Calcolo delle derivate ed applicazioni (di Cinzia Cerroni) Introduzione

Calcolo delle derivate ed applicazioni (di Cinzia Cerroni)
Introduzione
Il modulo è rivolto ad una V Liceo Scientifico. La durata prevista è di 20 ore comprese le
verifiche.
I contenuti del modulo sono presentati sotto forma di “Concetti Base” e “Concetti
Organizzatori” e vengono presentati in base a “Situazioni”. Ogni situazione viene confrontata
con la mappa degli esiti di formazione della presente programmazione, in modo da permettere al
docente, in fase di verifica dell’acquisizione delle competenze acquisite (per competenze si
intendono le capacità globali che l’allievo deve acquisire), una corretta valutazione e
certificazione di tali competenze, in base alle situazioni trattate nel modulo.
È importante notare che la struttura stessa del modulo permette la trattazione delle varie
situazioni
in
maniera
non
sequenziale,
in
modo
da
poter
effettivamente
svolgere
quell’insegnamento per temi che è stato da tempo ormai inserito nelle direttive ministeriali.
Tutte le lezioni sono svolte in modo interattivo e con la partecipazione diretta degli studenti.
La metodologia usata è:
1. Lezione dialogata, uso di mappe concettuali, diagrammi di flusso e schemi a blocchi;
2. sviluppo dei concetti tramite il problem solving;
3. applicazione dei concetti acquisiti tramite ulteriori esercizi svolti alla lavagna.
Competenze
C1. Conoscere e saper applicare correttamente i meccanismi operativi e le tecniche del calcolo.
C2. Riuscire ad estrapolare le regole.
C3. Saper applicare in modo corretto le regole.
C4. Coordinare ed integrare i concetti acquisiti con le nuove conoscenze.
C5. Saper applicare i concetti acquisiti nel contesto operativo specifico.
C6. Riuscire ad enucleare i concetti essenziali.
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C7. Comprendere i legami tra algebra e geometria.
C8. Conoscere la simbologia.
C9. Saper collocare un concetto nel settore di appartenenza.
C10.
Saper inventare e ricercare connessioni e correlazioni.
C11.
Saper condurre un ragionamento analitico con rigore logico.
C12.
Saper cercare percorsi alternativi.
Esiti di formazione
a) Saper calcolare le derivate delle funzioni facendo uso della definizione di derivata;
b) Conoscere e saper calcolare le derivate delle funzioni elementari;
c) Conoscere le regole di calcolo delle derivate;
d) Saper calcolare le derivate delle funzioni mediante le regole di calcolo;
e) Riconoscere una funzione composta;
f) Conoscere la regola di derivazione della funzione composta;
g) Saper calcolare le derivate delle funzioni composte;
h) Riconoscere la funzione inversa di una funzione data;
i) Conoscere la regola di derivazione della funzione inversa;
j) Saper calcolare la derivata di una funzione inversa di una funzione data;
k) Saper applicare il significato geometrico della derivata;
l) Conoscere la definizione di crescenza e decrescenza per una funzione;
m) Saper riconoscere una funzione crescente ed una funzione decrescente;
n) Conoscere la relazione esistente tra la crescenza e la decrescenza di una funzione derivabile
ed il segno della derivata prima.
o) Conoscere la definizione di punto di massimo e di minimo relativo.
p) Saper trovare i punti di massimo e di minimo per una funzione derivabile.
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q) Saper interpretare la derivata seconda di una funzione come indicatore dell’andamento
tendenziale;
r) Conoscere la definizione di concavità del grafico di una funzione;
s) Saper individuare in un grafico gli intervalli in cui la concavità è verso l’alto e quelli in cui è
verso il basso;
t) Conoscere la relazione esistente tra concavità del grafico di una funzione derivabile ed il
segno della derivata seconda.
u) Conoscere la definizione di punto di flesso di una funzione;
v) Saper trovare i punti di flesso di una funzione due volte derivabile.
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Relazioni Situazioni/Concetti
Situazione
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
Concetti Base
Concetti Organizzatori
Calcolo della derivata
delle funzioni, a, x,
ax + b.
Calcolo della derivata
delle funzioni, x 2 ,
x 3 , x 4 ,…., x n .
Calcolo della derivata
delle funzioni
x ,3 x e 4 x .
Generalizzazione a
n
x.
Calcolo della derivata
della funzione a x 3 +
b x 2 ed analoghe.
Variabile, costante,
funzione, limite,
incremento.
Variabile, funzione,
limite, incremento,
potenze, potenze di un
binomio.
Definizione di derivata di una
funzione.
Variabile, costante,
polinomi, limite,
incremento.
Dimostrazione della
regola di derivazione
della funzione af(x) +
bg(x).
Calcolo delle derivate
del prodotto di alcune
funzioni e
generalizzazione.
Calcolo delle derivate
del rapporto di alcune
funzioni e
generalizzazione.
Calcolo della derivata
della funzioni senx,
cosx, tagx, cotgx.
Calcolo della derivata,
di alcune particolari
funzioni composte di
due funzioni, facendo
uso della definizione.
( senx 2 , senx , ….).
Dimostrazione nel
caso generale.
Generalizzazione alle
funzioni composte di
più funzioni.
Variabile, costante,
funzione, limite,
incremento.
Definizione di derivata di una
funzione.
Combinazione lineare di funzioni.
Algebra dei limiti.
Definizione di derivata di una
funzione.
Combinazione lineare di funzioni.
Algebra dei limiti.
Definizione di derivata di una
funzione.
Algebra dei limiti
Variabile, funzione,
limite, incremento.
Definizione di derivata di una
funzione.
Divisione tra polinomi.
Variabile, funzione,
limite, incremento
Definizione di derivata di una
funzione.
Algebra dei limiti
Funzioni
goniometriche,
rapporto di funzioni.
Funzione, funzione
composta.
Definizione di derivata di una
funzione.
Regole di calcolo delle derivate.
Definizione di derivata di una
funzione.
20
S9
Calcolo della derivata
di particolari funzioni
inverse, facendo uso
della definizione.
(arcsenx, arccosx,…).
Dimostrazione nel
caso generale.
Enunciato e
significato geometrico
del teorema di
Lagrange.
Dimostrazione della
relazione esistente tra
la crescenza e la
decrescenza di una
funzione derivabile ed
il segno della derivata
prima, come
applicazione del
teorema di Lagrange.
Definizione di punti di
massimo e di minimo
relativi. Esempi di
funzioni note. (senx,
cosx, parabola…)
Condizione necessaria
perché un punto sia di
massimo o di minimo,
e criteri per
determinarli.
Grafico della parabola
e della funzione
modulo.
Definizione di
concavità di una
funzione continua,
esempi grafici.
Funzione, funzione
inversa.
Definizione di derivata di una
funzione.
Algebra dei limiti
Funzione, incremento,
coefficiente angolare
di una retta.
Definizione di derivata di una
funzione.
Significato
geometrico
della
derivata.
Definizione di derivata di una
funzione.
Significato
geometrico
della
derivata.
S15
S16
S10
S11
S12
S13
S14
Funzione, incremento,
coefficiente angolare
di una retta, crescenza,
decrescenza.
Funzione, intorno.
Confronto tra valori assunti da
una funzione.
Funzione, incremento,
coefficiente angolare
di una retta, crescenza
e decrescenza.
Definizione di derivata di una
funzione.
Significato
geometrico
della
derivata.
Funzione, intorno,
retta, retta tangente
alla funzione in un
punto.
Intersezione tra una curva ed una
retta.
Grafico della cubica
y = x 3 , definizione di
punto di flesso.
Funzione, intorno,
retta, retta tangente
alla funzione in un
punto.
Intersezione tra una curva ed una
retta.
Dimostrazione grafica
della relazione
esistente tra la
concavità di una
funzione due volte
derivabile ed il segno
della derivata seconda.
Funzione, incremento,
retta tangente alla
funzione in un punto.
Definizione di derivata seconda
di una funzione.
Significato geometrico della
derivata.
Relazione che intercorre tra la
crescenza/decrescenza di una
funzione ed il segno della
derivata prima.
21
S17
Grafico della funzione
y = x 5 .Criteri per
determinare i punti di
flesso di una funzione.
Grafico della funzione
cubica, della sua
derivata prima e della
sua derivata seconda.
Esempi vari.
Funzione, incremento.
Definizione di derivate
successive.
Definizione di punto di flesso.
La verifica formativa è effettuata all’interno di ogni situazione. Infatti,
Verifica
Formativa gli studenti sono direttamente partecipi, i concetti si introducono con la
metodologia del problem solving, si fanno domande dal posto e si
mandano gli studenti alla lavagna. Inoltre, alla fine di ogni situazione,
i ragazzi sono mandati alla lavagna ad esercitarsi, e si chiede ad i
ragazzi dal posto di dettare e di inventare esercizi per i compagni.
La verifica complessiva è effettuata alla fine del modulo. Consiste sia
Verifica
Complessiva di interrogazioni orali, sia di compiti scritti, sia di un test. Le
interrogazioni ed i compiti scritti sono stati svolti e programmati con il
tutor. Il test è corredato di una mappa che indica quesito per quesito
quali esiti possono essere verificati.
Valutazione: corrispondenza tra voti e livelli di apprendimento
Apprendimento nullo :
voto 1/2
“
scarso:
voto 3
“
insufficiente: voto 4
“
liev. Insuffi: voto 5
“
sufficiente: voto 6
“
discreto:
voto 7
“
buono
voto 8
“
distinto
voto 9
“
ottimo
voto 10
22
Mappa di Riferimento Situazioni/Esiti
a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
S10
S11
S12
S13
S14
S15
S16
S17
××
××
××
××
××
××
××
××
××
×
×
×
×
×
××
×
×××
×××
×
××××
×
×××××
×
×
××
××
×
× ×
××
××××
23
Indicazioni relative alle situazioni proposte
S1
S2
S3
S4
S5/S6
S7
S8
S9
L’obiettivo principale della situazione proposta far comprendere agli
studenti la derivata di una funzione costante, la derivata della funzione y = x,
ed una loro combinazione lineare. La metodologia usata è la lezione
interattiva, ed il problem solving.
Obiettivo principale della situazione proposta è la deduzione e la
dimostrazione della regola di derivazione della funzione x n , n ∈ N . Si
procede in più passi. Prima, la si dimostra in casi particolari, e dopo aver
fatto dedurre la regola, si procede alla dimostrazione nel caso generale. In
seguito la si estenderà al caso di esponente reale, e si farà dedurre la regola
di derivazione della radice n-sima. La metodologia utilizzata è la lezione
interattiva ed il problem solving. Si mandano sempre studenti alla lavagna
durante la lezione.
Obiettivo principale della situazione proposta è quello di arrivare a dedurre
la regola di derivazione della combinazione lineare di funzioni. Durante il
calcolo del limite del rapporto incrementale di funzioni polinomiali, si farà
notare che il rapporto incrementale si può scrivere come somma dei rapporti
incrementali delle singole potenze, e che le costanti si portano fuori
dall’operazione di limite.
La metodologia usata è la lezione interattiva ed il problem solving. Si
suppone che gli studenti deducano da soli la regola, e siano in grado di
dimostrarla.
La metodologia utilizzata è la lezione interattiva ed il problem solving.
Saranno mandati alla lavagna anche gli studenti. La tecnica è sempre quella
di passare dal caso particolare al generale. Prima con esempi concreti e poi
con la dimostrazione della regola in generale.
L’obiettivo principale della situazione proposta è quello di dedurre le regole
di derivazione delle funzioni goniometriche e di saper applicare la regola di
derivazione del rapporto di funzioni. La metodologia usata è quella del
problem solving e della lezione interattiva. Gli studenti parteciperanno
attivamente andando alla lavagna.
La metodologia usata è il problem solving e la lezione interattiva. Si inizia
con il calcolo della derivata di alcune funzioni composte come limite del
rapporto incrementale. Successivamente, si calcola il limite del rapporto
incrementale di queste funzioni, ripercorrendo nel caso particolare, la
dimostrazione generale. In modo da evidenziare che si ottiene il prodotto del
limite di due rapporti incrementali. Quindi, si fa emergere la regola generale
e la si dimostra. Si calcolano alcune derivate di particolari funzioni
composte, sempre in modo interattivo e si fanno andare gli studenti alla
lavagna ad esercitarsi. In seguito, si chiede loro come deriverebbero la
funzione composta di più funzioni, dedotta la regola la si dimostra.
La metodologia usata è il problem solving e la lezione interattiva. Si calcola
il limite del rapporto incrementale di alcune funzioni, ripercorrendo nel caso
particolare, la dimostrazione generale. In seguito, la si dimostra nel caso
generale. Saranno mandati gli studenti alla lavagna.
24
S10
S11
S12
S13
S14
S15
S16
S17
La metodologia usata è la lezione frontale. Si illustrerà il significato
geometrico del teorema di Lagrange con esempi grafici.
La metodologia usata è la lezione interattiva. Dopo aver dimostrato la
relazione che intercorre tra la crescenza e la decrescenza ed il segno della
derivata, si portano esempi di funzioni derivabili, crescenti e decrescenti,
evidenziando la posizione della retta tangente nei punti, per evidenziare il
significato geometrico della condizione di crescenza e di decrescenza.
La metodologia utilizzata è la lezione interattiva ed il problem solving. Si
chiederà agli studenti di produrre loro stessi esempi di funzioni che hanno
punti di massimo e di minimo relativi, tra le funzioni che già conoscono.
La metodologia usata è la lezione interattiva ed il problem solving. Si farà
dedurre agli studenti la condizione necessaria perché un punto di una
funzione derivabile sia di massimo o di minimo relativo, usando il
significato geometrico della derivata e la conseguente posizione della retta
tangente ad una curva. Si sottolineerà che è solo una condizione necessaria,
portando esempi di punti di flesso a tangente orizzontale. Si spiegheranno
poi i criteri per determinarli.
La metodologia usata è la lezione interattiva. Si disegnano la parabola e la
funzione modulo, e si introduce il concetto di concavità in modo grafico.
La metodologia usata è la lezione interattiva ed il problem solving. Si
disegnerà insieme agli studenti il grafico della cubica y = x 3 , facendo notare
loro che nell’origine ha un punto di flesso e contemporaneamente si darà la
definizione rigorosa.
La metodologia usata è la lezione interattiva ed il problem solving. Si
ricorderà agli studenti il legame tra la crescenza e la decrescenza di una
funzione e la derivata prima, ed il fatto che la derivata prima è il coefficiente
angolare della retta tangente, in seguito graficamente si farà notare che se la
funzione rivolge la concavità verso l’alto, il coefficiente angolare delle rette
tangenti cresce, e conseguentemente la derivata seconda dovrà essere
positiva.
La metodologia usata è la lezione interattiva ed il problem solving. Si partirà
dal grafico della funzione y = x 5 , e dalle sue derivate successive calcolate
nell’origine, e si dedurranno i criteri per determinare i punti di flessi, ed il
criterio delle derivate successive. Si faranno andare i ragazzi alla lavagna ad
esercitarsi. Si faranno poi confrontare i grafici della cubica, della sua
derivata prima e della sua derivata seconda per far capire il legame grafico
tra esse.
25
Test
Rispondere ai seguenti quesiti. Accanto ad ogni domanda sono riportati i punteggi
corrispondenti.
La sufficienza è raggiunta se si ottiene la totalità di 12 punti.
T1. Dimostrare che la derivata della funzione cosx è –senx.
(1)
T2. Dimostrare che la derivata della funzione x 7 è 7 x 6 .
(1,5)
T3. Calcolare la derivata della funzione
senx 2
.
log x
(
(1)
)
T4. Calcolare la derivata della funzione sen log x 3 .
T5. Dimostrare che la derivata dell’arctanx è
1
.
1 + x2
(1)
(2,5)
T6. Fare un esempio di una funzione (che non sia la retta) sempre crescente o sempre
decrescente (a scelta) e dimostrarlo. (3,5)
T7. Fare un esempio di funzione che rivolge sempre la concavità verso l’alto (o verso il
basso a scelta) e dimostrarlo.(3,5)
T8. Disegnare il grafico della funzione y = x 3 − 3 x 2 − x + 3 , della sua derivata prima e della
sua derivata seconda, segnalando la relazione tra i grafici. (3,5)
T9. Dire che tipo di punto ha nell’origine la funzione y = x 8 − 1 , dimostrarlo e scrivere la
retta tangente in tale punto. (2,5)
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Mappa di riferimento Test/esiti
a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
T9
×
×
×××××××
×××××××
×××
×××
×××
×××××××××××
×
××
Mappa di riferimento Competenze/esiti
a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
C9
C10
C11
C12
××××
××
×
××
×
×
×
×
××
××
×
×
×
×
×
××
×
×
×
×
××
×
×
××××××××
×
×
27