Teoria dei segnali – prova in itinere Esercizio 1 Si supponga di avere tre urne identiche. In una ci sono solo palline rosse in numero pari a 2b essendo b il numero di lettere del cognome , in un’altra ci sono b palline rosse e b palline gialle, nella terza ci sono b rosse, ceil(b/2) palline gialle e b-ceil(b/2) palline verdi. Scelta a caso un’urna, 1. Qual è la probabilità di estrarre una pallina rossa? [2.5 punti] 2. Qual è la probabilità che estratte due palline senza reinserzione, siano entrambe rosse? [2.5 punti] 3. Si supponga di associare un punteggio pari a 1 quando viene estratta una pallina rossa, 2 quando viene estratta una pallina gialla, e 3 quando viene estratta una pallina verde. Qual è la probabilità che estraendo due palline con reinserzione si ottenga un punteggio maggiore o uguale a 5? [2.5 punti] 4. Sia X la variabile aleatoria che rappresenta il punteggio ottenuto estraendo due palline, calcolare media e varianza di X. [2.5 punti] Esercizio 2 Sia X la variabile aleatoria uniforme in [-2, b] dove b indica il numero di lettere del cognome e sia Y una variabile aleatoria ottenuta a partire dalla X tramite la legge di trasformazione g(x) definita come segue: 1 ๐ ๐ |๐ฅ| < 1 ๐(๐ฅ) = {|๐ฅ| ๐ ๐ 1 ≤ |๐ฅ| < ๐ 0 ๐ ๐ |๐ฅ| ≥ ๐ 1. Calcolare il valore medio e la varianza di X [2.5 punti] 2. Calcolare il valore medio e la varianza di Y [2.5 punti] 3. Valutare e disegnare la densità di probabilità di Y [2.5 punti] 4. Calcolare la probabilità che Y sia maggiore di X [2.5 punti] Domanda 1 Teorema di Bayes e di probabilità totale (enunciato, dimostrazioni, esempi) Domanda 2 La variabile aleatoria esponenziale e memoria di una variabile aleatoria. NOTE: NELLO SVOLGIMENTO RIPORTARE SUBITO IN ALTO, SCRIVENDO IN STAMPATELLO IN MODO CHIARO, “PROVA IN ITINERE”, IL PROPRIO NOME E COGNOME, IL NOME DEL PROPRIO DOCENTE (“GALLUCCIO”, “LOMBARDO”, O “MORABITO”) E IL VALORE DELLA PROPRIA b