 2, 2) nella rotazione di asse a :
y = −1
risposta: x2 + y 2 + z 2 + 2y − 13 = x − z + 3 = 0
(pt.4)
3. In E3 (R), dati la sfera S : x2 + y 2 + z 2 − 6x − 2y − 6 = 0 e il piano π : x + y − 2 = 0, si determinino
(a) centro e raggio della sfera S;
risposta: C = (3, 1, 0) raggio = 4
(pt.2)
(b) centro e raggio della circonferenza ottenuta sezionando la sfera S con il piano π;
√
risposta: c0 = (2, 0, 0) raggio = 14
(pt.4)
(c) una rappresentazione cartesiana dei piani tangenti alla sfera S e paralleli al piano π.
√
risposta: x + y − 4 ± 4 2 = 0
(pt.4)
4. In E3 (R) dati il piano α : x + y + z + 1 = 0, la retta r : x + y − 1 = 2y + z = 0 e il punto
P = (0, 1, 1), si determinino:
• una rappresentazione cartesiana della retta s ortogonale a α e passante per P ;
Risposta x − y + 1 = x − z + 1 = 0
(pt.2)
• un’equazione cartesiana del piano τ ortogonale ad α e passante per r;
Risposta 3x − y − 2z − 3 = 0
(pt.2)
• un’equazione cartesiana del piano δ parallelo ad α e passante per P .
Risposta x + y + z − 2 = 0
(pt.2)
4
UNIVERSITÀ DI BRESCIA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Algebra e Geometria - II prova intermedia - 05.12.05
cognome
nome
corso di laurea
matricola
½
1. In E3 (R) si considerino le rette r :
2x − y = −1
es:
y+z =0
½
x=h−2
z=1
(a) Si dica per quali valori del parametro reale h le rette r ed s risultano complanari;
risposta: h = 1
(pt.2)
(b) in tal caso si determini un’equazione cartesiana del piano che le contiene.
risposta: 2x + z + 1 = 0
(pt.3)
(c) Posto h = 0 si determini, se possibile, una rappresentazione cartesiana della retta di minima
distanza (incidente ed ortogonale ad entrambe).
risposta: 5y + 7 = x − 2z + 4 = 0
(pt.5)
2. In E3 (R) si scriva una rappresentazione
cartesiana della circonferenza descritta dal punto P =
½
y+z =0
(2, 0, 0) nella rotazione di asse a :
x = −1
risposta: x2 + y 2 + z 2 + 2x − 8 = y − z = 0
(pt.4)
3. In E3 (R), dati la sfera S : x2 + y 2 + z 2 + 6x − 2y + 6 = 0 e il piano π : x + z + 5 = 0, si determinino
(a) centro e raggio della sfera S;
risposta: C = (−3, 1, 0) raggio = 2
(pt.2)
(b) centro e raggio della circonferenza ottenuta sezionando la sfera S con il piano π;
√
risposta: C 0 = (−4, 1, −1) raggio = 2
(pt.4)
(c) una rappresentazione cartesiana dei piani tangenti alla sfera S e paralleli al piano π.
√
risposta: x + z + 3 ± 2 2 = 0
(pt.4)
4. In E3 (R) dati il piano α : x − y + z + 1 = 0, la retta r : x + y − 1 = 2y + z = 0 e il punto
P = (0, 1, 1), si determinino:
• una rappresentazione cartesiana della retta s ortogonale a α e passante per P ;
Risposta x + y − 1 = x − z + 1 = 0
(pt.2)
• un’equazione cartesiana del piano τ ortogonale ad α e passante per r;
Risposta x + y − 1 = 0
(pt.2)
• un’equazione cartesiana del piano δ parallelo ad α e passante per P .
Risposta x − y + z = 0
(pt.2)
5
UNIVERSITÀ DI BRESCIA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Algebra e Geometria - II prova intermedia - 05.12.05
cognome
nome
corso di laurea
matricola
½
1. In E3 (R) si considerino le rette r :
2x − z = −1
es:
y+z =0
½
x=h−2
y = −1
(a) Si dica per quali valori del parametro reale h le rette r ed s risultano complanari;
risposta: h = 2
(pt.2)
(b) in tal caso si determini un’equazione cartesiana del piano che le contiene.
risposta: 2x + y + 1 = 0
(pt.3)
(c) Posto h = 0 si determini, se possibile, una rappresentazione cartesiana della retta di minima
distanza (incidente ed ortogonale ad entrambe).
risposta: 5z − 1 = x − 2y = 0
(pt.5)
2. In E3 (R) si scriva una rappresentazione
cartesiana della circonferenza descritta dal punto P =
½
y+z =0
(2, −2, 1) nella rotazione di asse a :
x = −1
risposta: x2 + y 2 + z 2 + 2x − 13 = y − z + 3 = 0
(pt.4)
3. In E3 (R), dati la sfera S : x2 + y 2 + z 2 − 8x − 2y − 8 = 0 e il piano π : x + y + 2 = 0, si determinino
(a) centro e raggio della sfera S;
risposta: C = (4, 1, 0) raggio = 5
(pt.2)
(b) centro e raggio della circonferenza ottenuta sezionando la sfera S con il piano π;
√
2
2
(pt.4)
(c) una rappresentazione cartesiana dei piani tangenti alla sfera S e paralleli al piano π.
√
risposta: x + y − 5 ± 5 2 = 0
(pt.4)
risposta: c0 = ( 12 , − 52 , 0) raggio =
4. In E3 (R) dati il piano α : x + 3y + z + 1 = 0, la retta r : x + y − 1 = 2y + z = 0 e il punto
P = (0, 1, 1), si determinino:
• una rappresentazione cartesiana della retta s ortogonale a α e passante per P ;
Risposta 3x − y + 1 = x − z + 1 = 0
(pt.2)
• un’equazione cartesiana del piano τ ortogonale ad α e passante per r;
Risposta 7x − y − 4z − 7 = 0
(pt.2)
• un’equazione cartesiana del piano δ parallelo ad α e passante per P .
Risposta x + 3y + z − 4 = 0
(pt.2)
6
UNIVERSITÀ DI BRESCIA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Algebra e Geometria - II prova intermedia - 05.12.05
cognome
nome
corso di laurea
matricola
½
1. In E3 (R) si considerino le rette r :
2x − y = −1
es:
y−z =0
½
x=h+3
z = −1
(a) Si dica per quali valori del parametro reale h le rette r ed s risultano complanari;
risposta: h = −4
(pt.2)
(b) in tal caso si determini un’equazione cartesiana del piano che le contiene.
risposta: 2x − z + 1 = 0
(pt.3)
(c) Posto h = 0 si determini, se possibile, una rappresentazione cartesiana della retta di minima
distanza (incidente ed ortogonale ad entrambe).
risposta: 5y − 3 = x + 2z − 1 = 0
(pt.5)
2. In E3 (R) si scriva una rappresentazione
cartesiana della circonferenza descritta dal punto P =
½
y+z =0
(2, 2, −1) nella rotazione di asse a :
x = −1
risposta: x2 + y 2 + z 2 + 2x − 13 = y − z − 3 = 0
(pt.4)
3. In E3 (R), dati la sfera S : x2 + y 2 + z 2 + 8x − 2y + 8 = 0 e il piano π : x + y + 6 = 0, si determinino
(a) centro e raggio della sfera S;
risposta: C = (−4, 1, 0) raggio = 3
(pt.2)
(b) centro e raggio della circonferenza ottenuta sezionando la sfera S con il piano π;
1
risposta: C 0 = (− 11
2 , − 2 , 0) raggio =
√
3 2
2
(c) una rappresentazione cartesiana dei piani tangenti alla sfera S e paralleli al piano π.
√
risposta: x + y + 3 ± 3 2 = 0
(pt.4)
(pt.4)
4. In E3 (R) dati il piano α : x − 3y + z + 1 = 0, la retta r : x + y − 1 = 2y + z = 0 e il punto
P = (0, 1, 1), si determinino:
• una rappresentazione cartesiana della retta s ortogonale a α e passante per P ;
Risposta 3x + y − 1 = x − z + 1 = 0
(pt.2)
• un’equazione cartesiana del piano τ ortogonale ad α e passante per r;
Risposta 5x + y − 2z − 5 = 0
(pt.2)
• un’equazione cartesiana del piano δ parallelo ad α e passante per P .
Risposta x − 3y + z + 2 = 0
(pt.2)