Esame di Stato 2016
Tema di matematica
Quesito 5
Una sfera, il cui centro è il punto K (-2, - 1, 2) , è tangente al piano P avente equazione
2x - 2y + z - 9 = 0 . Qual è il punto di tangenza? Qual è il raggio della sfera?
Svolgimento
P - K = t $ v , (x + 2, y + 1, z - 2) = t $ (2, - 2, 1)
Z] x + 2 = 2t
]]
x + 2 = 2z - 4
[] y + 1 = -2t , (
]]
y + 1 = - 2z + 4
z-2 = t
\
Da qui, svolgendo i calcoli, otteniamo:
x - 2z + 6 = 0
(
y + 2z - 3 = 0
Troviamo poi il punto P di intersezione tra r e P :
Z] x - 2z + 6 = 0
Z] -2x + 4z - 12 = 0
Z] x - 2z + 6 = 0
]]
]]
]]
r
P = & , [] y + 2z - 3 = 0 , [] 2y + 4z - 6 = 0 , [] y + 2z - 3 = 0 ,
]]
]]
]]
P
2x - 2y + z - 9 = 0
2x - 2y + z - 9 = 0
9z - 27 = 0
\
\
\
Z] x = 0
]]Z x - 6 + 6 = 0
]]
]
, [] y + 6 - 3 = 0 , [] y = -3
]]
]]
z=3
z=3
\
\
Il punto di tangenza è quindi dato da P = (0, - 3, 3) .
Infine, per trovare il raggio R della sfera usiamo la formula per la distanza tra due punti:
R = d (P, K) = (x P - x K ) 2 + (y P - y K ) 2 + (z P - z K ) 2 =
= (0 + 2) 2 + (-3 + 1) 2 + (3 - 2) 2 = 4 + 4 + 1 = 9 = 3
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Il piano P è ortogonale al vettore v = (2, - 2, 1) . Scriviamo allora la retta r parallela a v :
