Progressioni geometriche

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Progressioni geometriche
Successioni di numeri reali
Definizione – Si dice successione di numeri reali (o numerica reale) una funzione
a : ` 
→\
definita nell’insieme dei numeri naturali ed avente valori nell’insieme \ dei numeri reali.
Scriviamo quindi:
1 
→ a(1) = a1
2 
→ a (2) = a2
………………..
n 
→ a ( n ) = an
con n ∈ `
essa si indica con
a1 , a2 ,..., an
dove il numero an si chiama n-esimo termine (o termine di indice n) della successione.
Le successioni vengono indicate quindi con il simbolo {an }n∈` o semplicemente {an } .
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Def. – Si definisce progressione geometrica una successione di numeri tale che il quoziente tra
ciascun termine (eccetto il primo, se esiste ) e il precedente risulti costante.
La suddetta costante viene chiamata ragione delle progressione aritmetica ed è indicata con la
lettera q.
Per indicare una progressione aritmetica si premette ad essa il simbolo ÷ ÷ .
÷ ÷ a1 , a2 ,...., an ,...
Se q > 0 la progressione si dice crescente
Se 0 < q < 1 la progressione si dice decrescente.
Se il numero dei termini è infinito, la progressione si dice illimitata.
Se il numero dei termini è finito, la progressione si dice limitata.
Teorema 1 – In una progressione geometrica, un termine qualunque an è uguale al primo termine
a1 moltiplicato per la ragione q elevata ad n − 1 .
Dim. - Sia a1 , a2 ,..., an una progressione geometrica di ragione q, per definizione di progressione
geometrica si ha.
a2 = a1q
a3 = a2 q = a1q 2
a4 = a1q 3
……………..
an = a1q n −1
Dal teorema 1 segue il seguente.
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Corollario – La relazione tra due termini qualunque di una progressione aritmetica è
ak = ah q k − h
Si ha:
ak = a1q k −1 ed inoltre
ah = a1q h −1
Dividendo membro a membro otteniamo
ak a1q k −1
=
ah a1q h −1
e quindi
ak
= qk −h
ah
ak = a1q k − h
Def. Due termini di una progressione geometrica (limitata) si dicono equidistanti dagli estremi se
il numero dei termini che precedono il primo risulta uguale a quello dei termini che seguono il
secondo.
Teorema – Il prodotto di due termini equidistanti dagli estremi è uguale al prodotto degli estremi.
Siano ar ed as due termini che distano di h termini dagli estremi
Abbiamo:
a
a1 = rh
q
an = a s q h
moltiplicando membro a membro otteniamo
a
a1an = rh as q h . E quindi
q
a1an = ar as
Prodotto dei primi n termini di una progressione geometrica
Teorema Il prodotto dei primi n termini di una progressione geometrica è uguale alla radice
quadrata del prodotto dei termi9ni estremi elevato ad n.
Pn =
( a1an )
n
Si ha
Pn = a1 ⋅ a2 ⋅ a3 ⋅ ........ ⋅ an −1 ⋅ an che possiamo scrivere (per la proprietà commutativa)
Pn = an ⋅ an −1 ⋅ an −2 ⋅ ........ ⋅ a2 ⋅ a1
moltiplicando membro a membro otteniamo
Pn2 = ( a1an )( a2 an −1 )( a3 an − 2 ) ..... ( an −1a2 )( an a1 )
Per la proprietà precedente avremo
Pn2 = ( a1an )( a1an ) ...... ( a1an )
cioè
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Pn2 = ( a1an )
Pn =
n
( a1an )
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e quindi
n
Somma dei primi n termini consecutivi di una progressione geometrica
Teorema – La somma dei primi n termini di una progressione geometrica è .
1 − qn
Sn = a1
1− q
Si ha:
Sn = a1 + a2 + ... + an −1 + an
S n = a1 + a1q + a1q 2 + ... + a1q n − 2 + a1q n −1
moltiplicando e dividendo per 1 − q avremo
Sn =
a1 + a1q + a1q 2 + ... + a1q n − 2 + a1q n −1
(1 − q )
1− q
a1 + a1q + a1q 2 + ... + a1q n − 2 + a1q n −1 − a1q − a1q 2 − a1q 3 − .... − a1q n −1 − a1q n
Sn =
1− q
a1 − a1q n
1− q
1− qn
Sn = a1
1− q
Sn =
e quindi