Esercitazioni 6

Esercitazione VI - STATISTICA (CdL Economia) a.a. 2014/2015
1. Nelle prossime consultazioni per l’elezione del sindaco nella città XXX si presenteranno i
candidati Caio e Sempronio. Al fine di prevedere l’esito delle elezioni, una società che effettua
sondaggi elettorali sta realizzando un’indagine. Vengono intervistati n = 200 elettori, 80 dei
quali dichiarano che voteranno per il candidato Caio. Sia p la frequenza relativa di coloro che
voteranno per Caio nella popolazione.
a) Quale statistica può essere impiegata per stimare il parametro incognito p e qual è la sua
distribuzione campionaria approssimata?
b) Ricavare il valore di una stima di p sulla base del campione osservato e della sua deviazione
standard (errore standard).
c) Determinare un intervallo di confidenza per p al livello di significatività 0,95.
d) Per ottenere un margine di errore superiore rispetto a quello ottenuto nel punto
precedente, bisogna fissare un livello di confidenza
⎕ minore ⎕ maggiore ⎕ il livello di confidenza non influenza il margine di errore
e) Sulla base dei dati osservati, si vuole verificare l’ipotesi che il candidato Sempronio non
vincerà le elezioni, ovviamente contro l’ipotesi che sarà lui a vincere. Come si formula il
problema in termini di verifica delle ipotesi statistiche?
f) Come si conclude il test al livello di significatività dell’1%?
g) Qual è il p-value corrispondente al valore della statistica campionaria utilizzata al punto
precedente?
2. Da una sorgente di acque minerali è stato prelevato un campione casuale di 81 provette di
acqua. Il contenuto medio di sali minerali disciolti in acqua è risultato pari a 600 mg/l.
Supponendo che il contenuto di sali minerali sia distribuito come una variabile casuale normale
con deviazione standard uguale a 50 mg/l, verificare, al livello di significatività dell’1%, l’ipotesi
che l’acqua della sorgente contenga mediamente 500 mg/l di sali minerali, contro l’alternativa
che ne contenga più di 500. Determinare che tipo di errore comporta la decisione cui si
perviene effettuando il test. Determinare il p-value del test.
3. Un esperto in comunicazioni ritiene che più della metà della popolazione effettua acquisti su
internet. Sapendo che dei 10 soggetti intervistati, 4 hanno effettuato un acquisto su internet,
cosa si può concludere sull’affermazione dell’esperto (utilizzare un livello di significatività del
10%)? Qual è l’errore che si commette immaginando che la probabilità che un utente acquisti
effettivamente un articolo è pari a 0,2?
4. I dati storici indicano che l’acidità media della pioggia in una certa zona del West Virginia è 5,2.
Per vedere se recentemente ci sono state delle variazioni, viene misurata l’acidità dell’acqua
durante 12 rovesci nell’ultimo anno, con media e deviazione standard pari rispettivamente a
5,667 e 0,921. Ritieni che, con un livello di significatività del 5%, si possa concludere che
l’acidità della pioggia sia cambiata rispetto al valore storico? Quali ipotesi sono necessarie per
effettuare il test?
5. Nel testare l’ipotesi nulla che la media di una certa popolazione è 14 contro l’ipotesi alternativa
a due code, è stata usata la statistica Z con un livello di significatività del 5%. Qual è la
numerosità del campione casuale necessaria affinché sia 15% la probabilità di accettare
erroneamente l’ipotesi nulla quando invece la vera media della popolazione è 14,5? (Da un
campione molto grande preliminare è stata stimata pari a 1,25 la deviazione campionaria).
6. Un professore che usa un libro di introduzione alla statistica open-source prevede che il 60%
degli studenti comprerà una copia cartacea del libro, il 25% stamperà il libro dal web e il 15% lo
leggerà online. Alla fine del semestre chiede ai suoi studenti di rispondere a un questionario
dove dovranno indicare qual è il formato del libro che hanno usato. Dei 126 studenti, 71 hanno
detto di aver comprato una copia cartacea del libro, 30 lo hanno stampato dal web e 25 lo
hanno letto online. Le previsioni del professore erano accurate?
GRAVE
MEDIO
LEGGERO
TOTALE
SPOSATO
22
33
14
69
STATO CIVILE
CELIBE
16
29
9
54
VEDOVO
19
14
3
36
TOTALE
57
76
26
159
A) Stabilire con un test chi-quadrato se le variabili stato civile/depressione sono
indipendenti.
B) Confrontare la risposta al punto A) con l’indice di connessione di Cramer.
7. Per il seguente campione casuale verificare se è plausibile supporre che la popolazione da cui
proviene è gaussiana. Si osservi che la media campionaria risulta 0,05 e la deviazione
campionaria è 2,54:
-3,37 -0,38 -3,24 0,40 -2,69 0,53 -2,38 1,49 -1,56 3,19 -1,17 3,40 -0,96 3,55 -0,55
8. E' ragionevole supporre al 95% che i dati della tabella seguente costituiscono un campione
estratto da una popolazione uniforme sull'intervallo [1,2]?
Classi
Freq.Osserv.
1-1,2
23
1,2-1,4
42
1,4-1,6
35
1,6-1,8
29
1,8-2
21
9. Una compagnia di assicurazioni vuole valutare l’entità media delle richieste di risarcimento
danni per incidenti automobilistici. Un’indagine svolta su di un campione di 25 richieste ha dato
i seguenti risultati (con X si indica la variabile “richiesta di risarcimento in migliaia di euro”). I
dati sono:
= 112,12 = 629,89
Stabilire se è plausibile ritenere che la varianza delle richieste di risarcimento sia variata
rispetto all’anno precedente, quando era stata stimata pari a = 5.