INFERRE
COLLANA DI PROBABILITÀ E STATISTICA MATEMATICA
Direttore
Corrado T
Università degli Studi di Palermo
Comitato scientifico
Giuseppe R
Università degli Studi di Palermo
Francesco R
University of Cape Town
Francesco T
Università degli Studi di Palermo
Melania Papalia
Calcolo integrale
Copyright © MMXV
Aracne editrice int.le S.r.l.
www.aracneeditrice.it
[email protected]
via Quarto Negroni,
Ariccia (RM)
()
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I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica,
di riproduzione e di adattamento anche parziale,
con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi.
Non sono assolutamente consentite le fotocopie
senza il permesso scritto dell’Editore.
I edizione: aprile
A Michele, Chiara, Gabriele, Raffaele
Indice
1 Metodi di integrazione
1.1 Integrali immediati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Integrali quasi immediati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Esercizi di riepilogo sugli integrali immediati e quasi immediati
1.4 Integrali di funzioni razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Esercizi di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Integrazione per parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Esercizi di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Integrazione per sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Esercizi di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Calcolo di una primitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11
11
17
24
27
98
139
187
230
292
341
2 Integrali definiti
2.1 Le proprietà dell’integrale definito
2.2 Esercizi di riepilogo . . . . . . . . .
2.3 Calcolo di aree . . . . . . . . . . .
2.4 Esercizi di riepilogo . . . . . . . . .
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351
351
385
409
424
3 Integrali impropri
3.1 Funzione integranda illimitata . . .
3.2 Intervallo di integrazione illimitato
3.3 Calcolo di aree . . . . . . . . . . .
3.4 Esercizi di riepilogo . . . . . . . . .
3.5 La funzione integrale . . . . . . . .
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43
437
457
475
487
519
4 Note conclusive
535
7
2
Prefazione
Questo eserciziario si rivolge a studenti di scuola superiore o laurea che si
trovino ad affrontare compiti o esami di Matematica e si presenta come un breve
viaggio nel mondo del Calcolo Integrale per funzioni definite nel campo reale e a
valori reali.
Ogni capitolo propone qualche richiamo teorico sui concetti fondamentali utilizzati, per approfondimenti dei quali si rinvia a un testo di Analisi Matematica,
e indica uno schema guida per affrontare gli esercizi. Numerosi esempi descrivono
i procedimenti da applicare e sono corredati da esercizi specifici e di riepilogo con
gradi diversi di difficoltà e approfondimento.
Il primo capitolo contiene un gruppo di esercizi sui principali Metodi di integrazione, successivamente applicati al calcolo di una particolare primitiva, alla risoluzione di integrali definiti e generalizzati al calcolo di integrali impropri. Particolare
attenzione è rivolta agli aspetti geometrici del concetto di integrale.
Concludo ringraziando il Prof. Angelo Guerraggio per aver letto la bozza del
lavoro, per i preziosi suggerimenti che hanno permesso la realizzazione del testo
definitivo e soprattutto per la passione e il coraggio che mi ha trasmesso.
Melania Papalia
9
Capitolo 1
Metodi di integrazione
In questo capitolo affrontiamo esercizi di calcolo di integrali indefiniti, focalizzando la nostra attenzione su alcuni metodi di integrazione: quando e come si
applicano, le principali difficoltà e le possibili alternative. Una sezione è dunque
dedicata a ognuno dei seguenti argomenti:
• integrali immediati, ovvero integrali la cui risoluzione si basa sull’applicazione di semplici regole nonchè sulle proprietà di linearità dell’integrale;
• integrali quasi immediati;
• integrali di funzioni razionali;
• integrazione per parti;
• integrazione per sostituzione.
Poichè l’obiettivo principale consiste nel fornire numerosi esercizi nonchè spunti
di riflessione, dopo ogni metodo di integrazione si inserisce una sezione di esercizi
di riepilogo sui casi visti per facilitare l’individuazione di un procedimento da
applicare tra più strade percorribili.
La conclusione del capitolo è una sezione dedicata a un’applicazione di quanto
precedentemente discusso, ovvero calcolare la primitiva di una funzione f (x) data,
che soddisfa una certa condizione.
Per comodità del lettore si riportano alcuni Teoremi e proprietà fondamentali,
senza dilungarsi sulle ipotesi e le dimostrazioni per le quali si rimanda a un testo
di riferimento.
1.1
Integrali immediati
Definiamo integrali immediati quelli che si possono risolvere ricorrendo esclusivamente alle proprietà di additività e omogeneità dell’integrale (proprietà distributiva), ovvero portando le costanti moltiplicative al di fuori del segno di integrale e
11
12
6
Calcolo integrale
Metodi di integrazione
calcolando anzichè l’integrale di una somma, la somma degli integrali delle funzioni
coinvolte:
(kf (x) + cg(x)) dx = k f (x) dx + c g(x) dx , k, c ∈ R.
Faremo ricorso alle proprietà delle funzioni elementari quali potenze, logaritmi,
esponenziali, ... e alla seguente tabella:
dx = x + c
a
a+1
x dx = xa+1 + c, (a = −1)
x
e dx = ex + c
x
ax + c = ax log e + c, (a > 0, a = 1)
a dx = ln
a
a
1
x dx = ln |x| + c
1
x loga e dx = loga |x| + c, (a > 0, a = 1)
sin x dx = − cos x + c
1
sin x
dx = ln tan x2 + c
1
sin2 x
dx = −cotan x + c
√ 1
1−x2
dx = arcsin x + c
cos x dx = sin x + c
1
cos x
dx = ln tan x2 + π4 + c
1
cos2 x
dx = tan x + c
1
1+x2
dx = arctan x + c
a e c sono delle costanti.
Consideriamo qualche esempio.
√
Esempio 1. Calcolare l’integrale indefinito
3 − 3 x + 9x3 dx .
La funzione integranda è definita come la somma algebrica di funzioni potenza,
dunque possiamo applicare la proprietà distributiva e scomporre l’integrale nella
somma di integrali immediati.
√
1
3 − 3 x + 9x3 dx = 3 dx − x 3 dx + 9 x3 dx
= 3x −
9
3√
3
x4 + x4 + c.
4
4
I.
Metodi di integrazione
1.1 Integrali immediati
13
7
1
2x − sin x dx .
+
Esempio 2. Calcolare l’integrale indefinito
2
x2
Applichiamo la proprietà distributiva, cosı̀ da affrontare separatamente il calcolo
dell’integrale per le funzioni potenza, esponenziale e trigonometrica.
2x
1
1
−2
x
− sin x dx = x dx +
2 dx − sin x dx
+
2
2
x2
2x
1
+ cos x + c.
=− +
x 2 ln 2
√
x+3
3
Esempio 3. Calcolare l’integrale indefinito
3e
− 1+x32 − lnx3 dx .
Per ricondurci alle formule riportate in tabella, teniamo presenti la proprietà
distributiva e il teorema delle potenze ax · ay = ax+y .
√
3
√
ln 3
3
1
1
3
x+3
3
x
e
dx
=
3e
dx
3e
−
−
dx
−
3
dx
−
ln
3
2
2
x
x
1+x
1+x
√
3
= 3ex+3 − 3 arctan x − ln 3 ln x + c.
Esercizi proposti
Calcolare i seguenti integrali immediati.
1
x3 −2x2 +3
dx
2
√
2√
3 x+ 3 3x
√
√ dx
3
4
x 5 + 7x−3 − x−1 + 6 dx
4
√ 3
x 7 + 4x 5 dx
5
x3
2
x + x1 dx
3
3x− 3 x
6
2
dx
2 + √1x
7
ex+2 −ex
dx
3
8
x+5
1 + e7 dx
e
+ e−x
7
9
x+3
3
+ ln13 dx
10
x+1
4
− e5 dx
11
√2
√
x log2 e dx
12
13
(2 sin x + 1) dx
Svolgimento degli esercizi proposti
14
1
√
3
x (log3 e + 3) dx
2
π cos x dx
+
sin
2
cos2 x
14
8
Calcolo integrale
Metodi di integrazione
m
Esercizio 1. Teniamo presente la relazione xxn = xm−n .
3
x − 2x2 + 3
1
1
dx
+
3
dx
=
dx
−
2
dx
3
x
x
x3
3 1
+ c.
= x − 2 ln |x| −
2 x2
Esercizio 2. Raccogliamo il fattor comune al fine di semplificare.
√ √
√
√
3
x 2+ 33
2 3 x + 3 3x
√
√
dx
√ dx =
√
3
3
3x − 3 x
x 33−1
√ 2+ 33
dx
= √
3
3−1
√ 2+ 33
x + c.
= √
3
3−1
Esercizio 3.
4
4
1
dx + 6 dx
x 5 + 7x−3 − x−1 + 6 dx = x 5 dx + 7 x−3 dx −
x
5 9
7
= x 5 − 2 − ln |x| + 6x + c.
9
2x
Esercizio 4.
√
√ 3
3
x 7 + 4x 5 dx = x 7 dx + 4 x 5 dx
=
√
4
7 10
x7 +√
x 5+1 + c.
10
5+1
Esercizio 5. Sviluppiamo il quadrato del binomio ricordando che (x ± y)2 =
x2 + y 2 ± 2xy.
1 2
1
2
x+
dx =
x + 2 + 2 dx
x
x
2
−2
= x dx + x dx + 2 dx
=
Esercizio 6.
1
x3
− + 2x + c.
3
x
1 2
4
1
2+ √
dx =
4+ + √
dx
x
x
x
1
1
dx + 4 √ dx
= 4 dx +
x
x
√
= 4x + ln |x| + 8 x + c.
I.
Metodi di integrazione
1.1 Integrali immediati
Esercizio 7.
ex+2 − ex
dx =
3
15
9
2
e −1
ex e 2 − 1
dx =
ex dx
3
3
e x e2 − 1
+c
=
3
ex+2 − ex
+ c.
=
3
Esercizio 8. Ricordiamo la proprietà delle potenze con esponente negativo
−n
1
= an .
a
1
e7
ex+5 + −x +
e
7
dx = e5
ex dx +
= (e5 + 1)ex +
ex dx +
e7
7
dx
e7
x + c.
7
Esercizio 9.
3
x+3
1
+
ln 3
3
dx = 3
1
3 dx +
ln 3
x
dx
3x+3
x
+
+c
ln 3
ln 3
3x+3 + x
+ c.
=
ln 3
=
Esercizio 10.
4x+1 − e5 dx = 4 4x dx − e5
dx
4x
− e5 x + c
ln 4
4x+1
− e5 x + c.
=
ln 4
=4
Esercizio 11. Risolviamo questo integrale in due modi, tenendo presente la forlog b
mula per il cambiamento di base dei logaritmi logc b = loga c .
a
Primo modo: utilizziamo la formula dell’integrale immediato
1
loga e dx = loga |x| + c, ovvero
x
16
10
Calcolo integrale
Metodi di integrazione
√
√ √
2
2
1
log2 e dx =
log2 e dx
x
2
x
1
= √ log2 |x| + c
2
ln |x|
+c
=√
2 ln 2
x
poichè logb xk = k logb x e log2 x = ln
ln 2 .
Secondo modo: utilizziamo la formula dell’integrale immediato x1 dx = ln |x| + c,
ovvero
√
√
2
2
1
log2 e dx =
log2 e
dx
x
2
x
1
= √ log2 e + ln |x| + c
2
ln |x|
+c
=√
2 ln 2
√
ln e = 1 .
poichè log2 e = ln
2
ln 2
Esercizio 12. Risolviamo anche questo esercizio, come il precedente, in due modi.
Primo modo: utilizziamo la formula dell’integrale immediato
1
loga e dx = loga |x| + c, ovvero
x
√
1
1
1
1
log3 3 e + 3 dx =
log3 e 3 dx + 3
dx
x
x
x
1
= log3 |x| + 3 ln |x| + c
3
1
ln |x| + 3 ln |x| + c
=
3 ln 3
1
+ 3 + c.
= ln |x|
3 ln 3
Secondo modo: utilizziamo la formula dell’integrale immediato x1 dx = ln |x|+
c, ovvero
1
√
√
1
log3 3 e + 3 dx = log3 3 e + 3
dx
x
x
1
=
log3 e + 3 ln |x| + c
3
1
+ 3 + c.
= ln |x|
3 ln 3
I.
Metodi di integrazione
1.2 Integrali quasi immediati
Esercizio 13.
(2 sin x + 1) dx = 2
17
11
sin x dx +
dx
= −2 cos x + x + c.
Esercizio 14. Ricorda sin π2 = 1.
1.2
π
2
1
cos
x
dx
=
2
+
sin
dx
+
cos x dx
2
cos2 x
cos2 x
= 2 tan x + sin x + c.
Integrali quasi immediati
In questa sezione focalizziamo la nostra attenzione sulla generalizzazione delle
formule che permettono di risolvere quelli che abbiamo definito integrali immediati, ovvero siamo interessati a comprendere i casi in cui, al posto della variabile
indipendente x, incontriamo una generica funzione f (x).
[f (x)]n f (x) dx =
[f (x)]n+1
n+1
+ c, (n = −1)
f (x) f (x) dx = ef (x) + c
e
f (x) f (x)
f (x) dx = aln a + c = af (x) loga e + c, (a > 0, a = 1)
a
f (x)
f (x)
dx = ln |f (x)| + c
f (x) sin f (x) dx = − cos f (x) + c
f (x) cos f (x) dx = sin f (x) + c
f (x)
− sin2 f (x) dx = −cotan f (x) + c
18
12
Calcolo integrale
Metodi di integrazione
f (x)
cos2 f (x)
dx = tan f (x) + c
√ f (x)
2
1−f (x)
dx = arcsin f (x) + c
f (x)
1−f 2 (x)
−√
dx = arccos f (x) + c
f (x)
1+f 2 (x)
dx = arctan f (x) + c
a e c sono delle costanti.
Si osservi che gli integrali immediati si possono dedurre dalle formule sopra
elencate, considerando f (x) = x e dunque f (x) = 1. Questo giustifica l’appellativo di integrali quasi immediati.
Consideriamo qualche esempio, cercando di individuare la funzione f (x) che caratterizza l’integrale quasi immediato.
Esempio 4. Calcolare l’integrale indefinito
1
√
3
6x + 5 dx .
Sia [f (x)]n = [6x + 5] 3 e dunque f (x) = 6. Allora
√
3
√
1
6 3 6x + 5 dx
6
13
(6x + 5)4 + c.
=
8
6x + 5 dx =
Esempio 5. Calcolare l’integrale indefinito
earctan x
dx .
1+x2
1 . Allora
Sia f (x) = arctan x e dunque f (x) = 1+x
2
earctan x
dx = earctan x + c.
1 + x2
Esempio 6. Calcolare l’integrale indefinito
3
ex +3
dx .
I.
Metodi di integrazione
1.2 Integrali quasi immediati
19
13
Sia f (x) = f (x) = ex . Allora
3
3 + ex − e x
dx
=
dx
ex + 3
ex + 3
ex
=
1− x
dx
e +3
ex
dx
=
dx −
x
e +3
= x − ln(ex + 3) + c.
Si osservi che non è necessario considerare il modulo dell’argomento del logaritmo
poichè (ex + 3) > 0, ∀x ∈ R.
Esempio 7. Calcolare l’integrale indefinito 13 sin 3x dx .
Sia f (x) = 3x e dunque f (x) = 3. Allora
1
1
sin 3x dx =
3 sin 3x dx
3
9
1
= − cos 3x + c.
9
Esempio 8. Calcolare l’integrale indefinito 9x21+1 dx .
Sia f (x) = 3x e dunque f (x) = 3. Allora
1
3
1
dx
=
dx
2
3
9x + 1
1 + (3x)2
1
= arctan(3x) + c.
3
Esercizi proposti
Calcolare i seguenti integrali quasi immediati.
15
5x2 (3 + 7x3 )7 dx
17
ln3 x
dx
19
xe
√
21
3ex
dx
e−x
3x
√
23
1−x2
1−x2
dx
5x+1
5x2 +2x+1
dx
16
sin x cos4 x dx
18
√
3
1+x−3
dx
x2
20
sin x−x
e
(1 − cos x) dx
22
2√x
√ dx
x
24
2x
5x2 ln x
dx
20
14
Calcolo integrale
Metodi di integrazione
25
27
29
31
33
35
sin(3x + 5) dx
26
ln x
2
x sin ln x dx
28
3 sin x
sin2 cos x
√ x
1−x4
dx
30
dx
32
x2
1+4x6
dx
34
1
x2 +25
dx
36
1
x cos ln x dx
1
x sin2 ln x
(x+1)
cos2 (x+1)2
x
dx
√ 1
1−ln2 x
1
1+25x2
3
16+x2
dx
dx
dx
dx
√
37 Verificare che √ 12 dx = ln x + x2 ± 1 + c.
x ±1
Svolgimento degli esercizi proposti
Esercizio 15. Sia [f (x)]n = (3 + 7x3 )7 e dunque f (x) = 21x2 . Allora
5
5x (3 + 7x ) dx =
21x2 (3 + 7x3 )7 dx
21
5 1
· (3 + 7x3 )8 + c
=
21 8
5
(3 + 7x3 )8 + c.
=
168
2
3 7
Esercizio 16. Sia [f (x)]n = [cos x]4 e dunque f (x) = − sin x. Allora
1
sin x cos4 x dx = − cos5 x + c.
5
Esercizio 17. Sia [f (x)]n = [ln x]3 e dunque f (x) = x1 . Allora
1 4
ln3 x
dx =
ln x + c.
3x
12
1
Esercizio 18. Sia [f (x)]n = (1 + x−3 ) 3 e dunque f (x) = − 2x1 2 . Allora
√
√
3
3
1 + x−3
1 + x−3
dx
=
−2
−
dx
x2
2x2
4
3
= − (1 + x−3 ) 3 + c
2
1 4
33
1+ 3
+ c.
=−
2
x
