INTEGRALE DELLA GAUSSIANA
Prof. Domenico RUGGIERO
Calcolo dell'integrale della gaussiana
Una funzione gaussiana ha la forma
2
f (x) = ke−αx
con k, α > 0.
Com'è noto, funzioni di questo tipo non sono elementarmente integrabili nel
senso che, pur soddisfacendo il teorema fondamentale del calcolo integrale,
non è possibile determinare una primitiva di f .
Dunque, in modo esatto non è possibile calcolare
Z b
f (x)dx
a
ma ciò è possibile solo con metodi numerici.
Calcoliamo, però, l'integrale improprio esteso alla retta reale
Z +∞
I=
f (x)dx
−∞
Consideriamo, per semplicità, k = 1 = α.
L'integrale diventa, allora,
Z +∞
2
I=
e−x dx
−∞
da cui, essendo pari la funzione integranda,
Z +∞
2
I=2
e−x dx
0
Considerando il prodotto di tale integrale per sé stesso, si ha:
Z +∞
Z +∞
2
2
−x2
I =2
e dx2
e−x dx
0
0
da cui, rinominando x come y nel secondo integrale,
Z +∞
Z +∞
Z +∞ Z +∞
2
2
2
−x2
−y 2
I =4
e dx
e dy = 4
e−(x +y ) dx dy
0
0
0
0
dove l'ultima uguaglianza segue dalla possibilità di applicare il teorema di
riduzione (al contrario) degli integrali doppi per com'è fatta la funzione
integranda e dalle proprietà delle potenze.
1
Calcoliamo, dunque,
Z
Z
+∞
I˜ = 4
0
+∞
e−(x
2 +y 2 )
dx dy
0
Passando a coordinate polari (r, ϑ)
½
h πi
x = r cos(ϑ)
con ϑ ∈ 0,
dovendo essere x ≥ 0 ∧ y ≥ 0
y = r sin(ϑ)
2
ed essendo
¯
¯
|J| = ¯¯
∂x
∂r
∂x
∂y
¯ ¯
¯ ¯ cos(ϑ) −r sin(ϑ)
¯=¯
¯ ¯ sin(ϑ) r cos(ϑ)
∂x
∂ϑ
∂y
∂ϑ
¯
¯
¯ = r cos2 (ϑ) + r sin2 (ϑ) = r
¯
lo jacobiano della trasformazione che generalizza, per integrali multipli, la differenziazione che si fa per integrali di funzioni di una variabile nell'applicare
il metodo di sotituzione, si ha:
Z
+∞
I˜ = 4
π
2
Z
re
−r2
0
0
Z
l
2re
lim
l→+∞
Z
l→+∞
π
2
) · (2
dr
2dϑ =
0
2
π
l→+∞
π
2
− 0) = π lim (−e−l +1 ) = π · 1 = π
l→+∞
2
Ne segue
p
I=
ovvero
π
2
2dϑ = lim [−e−r ]l0 · [2ϑ]02 =
0
2 +1
2re
−r2
0
dr
0
= lim (−e−l
dr dϑ =
Z
−r2
Z
+∞
Z
+∞
I˜ =
√
2
e−x dx =
π
√
π
−∞
Osservazioni Procedendo in modo del tutto analogo a quanto fatto in
precedenza, si dimostra che
Z
r
+∞
ke
−αx2
dx = k
−∞
In particolare,
Z
+∞
x2
e− 2 dx =
√
2π
−∞
cosicché la funzione
z2
1
f (z) = √ e− 2
2π
2
π
α
è tale che
Z
+∞
f (z)dz = 1
−∞
ed è utilizzata nella distribuzione di probabilità gaussiana per descrivere,
appunto, la funzione di probabilità nel caso di media nulla e varianza unitaria
(distribuzione standard).
Nel caso generale di media µ e varianza σ 2 , si usa la funzione
1 x−µ 2
1
f (x) = √ e− 2 ( σ )
σ 2π
ed anche in questo caso
Z
+∞
f (x)dx = 1
−∞
3
