sulle equazioni di maxwell

SULLE EQUAZIONI DI MAXWELL
a cura di Nicola Tedeschi
Le equazioni di Maxwell furono scritte da J.C.Maxwell nella seconda metà del 1800 e sono il
risultato di una serie di studi sui fenomeni elettrici e magnetici portati avanti all'inizio del secolo da
scienziati come Hertz, Faraday e Coulomb. Queste equazioni sono probabilmente la vetta più alta
che è stata raggiunta dalla sica classica insieme alla formulazione della meccanica Newtoniana.
Le equazioni di Maxwell contengono tutte le proprietà del campo elettromagnetico, eccetto le
caratteristiche quantistiche. Da esse è possibile ricavare un gran numero di teoremi di validità
generale per il campo elettromagnetico, inoltre da esse è possibile ricavare la forma del campo
elettrico in qualsiasi situazione, sia di propagazione (spazio libero e guide) sia in caso stazionario
(risonatori).
Per prima cosa andremo a ricavare queste equazioni a partire dai fenomeni sici caratteristici
dell'elettromagnetismo. Inizieremo parlando del caso stazionario per poi estendere la trattazione al
caso non stazionario.
L'interazione elettrica tra due cariche, puntiformi è ben descritta dalla forza di Coulomb :
1
q1 q2
(r − r0 )
4π0 |r − r0 |3
Fc =
dove q1 e q2 sono le cariche elettriche delle due cariche puntiformi, r è la distanza tra esse e 0 è la
costante dielettrica nel vuoto :
0 ∼
= 8.8 · 10−12
F
m
Vediamo che l'interazione elettrica decresce con il quadrato della distanza, questo permette di
ricavare il teorema di Gauss, valido in generale per qualunque campo di forze che decresca come
1
r 2 . Prima di fare questo però deniamo il campo elettrico come il rapporto tra la forza di Coulomb
e la carica q2 :
E =
1
q1
(r − r0 )
4π0 |r − r0 |
Se invece di una carica puntiforme fossimo interessati ad una generica distribuzione continua di
carica ρ, si avrà :
Z
E =
1
4π0
V
ρ(r0 )
(r − r0 ) dV 0
|r − r0 |3
Andiamo ora a ricavare il teorema di Gauss.
Consideriamo una carica puntiforme q e una generica supercie chiusa S e racchiuda la carica.
Il usso del campo elettrico innitesimo sull'elemento di supercie dS sarà :
dφ = E · dS =
q
1
· r · n dS =
4π0 r2 0 0
1
=
1
cosθ
q 2 dS
4π0
r
dove si è supposta la carica nell'origine e si è chiamato θ l'angolo tra la normale alla supercie e il
raggio vettore del campo. Notiamo ora che dS
r 2 cosθ è l'angolo solido del cono innitesimo delimitato
dalla supercie dScosθ, quindi :
dφ =
q
dΩ
4π0
da cui integrando su tutto l'angolo solido 4π , si ha :
φ =
q
0
Notiamo che se avessimo avuto N cariche il usso sarebbe stato :
φ =
N
X
qi
QT OT
=
0
0
i=1
dove con QT OT si è indicata la carica totale.
Notiamo ora che una carica esterna alla supercie non ha alcun eetto sul usso in quanto tutte
le linee di forza entranti del campo vengono annullate dalle linee di forza esterne. Possiamo allora
dire che il usso del campo elettrico su una supercie chiusa è sempre uguale a QT0OT . Notiamo che
nel caso più generale la distribuzione continua di carica si ha :
Z
QT OT =
ρ(r0 ) dV 0
V
Il teorema di Gauss si può quindi scrivere come segue :
Z
1
E · n0 dS =
0
S
Z
ρ dV
V
Applicando il teorema della divergenza a primo membro :
Z
∇ · E dV =
V
1
0
Z
ρ dV
V
Dovendo valere per una scelta arbitraria del volume V questa uguaglianza può passae agli argomenti,
quindi ricaviamo la prima equazione di Maxwell nel caso stazionario e nel vuoto :
∇·E =
ρ
0
Se invece del vuoto si ha un mezzo in cui sia possibile denire un vettore di polarizzazione P ,
avremo delle distribuzioni di cariche volumica ρp = − ∇ · P e l'equazione si scriverà :
D = 0 E + P
Si trova la prima equazione di Maxwell nel caso stazionario nella materia :
∇·D = ρ
2
Sempre grazie al fatto che il campo elettrico decresce con il quadrato della distanza si può dimostrare
che esso, nel caso stazionario, è conservativo :
I
E · ds = 0
S
Questo fatto oltre a permettere l'introduzione del potenziale scalare elettrico V come E = −∇V ,
ci permette di ricavare la terza equazione di Maxwell nel caso stazionario. Applicando il teorema
di Stokes si ha :
Z
∇ × E · dS = 0
S
da cui, data l'arbitrarietà della supercie S , si ha :
∇×E = 0
La seconda equazione di Maxwell la si ricava dal fatto che non esistono monopoli magnetici, questo
fa si che le linee di campo magnetico siano sempre chiuse e che quindi il usso del campo magnetico
su una supercie chiusa sia sempre nullo :
I
B · n0 dS = 0
S
da cui, applicando il teorema della divergenza e ricordando l'arbitrarietà di S , si trova :
∇·B = 0
In realtà questa equazione può essere ricavata direttamente dalla formula di Biot- Savat che in un
certo senso è l'analogo della forza di Coulomb per il campo di induzione magnetica ; la formula di
Biot- Savat esprime l'induzione magnetica dovuta ad una spira l percorsa da una corrente I :
B =
µ0
4π
Z
I
l
dl × (r − r0 )
|r − r0 |3
Facendo la divergenza di questa equazione si trova subito la seconda equazione di Maxwell. Per
ricavare la quarta equazione di Maxwell dobbiamo citare il teorema della circuitazione di Ampère.
Esso dice che la circuitazione dell'induzione magnetica è uguale al usso delle correnti concatenate
che attraversano la supercie S delimitata da s :
I
Z
B · ds = µ0 Iconc = µ0
s
J · n0 dS
S
dove J è la densità di corrente.
Applicando il teorema di Stokes e data l'arbitrarietà della linea s, troviamo la quarta equazione di
Maxwell nel caso stazionario e nel vuoto :
∇ × B = µ0 J
Se invece del vuoto si vuole considerare un materiale nel quale sia possibile denire un vettore di
magnetizzazione M , allora si può trovare un legame tra M e le correnti elettriche equivalenti nel
materiale del tipo : J eq = ∇ × M , da cui l'equazione di Maxwell diventa :
∇ × B = µ0 (J + ∇ × M )
3
da cui denendo il campo magnetico H come segue :
H =
1
B − M
µ0
(ovvero B = µ0 H + µ0 M )
potremo scrivere la quarta equazione di Maxwell nel caso stazionario nella materia :
∇×H = J
Ricapitolando le quattro equazioni di Maxwell nella materia nel caso stazionario sono :
∇·D = ρ
∇×E = 0
∇·B = 0
∇×H = J
Passiamo ora al caso non stazionario.
L'importante osservazione sperimentale che consente di passare al xaso non stazionario è la
legge di Faraday. Essa formalizza il fatto che variando il usso di campo magnetico su una spira,
in essa si genera una forzza elettromotrice. Questo fatto genera un legame tra campo elettrico e
magnetico e fece capire che questi due campi non sono altro che due maifestazioni di un unico
campo elettromagnetico. La legge di Faraday si può scrivere come segue :
Fem = −
d
[φ(B)]
dt
Ora notiamo che φ(B) può variare per due motivi :
1. Variazione del campo magnetico B
2. Perturbazioni meccaniche sul circuito
per brevità ci limiteremo solo al primo caso, ma è possibile dimostrare che nel secondo caso si giunge
esattamente alla stessa conclusione.
Se è il campo B a variare, quindi la supercie S su cui si calcola il usso resta costante, la
derivata temporale può essere portata dentro all'integrale :
Z
Fem = −
S
∂B
· dS
∂t
Ricordando che la forza elettromotrice non è altro che la circuitazione del campo lungo la spira,
potremo scrivere :
Z
Z
E · ds = −
s
S
∂B
· dS
∂t
da cui, applicando il teorema di Stokes e dato l'arbitrarietà di S , ricaviamo la seconda equazione
di Maxwell nel caso non stazionario :
∇×E = −
∂B
∂t
In ne ricaviamo la quarta equazione di Maxwell nel caso non stazionario.
4
Per farlo riprendiamo l'equazione nel caso stazionario e facciamo la divergenza :
∇·∇×H = 0 =∇·J
Noi sappiamo però che nel caso non stazionario vale l'equazione di continuità :
∇·J = −
∂ρ
∂t
Inseriamo ora la prima equazione di Maxwell :
∇·J = −
da cui :
∂(∇ · D)
∂t
h
∂D i
= 0
∇· J +
∂t
Questo fatto ci suggerisce che nel caso non stazionario la corrente totale può essere scritta come
somma della corrente di conduzione e di una corrente di spostamento ∂D
∂t . In questo caso potremmo
riscrivere la quarta equazione di Maxwell nel caso non stazionario come segue :
∇×H = J +
∂D
∂t
Abbiamo così ricavato le quattro equazioni di Maxwell nel caso non stazionario. Prima di ricavare
alcune importanti conseguenze delle equazioni di Maxwell richiamiamo rapidamente le relazioni
costitutive ; In un mezzo lineare, omogeneo, isotropo, stazionario e non dispersivo i vettori di polarizzazione elettrica e magnetica sono lineari con il campo elettrico e magnetico rispettivamente :
P = χe E = (r − 1)E
M = χm H = (µe − 1)H
da cui i legami tra campo elettrico e spostamento elettrico e tra campo magnetico e induzione
magnetica si possono scrivere come segue :
B = µH
D = E
con : = 0 r ; µ = µ0 µr
Notiamo che queste relazioni nel caso di mezzi con diverse proprietà si complicano leggermente,
diventando relazioni tensoriali per mezzi anisotropi, relazioni integrali per mezzi non stazionari o
dispersivi e, nel caso di mezzi non omogenei la e la µ diventano funzioni di punto.
Con queste precisazioni possiamo scrivere le equazioni di Maxwell nel caso di mezzi lineari,
isotropi, omogenei, stazionari e non dispersivi come segue :
∇·E =
ρ
∇·H = 0
5
∂H
∂t
∂E
∇×H = J + ∂t
∇ × E = −µ
Vediamo per prima cosa che queste equazioni non sono tra loro indipendenti. Le prime due si
possono ricavare infatti dalle ultime due con l'ausilio dell'equazione di continuità.
Prendiamo la divergenza della terza equazione :
∇ · ∇ × E = −µ
∂∇ · H
= 0
∂t
∇·H = 0
Si ricava così la seconda equazione di Maxwell.
Prendiamo ora la divergenza della quarta equazione :
∇·∇×H = ∇·J + ∂∇ · E
= 0
∂t
Sfruttando l'equazione di continuità :
∂∇ · E
∂ρ
=
∂t
∂t
da cui :
∇·E =
ρ
+ cost
Potendo porre la costante a 0 abbiamo ritrovato la prima equazione di Maxwell. Vediamo ora
come l'esistenza delle onde elettromagnetiche si trovi come diretta conseguenza delle equazioni di
Maxwell.
Consideriamo il rotore della terza equazione :
∇ × ∇ × E = −µ
∂∇ × H
∂t
Ricordando che : ∇ × ∇ × A = ∇(∇ · A) − ∇2 A e inserendo la quarta equazione di Maxwell,
trovaimo :
∂h
∂E i
∇(∇ · E) − ∇2 E = −µ
∂t
J + ∂t
Sostituendo la prima equazione di Maxwell e riordinando :
∇2 E −
1 ∂2E
1
∂J
= ∇(ρ) + µ
c2 ∂t2
∂t
Questa è l'equazione delle onde in presenza di una densità di carica assegnata e una densità di
corrente assegnata. Notiamo che c è la velocità della luce nel mezzo che è uguale a :c = √1µ .
In assenza di sorgenti l'equazione delle onde si scrive :
∇2 E −
1 ∂2t
= 0
c2 ∂t2
6
Come già detto questa equazione rappresenta le possibilità di avere onde elettromagnetiche che si
propaghino nel mezzo. La soluzione di questa equazione, con le dovute condizioni al contorno, fornisce il campo elettromagnetico in propagazione.Vediamo ora come ricavare il teorema di Poynting
che fornisce una sorta di bilancio energetico del campo elettromagnetico. Consideriamo la terza e
la quarta equazione di Maxwell :
∇ × E = −µ
∂H
+ J mi
∂t
∇×H = J + ∂E
+ Ji
∂t
Moltiplichiamo la terza per H e la seconda per E scalarmente e sommiamo membro a membro :
∂H
∂E
− J · E − E ·
+ J mi · H − J i · E
∂t
∂t
H · ∇ × E − E · ∇ × H = −µH ·
Ricordiamo la seguente identità vettoriale :
∇ · (A × B) = B · ∇ × A − A · ∇ × B
Quindi possiamo riscrivere :
∇ · (E × H) = −J · E − E ·
∂E
∂H
− µH ·
+ J mi · H − J i · E
∂t
∂t
Integrando su un volume V e applicando il teorema della divergenza otteniamo :
Z
Z
Π · n0 · dS +
S
Z
pc dV +
V
Z
(pE + pH ) dV +
(pi + pmi ) dV = 0
V
Con :
Π = E×H
∂E
∂t
∂H
= µH ·
∂t
= J mi · H
pE = E ·
pc = J · E
pH
pi = J i · E
pmi
Dove :
pc è la densità di potenza dissipata per eetto Joule
pE e pH sono le densità di potenza immagazzinata elettrica e magnetica rispettivamente
Π è il vettore di Poynting. Esso rappresenta la potenza irradiata in forma di onde elettromagnetiche per unità di supercie.
Vediamo quindi che il teorema di Poynting fornisce una sorta di bilancio energetico per il campo
dicendoci che la somma di tutte le potenze in cui esso può comparire : potenza dissipata, potenza
immagazzinata e potenza irradiata, deve essere sempre uguale a 0. (L'uguaglianza a zero è dovuta
al fatto che non abbiamo supposto la presenza di sorgenti elettriche o magnetiche. Se le avessimo
considerate sarebbe comparso un altro termine a secondo membro che avrebbe rappresentato la
potenza fornita al campo).
7
Prima di passare a parlare delle equazioni di Maxwell nel dominio della frequenza vogliamo
parlare di altri due punti molto importanti : i potenziali elettrodinamici e il teorema di unicità.Dalla
seconda equazione di Maxwell : (correnti magnetiche J m = 0)
∇·H = 0
Si ricava che H può sempre essere scritto come il rotore di un campo vettoriale A :
H = ∇×A
senza bisogno di fare alcuna ipotesi su A.
Se ora inseriamo questa espressione nella terza equazione di Maxwell :
∇ × E = −µ∇ ×
h
∇× E + µ
∂A ∂A i
∂t
∂t
= 0
Troviamo che la quantità E + µ ∂A
∂t può essere posta uguale al gradiente di una generica funzione
scalare φ :
E + µ
∂A
= −∇φ
∂t
Quindi il campo elettrico può essere scritto in funzione di un potenziale vettore A e di un potenziale
scalare φ :
E = −µ
Quando H si può scrivere :
∂A
− ∇φ
∂t
H = ∇×A
Inserendo queste due espressioni nella quarta equazione di Maxwell :
i
∂h
∂A
− ∇φ
− µ
∂t
∂t
∂φ 2
∂ A
∇(∇ · A) − ∇2 A = J − µ 2 − ∇
∂t
∂t
∇×∇×A = J + Imponiamo ora che sia :
∇ · A = −
∂φ
∂t
Data l'arbitrarietà con cui sono deniti A e φ questo è sempre possibile (in particolare che A è
denito a meno di un gradiente).
Con queste posizioni si ha :
∇2 A −
1 ∂2A
= J
c2 ∂t2
Vediamo che abbiamo ricavato l'equazione delle onde non omogenea per il potenziale vettore A.
(Si può ricavare per F se J = 0 o se J 6= 0). Prendendo ora la prima equazione di Maxwell e
inserendo l'espressione trovata per E :
h
i
∂A
1
∇· −µ
− ∇φ = ρ
∂t
8
∂∇·
1
− ∇2 φ =
ρ
∂t
1
1 ∂2φ
= − ρ
∇2 φ − 2
c ∂t2
−µ
Vediamo che anche la funzione φ deve rispettare l'equazione delle onde scalare non omogenea. Come
conseguenza di ciò ricaviamo che il campo elettromagnetico può sempre essere trovato attraverso i
potenziali elettrodinamici, risolvendo l'equazione delle onde per tali potenziali che spesso risultano
più semplici a risolversi di quanto non lo siano le equazioni per i campi E e H . Andiamo ora a
dimostrare il teorema di unicità.
Il teorema di unicità dice che il campo elettromagnetico in un dato volume è unico, cioè non possono
esistere altri campi al di fuori di esso, se :
1. Il campo è soluzione delle equazioni di Maxwell
2. In un dato istante t = t0 sia assegnato il valore del campo in modo univoco su tutto il
volume V.
3. Siano assegnati i valori tangenziali S
del campo elettrico sulla supercie S1 e del campo magnetico sulla supercie Sz , dove S1 S2 = S e S è la supercie che racchiude il volume di
denizione. (Notiamo che questo equivale ad avere assegnati i valori tangenziali del campo, o
elettrico o magnetico, su tutta la supercie).
Questo teorema si dimostra per assurdo. Supponiamo che esistano due campi distinti E 1 , H 1 e
H 1 , H 2 entramb soluzioni del problema elettromagnetico. Potremo allora considerare il campo
dierenza :
Ed = E1 − E2
Hd = H1 − H2
Per sovrapposizione degli eetti (data la linearità delle equazioni di Maxwell) anche E d e H d
dovrà soddisfare alle equazioni di Maxwell, quindi si potrà scrivere per esso anche il teorema di
Poynting :
I
Z
Z
E d × H d · dS +
S
Pcd dV +
V
d
dt
WEd + WHd dV = 0
V
dove si sono scritte le densità di potenza immagazzinata come derivate temporali delle densità di
energia immagazzinata.
Ora notiamo che su tutta la supercie S è assegnato il valore di campo tangenziale, quindi deve
essere :
n × E1 = n × E2
su S1
n × H1 = n × H2
su S2
da cui ricaviamo :
n × Ed = 0
su S1
n × Hd = 0
su S2
Da cui :
Ed × H d · n = 0
Quindi si ha :
d
dt
Z
su S
Z
WEd + WHd dV = −
V
pCd dV
V
9
Integriamo rispetto al tempo tra t0 e t :
h
i
hZ i
WEd + WHd dV
−
WEd + WHd dV
t
V
Z tZ
= −
t0
pCd dV dt
t0
V
Ora notiamo che in t0 il campo è assegnato, quindi :
E 1 |t0 = E 2 |t0
H 1 |t0 = H 2 |t0
da cui :
E d |t0 = 0
H d |t0 = 0
Quindi :
hZ WEd + WHd dV
V
Z tZ
i
= −
t
pCd dV
t0
v
Ora notiamo che WE e WH ono forme quadratiche denite positive di E e di H (Solo per WE :
pE =
dWE
d(E · E)
dE
→ pE = E ·
→ WE =
dt
dt
2
dt
per WH è analogo).
Quindi a primo membro si ha una grandezza o nulla o positiva. A secondo membro si ha invece
una quantità o nulla o negativa, dovendo essere la potenza dissipata una quantità positiva, altrimenti
rappresenterebbe una generazione di energia. Se ne deduce che i due integrali sono identicamente
nulli e questo è possibile solo se il campo E d , H d èidenticamente nullo il che avviene per :
E1 = E2
e
H1 = H2
da cui la tesi.
Notiamo che tutte quelle che noi abbiamo ricavato nel dominio del tempo poteva essere ricavato
nel dominio della frequenza tramite la trasformata di Fourier dei campi. In particolare, il teorema
di unicità nel dominio della frequenza non necessita delle condizioni iniziali sul campo. Sfruttando
la ben nota proprietà della trasformata di Fourier si trovano le equazioni di Maxwell nel dominio
della frequenza :
∇ × E = − jωµH
∇ × H = jωE + J
ricordando che in un mezzo dissipativo si ha J = σE dove σ è la conducibilità del materiale, si
ha :
∇ × E = − jωµH
∇ × H = jωC E
con : jωC = σ + jω.
10
L'equazione di Helmhotz si può scrivere :
∇2 E + k 2 E = 0
con : k2 = ω 2 µ.
Un'altra proprietà importante delle equazioni di Maxwell è il principio di dualità. Inserendo in
modo ttizio le densità di carica e di corrente magnetiche si può scrivere :
∇·D = ρ
∇ · B = ρm
∂B
∂t
∂D
∇×H = J −
∂t
∇ × E = Jm −
Vediamo che operando le seguenti sostituzioni :
E →H
D →B
J m → −J
H → −E
B → −D
ρ → ρm
ρm → −ρ
J → Jm
Le equazioni non cambiano. Questo ci dice che è suciente risolvere un problema per le grandezze
elettriche (o magnetiche) potendo ottenere la soluzione per le grandezze magnetiche (o elettriche)
semplicemente con queste sostituzioni.
Per nire pensiamo si ainteressante mostrare alcune analogie matematiche tra l'equazioni dell'elettromagnetismo e quelle della meccanica quantistica. Per questione di tempo mostriamo solo un
esempio.
Si consideri l'equazione di Helmhotz nel dominio della frequenza :
∇2 φ + k 2 φ = 0
per il potenziale scalare.
Scriviamo
φ = f (x, y, z)ejkz
cosa sempre lecita. Supponiamo che l'onda elettromagnetica sia in approssimazione parassiale, in
2
questo caso f(x, y, z) è quasi costante lungo z, quindi possiamo porre ∂∂zf2 ∼
= 0quindi :
∇t +
∂2f
∂f
+ 2jk
− k2 f + k2 f = 0
∂z 2
∂z
11
∇t f = − 2jk
con
∇t =
∂f
∂z
∂2
∂2
+
2
∂x
∂y 2
Vediamo che questa equazione è formalmente identica all'equazione di Schroinger per una particella
libera di muoversi sul piano (x, y)
Hφ =
h̄ ∂φ
j ∂t
Con φ funzione d'onda, h̄ costante di Plank, H è l'Hamilthoniana che per una particella libera di
muoversi su un piano si può scrivere :
H =
∂2 h̄2 ∂ 2
p2
+
= −
2m
2m ∂x2
∂y 2
Da cui l'equazione di Helmhotz parassiale in cui si sostituisce alla variabile z la variabile t.
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