Stimatori puntuali*
(esercizi di riepilogo)
1. Un grande dispositivo elettronico contiene 2000 componenti. Si assuma che
ciascun componente abbia una probabilità di operare senza malfunzionamenti
durante la vita del dispositivo pari a 0.995 e che i componenti si guastino
indipendentemente l’uno dall’altro. Calcolare la probabilità che 5 o più
componenti tra i 2000 originali subiscano un malfunzionamento durante la vita
del dispositivo.
2. Calcolare approssimativamente la probabilità che la somma di 30 variabili
aleatorie indipendenti ed uniformi su (0,1) sia superiore a 20.
3. I circuiti integrati prodotti da un certo impianto sono difettosi con probabilità
25%, indipendentemente gli uni dagli altri. Se viene testato un campione di
1000 pezzi, qual è la probabilità che meno di 200 siano difettosi?
4. Se l'incasso medio giornaliero (in milioni di Lire) di un supermercato è di 3,2
milioni con varianza 1,1 (milioni)2 e supponendo che gli incassi relativi a
giorni diversi sono variabili casuali indipendenti, calcolare la probabilità che
per questo supermercato l'incasso totale di 50 giorni lavorativi sia superiore a
180 milioni.
5. Ogni giorno gli impiegati di un ministero vanno a prendere il caffè al bar
vicino. Il tempo impiegato per arrivare al bar e tornare può considerarsi una
variabile casuale normale con media 15 (minuti) e varianza 11 (minuti al
quadrato). Il tempo trascorso al bar è anch'esso normale, indipendente dal
tempo del tragitto, con media 15 (minuti) e varianza 25 (minuti al quadrato).
Calcolare la probabilità che un impiegato si assenti per più di 35'.
6. Il tempo impiegato da un microprocessore per eseguire alcuni processi è una
variabile aleatoria normale con media 50 secondi e deviazione standard di 5
secondi. Se si osserva l’esecuzione di un campione di 12 processi, qual è la
probabilità che la varianza campionaria sia minore di 25?
7. Sia X la media campionaria di un campione casuale estratto da una
popolazione con distribuzione normale. Quale percentuale di popolazione è
compresa nell'intervallo ( X -3 MSE( X ), X +3 MSE( X )), dove MSE( X )
rappresenta lo scarto quadratico medio di X ? Quale percentuale di
popolazione cade al di fuori dell'intervallo ( X - MSE( X ), X + MSE( X ))?
8. Si assuma di aver selezionato un campione casuale di taglia n da una
popolazione descritta dalla variabile aleatoria X di media E[X ] = µ e varianza
Var ( X ) = σ 2 . Siano
ˆ = X 1 + ... + X 7 e Θ
ˆ = 2X1 − X 6 + X 4
Θ
1
2
7
2
due stimatori della media. Stabilire se si tratta di stimatori corretti. Quale tra i due
stimatori è migliore? Perchè?
*
Probabilità e Statistica I – a.a. 04/05 – E. Di Nardo
9. Una compagnia produce resistenze per apparecchiature elettroniche di media
100 Ohm e di deviazione standard 10 Ohm. La distribuzione di ciscuna
resistenza prodotta è gaussiana. Calcolare la probabilità che in media un
campione casuale di taglia 30 abbia una resistenza inferiore a 95 Ohm.
10. Sia X una variabile aleatoria con distribuzione uniforme sull'intervallo [4,6].
Determinare la distribuzione campionaria della media campionaria relativa ad
un campione di taglia 40.
11. Secondo il dipartimento dell'agricoltura statunitense, la nazione con il più
elevato consumo pro-capite di carne di maiale è la Danimarca. Nel 1994, il
consumo annuale di carne di maiale per persona è stato una variabile aleatoria
di media 147 e deviazione standard 62 (libbre). Selezionando un campione
casuale di 35 Danesi, qual è la probabilità che la media campionaria del loro
consumo relativo al 1994 abbia superato le 150 libbre?
12. Dall'esperienza passata si sa che il peso dei salmoni cresciuti in un allevamento
commerciale ha distribuzione normale con media che varia da stagione a
stagione e con deviazione standard sempre uguale a 0.3 libbre. Quanto grande
occorre prendere il campione se si vuole essere sicuri al 95% che la stima del
peso medio dei salmoni di quest'anno sia precisa entro ± 0.1 libbre?
