Quesiti

Quesiti proposti nelle precedenti prove
• Siano A e B eventi di uno stesso spazio di probabilità.
− Ricordare il significato del simbolo P( A | B) ;
− Esprimere (fornendone la giustificazione) P ( A | B ) in funzione di P( B | A) .
• E’ assegnata un’urna con 10 palline rosse e 20 palline bianche dalla quale si effettuano due
estrazioni senza restituzione. Denotato con A l’evento “alla prima estrazione appare una pallina
rossa” e con B l’evento “alla seconda estrazione appare una pallina bianca” valutare la probabilità
dell’evento A | B .
• Sia ( X , Y ) una variabile bivariata con distribuzione normale e parametri μ X = 2 , μY = 4 ,
σ X = 2 , σ Y = 3 , ρ( X ,Y ) = 0.4 . Qual è la distribuzione della variabile W = 2 X − 3Y ?
• Sia X ∼ P(λ ) con λ = 10 . Scrivere
−
la formula analitica che consente il calcolo (non approssimato) di P ( X = 10) ,
−
l’istruzione di excel che valuta approssimativamente P ( X = 10) .
• Sia T una variabile con distribuzione t − student con 10 gradi di libertà. Con quale istruzione si
calcola, su un foglio di excel, P ( X > −1) ?
• Descrivere il funzionamento di un sistema r − out − n ; inoltre calcolarne l’affidabilità nel caso
in cui r = 2 , n = 7 e l’affidabilità di ciascun componente è p = 0.8 (motivare la risposta).
• Cosa calcola la seguente istruzione su un foglio excel? DISTRIB.NORM(1.5,0,1,0)
• Ricordare la definizione di probabilità condizionata (di un evento A dato un evento B ); inoltre
enunciare e dimostrare il teorema di Bayes.
• Da un’urna con 4 palline rosse e 3 palline bianche si effettuano tre estrazioni senza restituzione.
Denotata con X la variabile che conta il numero di palline rosse estratte:
− Descrivere (mediante una tabella) la distribuzione di probabilità di X ;
− Calcolare la media e la varianza di X .
⎛7⎞
⎝ 3⎠
⎛n⎞
⎝0⎠
⎛n⎞
⎝1⎠
⎛n⎞
⎝ 2⎠
(Sugg. ⎜ ⎟ = 7 ⋅ 5 ; inoltre ⎜ ⎟ = 1, ⎜ ⎟ = n, ⎜ ⎟ =
⎛ n ⎞
⎛ n⎞
n ⋅ (n − 1)
, … ⎜
⎟ = n, ⎜ ⎟ = 1 per ogni n > 2 ).
2
⎝ n − 1⎠
⎝ n⎠
• E’ noto che il numero di arrivi (per esempio clienti in una banca) in un (qualunque) intervallo di
tempo tra le 10 e le 12 ha distribuzione di Poisson, inoltre che il numero medio di arrivi nell’unità di
tempo (1 minuto) è λ (= 0.8) .
− Determinare la densità della variabile aleatoria T “tempo di attesa del primo cliente” a partire
dalle ore 10.
•
Rappresentare graficamente il numero ottenuto con il seguente comando di excel:
INV.CHI(0.95,15).
•
Sia X una variabile distribuita unifomemente sull’intervallo [ −2, 2] .
− Scrivere la densità di X .
− Calcolare E( X 2 ) ;
− Individuare la distribuzione della variabile X 2 .
•
Sia T la variabile aleatoria “tempo di funzionamento” di un componente e sia FT (t ) la sua
funzione distribuzione cumulativa.
-
Descrivere la procedura che consente il calcolo dell’affidabilità e della funzione rischio;
-
Fornire l’interpretazione frequentista, motivando la risposta, dell’affidabilità e della funzione
rischio.
•
Descrivere brevemente le procedure necessarie per la simulazione di un sistema del tipo stand-
by, costruito con due compenenti che hanno tempo di funzionamento tra loro indipendenti e con
distribuzione esponenziale e parametro λ = 2 .
• Richiamare le proprietà della media e della varianza per variabili aleatorie e utilizzarle per
calcolare la media e la varianza della media campionaria di una variabile aleatoria X .
• Enunciare i vari teoremi che consentono di approssimare una v.a. con distribuzione binomiale.
• Sia X ∼ b(30, 0.4) . Scrivere
−
la formula analitica che consente il calcolo (non approssimato) di P ( X = 15) ,
−
l’istruzione di excel che valuta approssimativamente P( X = 15) .
• Sia Z ∼ N (0,1) . Richiamare la nozione di quantile della variabile Z con indice α e
rappresentare graficamente la coppia (α , zα ) .
• Scrivere il comando di excel che consente di calcolare t10,0.05 e z0.05 .
• Descrivere e motivare la procedura che consente la simulazione di una v.a. con distribuzione
esponenziale e parametro λ = 2 .
• Un sistema è costruito da 2 componenti in parallelo. Sapendo che il tempo di funzionamento di
ciascun componente ha distribuzione esponenziale con media 4h e che i tempi di funzionamento
sono indipendenti, calcolare l’affidabilità e la densità del tempo di funzionamento del sistema.
• Fornire, una interpretazione frequentista della funzione rischio.
• Sapreste motivare la precedente risposta?
•
Richiamare la definizione di funzione probabilità su uno spazio degli eventi e segnalare alcune
sue proprietà.
•
E’ noto che gli eventi A e B (di uno spazio di probabilità) sono indipendenti ed inoltre si ha
P( A) = 0.7 e P( B) = 0.4 . Calcolare
-
P( A ∨ B) ;
-
P( A \ B) .
•
Sia X una variabile aleatoria.
-
Richiamare la definizione di Media campionaria e Varianza campionaria di lunghezza n (si
faccia attenzione a rendere esplicito ciò che è necessario sia disponibile).
-
Ricordare e giustificare (quando sia possibile) le loro principali proprietà, nel caso in cui la
variabile aleatoria X ha distribuzione normale.
•
E’ assegnata un’urna con 5 palline rosse e 4 palline bianche.
-
Descrivere un fenomeno il cui modello probabilistico è una variabile aleatoria con distribuzione
geometrica.
-
Costruire il modello per il fenomeno descritto precedentemente.
-
Valutare la probabilità che la prima pallina rossa appaia tra le terza e la decima estrazione.
-
Valutare la probabilità dell’evento “ La seconda pallina rossa in una sequenza di estrazioni con
restituzione appare dopo la settima estrazione”.
•
Ricordare la definizione e le principali proprietà della funzione distribuzione cumulativa di una
variabile aleatoria continua X . Inoltre
-
Dare l’interpretazione frequentista alle funzioni FX ( x) e f X ( x) per un x fissato.
•
Un sistema è costituito da tre componenti disposti nel modo seguente:
Il primo componente è collegato in serie con il parallelo del secondo e del terzo.
Se il tempo di funzionamento di ciascun componente ha distribuzione esponenziale con media 2h.
valutare l’affidabilità e il tempo medi di funzionamento del sistema.
•
Per una variabile bivariata ( X , Y ) è noto che:
μ X = 1, μY = 2, σ x = 2, σ Y = 3, ρ ( X ,Y ) = −0.2 .
-
Calcolare la varianza della v.a. W = 3 X − 2Y .
-
Se la variabile bivariata ( X , Y ) ha distribuzione normale con quale istruzione di excel si calcola
la probabilità dell’evento “ W 2 ≤ 2 ”.