Esercitazione 10

CORSO DI STATISTICA I (Prof.ssa S. Terzi)
TEST D’IPOTESI
Esercitazione n° 10
10.1 Data una variabile casuale X distribuita come una N  , 1 si vuole sottoporre a test l’ipotesi
H 0 :   4 contro H1 :   4 attraverso un campione di n  9 unità.
a) Determinare il valore m discriminatorio fra la zona critica e la zona di accettazione per   0,05 .
b) Calcolare inoltre la funzione potenza del test per i valori di   2 ,   2,5 e   3 .
Svolgimento
a) Considerando le ipotesi H 0 :   4 e H1 :   4 , il valore critico m della variabile risulta
 
1


m   z 
      1,65    4  3,451 .
3
n


Considerando i valori 2, 2,5 e 3 i valori corrispondenti per la funzione potenza del test sono i seguenti:
Per   2
si ha
z 
per   2,5
si ha
z 
per   3
si ha
z 

3,451  2
 4,35 e dunque risulta (1  )   f ( z ) dz  0 ;
1
z
9

3,451  2,5
 2,86 e dunque risulta (1  )   f ( z ) dz  0,00212 ;
1
z
9

3,451  3
 1,35 e dunque risulta (1  )   f ( z ) dz  0,08851.
1
z
9
10.2 Per 100 incidenti stradali nella provincia Gonzales, una compagnia di assicurazioni ha pagato un
risarcimento medio di L. 600 000, con uno s.q.m. di L. 150 000. Per la totalità dei sinistri ha invece pagato
un risarcimento medio pari a L. 450 000. Verificare se il risarcimento nella provincia Gonzales puo’ essere
assunto uguale a quello della media nazionale, contro l’alternativa unidirezionale piu’ opportuna. Usare un
livello di significatività del 5%. [R: rifiuto l’ipotesi nulla]
10.3 Sia X il ritardo con cui il treno Romolo arriva alla stazione di Roma Termini. Durante 5 controlli
effettuati a caso in giorni diversi, sono stati ottenuti i seguenti ritardi in minuti: 12, 37, 23, 27, 19.
Assumendo che i ritardi si distribuiscono come una v. c. Normale:
a) verificare l’ipotesi che il ritardo medio sia uguale a 15 minuti, contro l’alternativa unidirezionale piu’
opportuna, usando α=0.05;
c) calcolare l’intervallo di confidenza al livello del 95% per il ritardo medio. [R: non rifiuto H0; (12.02;
35.18)]
1
10.4 Supponendo di voler verificare al livello α=0.10 l’ipotesi nulla che il voto medio riportato dagli
studenti di Economia nell’esame di Statistica sia pari a 27 contro l’ipotesi alternativa che sia pari a 25.5,
quale dovrà essere la numerosità campionaria affinchè la potenza del test risulti almeno pari a 0.95? Ai fini
della soluzione si assume che il voto all’esame di Statistica abbia una distribuzione Normale con varianza
pari a 9. [R: n35]
10.5 Una società telefonica dichiara che nel 1990 l’importo della bolletta bimensile pagata dagli abbonati
privati ebbe una distribuzione con media 95 000 Lire e s.q.m. di 70 000 Lire.
a) Se si estrae un campione di 50 bollette dagli elenchi degli abbonati del 1990, quale è
approssimativamente la probabilità che la media campionaria degli importi sia maggiore di 100 000?
b) Estraendo un campione di ampiezza 100, la probabilità di cui al punto a) sarebbe maggiore
o minore? Perchè?
c) Una agenzia per la protezione del consumatore estrae un campione di ampiezza 100 ed osserva una
media campionaria degli importi pari a 105 000. Si pu`o concludere che l’importo medio bimensile pagato
nel 1990 sia stato uguale a 95 000? Usare un livello di significatività del 5%.
d) Calcolare il livello di significativita’ osservato.
[R: P(X>100000)=0.3085; la probabilità al punto a) sarebbe minore; non rifiuto l’ipotesi nulla; p
=0.0764]
10.6 In un campione di 1000 famiglie con 5 figli, la distribuzione del numero di figli maschi è la
seguente:
n. maschi
n. famiglie
0
30
1
150
2
370
3
250
4
170
5
30
tot
1000
a) Sul totale dei figli, quale è la percentuale di femmine?
b) Sia p la percentuale di femmine nella popolazione. Si vuole sottoporre a verifica l’ipotesi H0: p=0.5
contro l’alternativa H1: p0.5, con α=0.05. Individuare la regione di accettazione
(A) del test, e indicare se si rifiuta o meno l’ipotesi H0. c)
Calcolare il livello di significativita’ osservato.
[R: =0.506; A= { :0.486 < < 0.514} ; non si rifiuta H0; p =0.3954]
10.7 La società Broglio decide di lanciare sul mercato un nuovo tipo di detersivo. A questo scopo ne
viene inviato gratuitamente un flacone a 150 persone chiedendo loro di dichiarare se sono favorevoli
all’acquisto. Di queste, solo 30 si dichiarano favorevoli.
a) Costruire un intervallo di confidenza al livello 1-α =0.7 per la proporzione di soggetti che
acquisteranno il prodotto;
b) verificare al livello α =0.05 l’ipotesi nulla che la proporzione di soggetti che acquisteranno il prodotto
sia uguale al 30%.
c) calcolare il livello di significativita’ osservato.
[R: (0.166; 0.234) ; p =0.0035]
10.8 L’efficacia di una nuova cura dimagrante viene sperimentata su sei soggetti ottenendo i seguenti
risultati:
X
Y
68
54
56
50
58
50
62
56
74
58
66
54
(dove con X si è indicato il peso prima della cura e con Y quello dopo la stessa). Sottoporre a test l’ipotesi
che la cura non abbia avuto effetto. [R: si rifiuta l’ipotesi nulla].
10.9 I voti in Economia (X) ed in Statistica (Y) riportati da dieci studenti sono stati i seguenti:
2
X
Y
20
22
24
24
28
27
27
28
18
18
22
23
29
30
30
29
23
21
21
19
Sotto l’assunzione di Normalità, sottoporre a test l’ipotesi di eguaglianza in media dei voti di Statistica a
quelli di Economia. [R: non si rifiuta l’ipotesi nulla]
10.10 Un’ industria che produce sigarette dichiara che il contenuto di nicotina per sigaretta è pari a 0.7 mg
con una varianza uguale a 0.001. Da un controllo di qualità effettuato su un camione casuale di 81 sigarette
risulta che il contenuto medio di nicotina per sigaretta è 0.72.
Supponendo che la variabile considerata sia distribuita normalmente, verificare che il contenuto effettivo di
nicotina sia uguale al valore dichiarato (α =0.001)
[R:si accetta l’ipotesi alternativa che il contenuto di nicotina è maggiore di 0.7mg]
10.11 Nell’ambito di uno studio biometrico viene misurata la pressione arteriosa di un atleta sottoposto a una
prova da sforzo.
Nel corso di 28 replicazioni indipendenti della prova è stato registrato un livello medio di pressione sistolica
pari a 170, con uno scostamento quadratico medio corretto uguale a 30.
Supponendo che la variabili considerata sia distribuita come una normale, verificare l’ipotesi nulla che la
pressione sistolica dell’altleta durante la prova sia uguale a 1890 contro l’ipotesi che essa sia uguale a 170 (α
=0.01)
[R: accetto l’ipotesi nulla]
10.12 il contenuto di calcio disciolto ion un litro di acqua minerale (in mg/l) si distribuisce come un v.c.
Normale. Su un campione casuale di 121 osservazioni sono stati ottenuti i seguenti risultati: media=142 e
sc=20. Verificare se statisticamente è significativa l’ipotesi che il contenuto medio di calcio sciolto in un litro
d’acqua è uguale a 140 mg/l α =0.05
[R: accetto l’ipotesi nulla]
10.13 In un campione casuale di 10 lavoratori pendolari cene sono 4 che dichiarano di utilizzare il treno per
recarsi al posto di lavoro.
Verificare se risulta statisticamente significativa l’ipotesi che la percentuale di individui che utilizzano il
treno per gli spostamenti giornalieri di lavor è uguale a 50% α =0.01
[R: accettiamo ipotesi nulla]
10.14 Da un indagine sulle preferenze degli automobilisti in materia di assicurazioni RCA è risultato che su
un campione casuale di 11 donne ce ne sono 7 che si rivolgono a compagnie di assicurazioni telefoniche.
Verificare se statisticamente significativa l’ipotesi che la proporzione di donne che hanno una polizza
assicurativa RCA con compagnia di assicurazione telefonica è uguale al 0.6 α =0.01
[R: accettiamo l’ipotesi nulla]
10.15 Un’associazione a tutela dei consumatori ha rilevato che il prezzo medio per litro di benzina verde
particato da un camione casuale di 120 distributori a Roma è uguale a 1.141 con deviazione standard
campionaria pari a 0.013.
Verificare se risulti significativa l’ipotesi che il prezzo praticato dai distributori di Roma sia uguale a 1.139 α
=0.05, risolvendo l’esercizio
a)con ipotesi alternativa unilaterale
b) con ipotesi alternativa bilaterale
[R: a) rifiuto ipotesi nulla b) accetto ipotesi nulla]
3