Esame di Istituzioni di Matematica 2. 21 Aprile 2017 Appello Straordinario Svolgere il maggior numero di esercizi possibile 3 1. Data la curva γ(t) = (t2 , t3 − t), per t ∈ [0, 1], calcolarne la lunghezza, tracciarne un grafico qualitativo, e calcolarne il versore tangente nel punto relativo al valore t0 = 21 . 2. Determinare l’integrale generale della seguente equazione differenziale y 00 (x) + 2y 0 (x) + y(x) = 25 sen(2x) 3. Sia D = {(x, y) : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4 ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x}. Si calcoli Z Z 1 D (x2 3 + y2) 2 dxdy . 4. Dato il campo F (x, y) = x y , x2 + y 2 x2 + y 2 . Determinare, motivando la risposta, se esso sia o meno conservativo nel primo quadrante del piano cartesiano (privato degli assi!). In caso affermativo, calcolarne il potenziale V (x, y) tale che V (1, 0) = 4 Rispondere sinteticamente alle seguenti domande: a) Dare la definizione di curva semplice, chiusa e regolare. Quali di queste proprietà sono soddisfatte dalla curva γ dell’esercizio 1. ? Motivare la risposta. b) Dare la formula per il calcolo del lavoro svolto da un campo di forze F lungo la traiettoria γ : [a, b] → R. Come si semplifica questa formula se il campo F è anche conservativo?